Rachunek Prawdopodobie´ nstwa
6. Zmienne losowe - zadania na ´ cwiczenia
Cw. 6.1 Z partii zawieraj¸´ acej 100 wyrob´ow, z kt´orych 10 jest wybrakowanych, losu- jemy kolejno 5 wyrob´ow do sprawdzenia (bez zwracania). Znale´z´c rozk lad zmien- nej losowej okre´slaj¸acej liczb¸e brak´ow w wylosowanej pr´obce. Obliczy´c jej warto´s´c oczekiwan¸a i wariancj¸e.
Cw. 6.2 Niech X b¸edzie zmienn¸´ a losow¸a okre´slaj¸ac¸a ilo´s´c sukces´ow w schemacie Bernoul- lego (n pr´ob, prawdopodobie´nstwo sukcesu w pojedynczej pr´obie p). Obliczy´c EX, V ar(X).
Cw. 6.3 Zmienne losowe X, Y s¸´ a niezale˙zne o tym samym rozk ladzie Poiss(λ), λ > 0.
Niech Z = X − Y . Oblicz E(Z3).
Cw. 6.4 Niech X oznacza liczb¸e or l´´ ow w trzech rzutach monet¸a.
a) Wyznacz rozk lad, dystrybuant¸e (wz´or i wykres) zmiennej losowej X.
b) Oblicz P(X ≤ 1), P(X > 2), P(X = 1, 5), P(X = 1), P (2 ≤ X ≤ 3), P(X < 3).
Cw. 6.5 Wyznacz rozk lad zmiennej losowej o dystrybuancie´
F (x) =
0, x < −2,
1
5, −2 ≤ x < −1,
4
5, −1 ≤ x < 2, 1, x ≥ 2,
i oblicz jej trzeci moment absolutny oraz trzeci absolutny moment centralny.
Cw. 6.6 Poka˙z, ˙ze zmienna losowa o rozk ladzie geometrycznym posiada tzw. w lasno´s´´ c braku pami¸eci (w lasno´s´c Markowa), tzn.
P(X > t + s|X > t) = P(X > s), dla t, s ∈ N ∪ {0}.
Cw. 6.7 Zmienne losowe X, Y s¸´ a niezale˙zne i maj¸a rozk lad geometryczny z parametrem p, 0 < p < 1. Niech Z = min(X, X − Y ). Znale´z´c P(Z = −1).
Cw. 6.8 Wiedz¸´ ac, ˙ze X ma rozk lad wyk ladniczy z parametrem λ > 0 i P(X < 2) = 34, wyznacz λ.
Cw. 6.9 Niech X b¸edzie zmienn¸´ a losow¸a o g¸esto´sci f (t) = 0; t /∈ [−2, 2]
a(4 − t2); t ∈ [−2, 2].
a) Wyznacz parametr a i narysuj wykres f .
b) Wyznacz dystrybuant¸e zmiennej X i narysuj jej wykres.
c) Oblicz E(X), V ar(X) i median¸e.
d) Wyznacz E(3X + 2)2.
e) Oblicz prawdopodobie´nstwo, ˙ze X > 1 lub X < −1.
Cw. 6.10 Zmienna losowa X ma g¸esto´s´´ c f (x) = 4β3 x1(0,3)(x). Wyznacz parametr β oraz oblicz warto´s´c oczekiwan¸a zmiennej (X − 2)2.
Cw. 6.11 Dobierz sta le A i B tak, aby funkcja okre´slona dla x ∈ R wzorem F (x) =´ A + Barctgx, by la dystrybuant¸a zmiennej losowej X. Wyznacz g¸esto´s´c X.
Cw. 6.12 Znale´´ z´c warto´s´c oczekiwan¸a pola prostok¸ata, kt´orego obw´od jest r´owny 20, a jeden bok jest zmienn¸a losow¸a X o rozk ladzie jednostajnym na [1, 10].
Cw. 6.13 Niech X ma rozk lad N (1, 2). Oblicz P(X < 0), P(X < 1), P(X > −1),´ P(|X| > 1).
Cw. 6.14 Zmienne losowe X i Y s¸´ a niezale˙zne i maj¸a rozk lad normalny N (0, 1). Czy zmienne losowe 2X + Y i X + 2Y s¸a niezale˙zne?
