(a) R arc tg x dx

1. Obliczyć całki nieoznaczone (a) ^{R x2−}

√x

√3

x dx.

(b) ^R √⁴ 3^xdx.

(c) ^R ctg²xdx.

(d) ^{R e3x−1}_ex−1 dx.

(e) ^R sin^{2 x}₂dx.

(f) ^R

r

x^qx√ xdx.

2. Obliczyć całki (przez części).

(a) ^R arc tg x dx.

(b) ^R x²arc tg xdx.

(c) ^R arc sin xdx.

(d) ^R x sin x cos xdx.

(e) ^R x ln x²dx.

(f) ^{R ln x}_x2 dx.

(g) ^R _sin^x2xdx.

(h) ^R e^xcos xdx.

3. Obliczyć całki ( przez podstawienie).

(a) ^R _1+e^e3x6xdx.

(b) ^R x√

x − 3dx.

(c) ^R √ ^x3

(1−x²)³dx.

(d) ^{R cos ln x}_x dx.

(e) ^R x√

x² + 1dx.

(f) ^R _{3+2 cos x}^{sin x} dx.

(g) ^{R √e−4xdx}

4+e^−4x.

1

(h) ^R _x^√dx_x2

−2. (i) ^{R √x3dx}

1−x⁸. (j) ^{R √}_x+^dx√3

x. (k) ^R e^√xdx.

(l) ^R

√xdx x−1 .

4. Obliczyć całki ( rozkład na ułamki proste).

(a) ^{R (x}_x^2−5x+9)dx2+5x+6 . (b) ^R _(x2+2)^{x 2}. (c) ^{R (x3}_x^+x+1)dx4+x² . (d) ^R _x+1^x2 dx.

(e) ^R _x^dx4+4. (f) ^R _x(x+1)^dx 2. (g) ^R _(x−1)^x2 3.

Odpowiedzi.

1. (a) ³₈√³

x⁸ − ⁶₇√⁶

x⁷ + C.

(b) ⁴⁴

√3^x

ln 3 + C.

(c) ctg x − x + C.

(d) ¹₂e^2x+ e^x+ x + C.

2

(e) ¹₂x − ¹₂ sin x + C.

(f) ₁₅⁸ √⁸

x¹⁵+ C.

2.

(a) x arc tg x − ¹₂ ln(1 + x²) + C.

(b) ¹₃x³arc tg x − ¹₆x² + ¹₆ln(1 + x²) + C.

(c) x arc sin x +√

1 − x² + C.

(d) −¹₄x cos 2x + ¹₈sin 2x + C.

(e) ¹₂x²ln²x − ₂¹x²ln x + ¹₄x² + C.

(f) −¹_x(ln x + 1) + C.

(g) −x ctg x + ln | sin x| + C.

(h) ¹₂e^x(cos x + sin x) + C.

3.

(a) ¹₃ arc tg e^3x+ C.

(b) ²₅(x − 3)²√

x − 3 + 2(x − 3)√

x − 3 + C.

(c) ^√_1−x¹ ₂ +√

1 − x² + C.

(d) sin ln x + C.

(e) ¹₃(x² + 1)√

x² + 1 + C.

(f) −¹₂ ln(3 + 2 cos x) + C.

(g)−

√4+e^−4x

2 + C.

(h) ^√1

2 arc tg

rx²−2 2 + C.

(i) ¹₄ arc sin x⁴ + C.

(j) 2(√⁶

x + 1)³ − 9(√⁶

x + 1)² + 18(√⁶

x + 1) − 6 ln(√⁶

x + 1) + C.

(k) 2e

√x(√

x − 1) + C.

(l) 2√

x + ln

√x−1

√x+1 + C.

3

4. (a) x + 23 ln |x + 2| − 33 ln |x + 3| + C.

(b) −_2(x2¹+2) + C.

(c) ln |x| − ¹_x − arc tg x + C.

(d) −¹₃ln |x + 1| + ¹₆ ln(x² − x + 1) + 2

√3

3 arc tg ^2x−1√

3 + C.

(e) ₁₆¹



ln_x2^x−2x+2+2^2+2x+2 + arc tg(x + 1) + 2 arc tg(x − 1)



+ C.

(f) ln |_x+1^x | + _x+1¹ + C.

(g) ln |x − 1| − _x−1² − _2(x−1)¹ 2 + C.

4