Ćwiczenia AM II, 8.12.2017 Zadania drużynowe
Zadanie 1. (a) Przypuśćmy, że funkcja f : R → R klasy C2spełnia
limt→0
f (t) t2 = 0.
Wykazać, że f′′(0) = 0.
(b) Przypuśćmy, że funkcja f : R2→ R klasy C2 spełnia
(x,y)→(0,0)lim
f (x, y) x2+ y2 = 0.
Wykazać, że fxy′′(0) = 0.
(c) Funkcja f ∈ C∞(R2) spełnia
(x,y)→0lim
f (x, y) − tg(x) sin(y) (x2+ y2)2 = 0.
Obliczyć ∂x∂y∂2f (0, 0).
Zadanie 2. Wyznaczyć lokalne ekstrema funkcji f(x, y) = (x3− 3x − y)(y + 2).
Zadanie 3. Niech Ω = {(x, y) : |xy| < π/2, |y| < π},
f (x, y) =
(ln cos(xy)
xsin2y , jeśli (x, y) ∈ Ω, xy 6= 0
−x/2, jeśli xy = 0, |y| < π.
Wykazać, że f jest różniczkowalna, a nawet klasy C∞ na Ω. Wskazówki:
(a) Wykazać, że funkcja t 7→ ln(cos t) jest sumą swojego szeregu Taylora o środku w t = 0. Jaki jest promieniu zbieżności tego szeregu? Napisać wielomian Taylora stopnia 4 tej funkcji.
(b) Rozważyć funkcje ln cos(xy)x2y2 , f(x, y)siny22y.
Zadanie 4. Znajdź Dαf (0, 0) (wyższe pochodne cząstkowe funkcji f w (0, 0), α = (α1, α2)), jeśli (a) f(x, y) = ex2y,
(b) f(x, y) = e2x+3y.
Zadanie 5. Podać przykład dyfeomorfizmu zbioru U = {(x, y) : x > y > 0} na zbiór V = {(u, v) : u2+ 3v2< 1, 2v >
u + |u|}.
Zadanie 6. Rozważmy równanie x3+ y3+ z6+ 4xyz = 0 w otoczeniu punktu (2, −1, 1).
(a) Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej w punkcie (2, −1, 1) do powierzchni M zadanej tym rów- naniem.
(b) Czy M \ {(0, 0, 0)} jest rozmaitością zanurzoną? A M?
(c) Czy równanie to wyznacza w otoczeniu punktu (2, −1, 1) funkcję (x, y) 7→ z(x, y)? A funkcję (y, z) 7→
x(y, z)?
1