Cw. 6.15 Oblicz warto´s´´ c oczekiwan¸a i wariancj¸e zmiennej losowej eX, je˙zeli X jest zmienn¸a losow¸a o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem 2.
Rachunek Prawdopodobie´ nstwa 6. Zmienne losowe - zadania domowe
Zad. 6.1 W pude lku znajduj¸a si¸e trzy ponumerowane od 1 do 3 ˙zetony. Gracz losuje trzykrotnie ˙zeton bez zwracania. Zdobywa tyle punkt´ow, w ilu przypadkach numer
˙zetonu zgadza si¸e z numerem losowania. Jaka jest warto´s´c oczekiwana i wariancja liczby zdobytych punkt´ow?
Zad. 6.2 Na loterii jest m1 los´ow o wygranej k1, m2 los´ow o wygranej k2, , mn los´ow o wygranej kn. L¸acznie jest N los´ow. Warto´s´c oczekiwana wygranej na jeden los jest r´owna po lowie ceny losu. Obliczy´c cen¸e losu.
Zad. 6.3 W urnie znajduje si¸e 2n kul bia lych i 1 czarna. Losujemy n razy po 1 kuli ze zwracaniem. Jaka jest warto´s´c oczekiwana i wariancja liczby wyci¸agni¸etych kul czarnych? Co si¸e dzieje z warto´sci¸a oczekiwan¸a, gdy n wzrasta do niesko´nczono´sci?
Zad. 6.4 Rzucono po 10 razy dwiema fa lszywymi monetami daj¸acymi or la z prawdopo- dobie´nstwem p1 i p2 odpowiednio. Wiadomo, ˙ze warto´s´c oczekiwana l¸acznej liczby wyrzuconych or l´ow wynosi 10, za´s wariancja 409. Znale´z´c p1 i p2.
Zad. 6.5 Pierwszy gracz rzuca 3 razy monet¸a, drugi dwa razy. Wygrana gracza pier- wszego jest r´owna r´o˙znicy ilo´sci or l´ow, kt´ore wyrzuci l i ilo´sci or l´ow u gracza drugiego.
Obliczy´c warto´s´c oczekiwan¸a wygranej gracza pierwszego.
Zad. 6.6 Losujemy niezale˙znie dwie liczby ze zbioru {1,2,3,4}. Niech X b¸edzie zmienn¸a losow¸a okre´slaj¸ac¸a warto´s´c bezwzgl¸edn¸a ich r´o˙znicy. Wyznacz dystrybuant¸e X, oblicz jej warto´s´c oczekiwan¸a i wariancj¸e.
Zad. 6.7 Na polowanie uda lo si¸e 5 my´sliwych. Nagle ukaza lo si¸e stado 6 kaczek. Ka˙zdy z my´sliwych szybko wycelowa l w jedn¸a kaczk¸e i odda l strza l. Przyjmijmy, ˙ze my´sliwi s¸a znakomitymi strzelcami, a wi¸ec strza l ka˙zdego z nich by l celny. Za l´o˙zmy tak˙ze,
˙ze ´srut ze strzelby my´sliwego trafia tylko do jednej kaczki oraz ˙ze kaczka zostaje upolowana wtw. gdy trafi l do niej co najmniej jeden z my´sliwych. Znale´z´c warto´s´c oczekiwan¸a liczby kaczek, kt´ore prze˙zyj¸a polowanie.
Zad. 6.8 Wiadomo, ˙ze E(X + Y ) = a, E(X − Y ) = b, V ar(X − Y ) = V ar(X + Y ).
Oblicz E(XY ).
Zad. 6.9 Niech X ma rozk lad N (2, 4). Oblicz P(X < 1, 5), P(X > −2), P(|X| < 1).
Zad. 6.10 Zmienna losowa X ma g¸esto´s´c f (t) = λ(1 − t2) · 1[−1,1](t). Wyznacz parametr λ oraz oblicz warto´s´c oczekiwan¸a zmiennej losowej (X + 1)2.
Zad. 6.11 Oblicz warto´s´c oczekiwan¸a i wariancj¸e zmiennej losowej ln X, je˙zeli X jest zmienn¸a losow¸a o rozk ladzie jednostajnym na przedziale [-1,3).
