Uwaga. W grafie skierowanym kraw˛ed´z od wierzchołka a do b oznaczamy symbolem (a, b). Natomiast w grafie nieskierowaym kraw˛ed´z pomi˛edzy a i b oznaczamy symbolem{a, b} (lub {b, a}) b ˛ad´z symbolem(a, b) (lub(b, a)), ale wtedy musimy zaznaczy´c, ˙ze chodzi o graf nieskierowany.
Zadania do materiału z wykładu
1. Narysuj graf G=(V, E), gdzie
a) V= {1, 2, 3, 4, 5}, E = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 5}, {3, 5}}
b) V= {1, 2, 3, 4, 5}, E = {(1, 2), (2, 2), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 1), (4, 4), (5, 3), (5, 4)}
c) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, E = {(1, 2), (1, 6), (2, 3), (2, 7), (3, 1), (3, 3), (4, 5), (5, 1), (6, 6), (6, 7), (7, 1), (7, 2)}
d) V= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, E = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {5, 6}}
e) V= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, E = {{1, 6}, {1, 8}, {1, 9}, {2, 6}, {3, 6}, {3, 7}, {3, 8}, {4, 5}, {4, 9}, {5, 7}, {7, 8}, {8, 9}}
f) V= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, E{(1, 1), (1, 9), (2, 9), (3, 7), (4, 9), (5, 3), (5, 8), (6, 6), (7, 5), (8, 8), (9, 2), (9, 4)}
2. Podaj zbiory kraw˛edzi incydentnych z wierzchołkami 1, 3 i 5 w grafach nieskierowanych z poprzednego zadania.
3. Podaj zbiory E i V oraz zbuduj macierz s ˛asiedztwa dla poni˙zszych grafów:
a)
1 2
3 4
5 6
b)
1 2
3 4
c) 1
2
3
4 5
6
7
Dla ka˙zdego z tych grafów podaj stopie´n wierzchołka 3.
4. Narysuj graf nieskierowany o podanej macierzy s ˛asiedztwa:
a)
1 2 3 4 5 6
1 0 1 1 1 1 1
2 1 0 1 1 1 1
3 1 1 0 1 1 1
4 1 1 1 0 1 1
5 1 1 1 1 0 1
6 1 1 1 1 1 0
b)
1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 1 1 1
3 0 1 0 1 0 1 1
4 0 0 1 0 0 1 1
5 0 1 0 0 0 1 1
6 1 1 1 1 1 0 1
7 0 1 1 1 1 1 0
c)
1 2 3 4 5 6 7 8
1 0 0 1 1 1 0 1 1
2 0 0 0 0 0 0 0 0
3 1 0 0 1 0 1 0 0
4 1 0 1 0 0 1 0 0
5 1 0 0 0 0 0 0 0
6 0 0 1 1 0 0 0 0
7 1 0 0 0 0 0 0 1
8 1 0 0 0 0 0 1 0
5. Narysuj graf skierowany o podanej macierzy s ˛asiedztwa:
a)
1 2 3 4 5 6
1 1 0 0 0 0 0
2 0 0 1 1 1 1
3 0 1 1 0 1 0
4 1 0 1 0 0 0
5 0 1 1 1 1 0
6 0 0 1 0 1 0
b)
1 2 3 4 5 6 7
1 1 0 0 0 0 0 1
2 0 1 0 0 0 1 0
3 1 0 1 0 1 0 1
4 0 0 0 1 0 0 0
5 1 0 1 0 1 0 1
6 0 1 0 0 0 1 0
7 1 0 0 0 0 0 1
c)
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 0 1 0 0 0 0 0
2 1 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 1 0 0 0 1
4 0 0 0 1 1 0 0 0
5 0 1 0 0 0 0 0 0
6 0 1 0 1 0 1 0 1
7 1 0 0 0 0 1 0 0
8 0 0 0 0 0 0 1 0
6. Narysuj graf a) skierowany b) nieskierowany
o macierzy s ˛asiedztwa:
1 2 3 4 5
1 0 1 0 1 0
2 1 0 1 0 1
3 0 1 0 0 0
4 1 0 0 0 1
5 0 1 0 1 0
7. Sprawd´z, czy:
a) w grafie a) z Zad. 3 wierzchołek 6 jest osi ˛agalny z wierzchołka 2?
b) w grafie b) z Zad. 3 wierzchołek 1 jest osi ˛agalny z wierzchołka 1?
c) w grafie c) z Zad. 3 wierzchołek 5 jest osi ˛agalny z wierzchołka 5?
d) w grafie c) z Zad. 3 wierzchołek 1 jest osi ˛agalny z wierzchołka 7?
8. Znajd´z najkrótsz ˛a scie˙zk˛e z wierzchołka A do B oraz najdłu˙zsz ˛a ´scie˙zk˛e prost ˛a z A do B, w grafie skiero- wanym:
a) Z Zad 3 c), gdy A=7, B=1 b) Z Zad 3 c), gdy A=4, B=6 c) Z Zad 5 c), gdy A=1, B=2
Problem mostów królewieckich. Cykl Eulera.
Jednym z najstarszych zagadnie´n zwi ˛azanych z grafami był problem mostów w Królewcu, przez który przepływa rzeka Pregoła, a w jej rozwidleniach znajduj ˛a si˛e 2 wyspy, poł ˛aczone mostem; 6 innych mostów ł ˛aczy wyspy ze stałym l ˛adem. Układ mostów widoczny jest na poni˙zszym rysunku:
Mieszka´ncy miasta długo zastanawiali si˛e, czy mo˙zna przej´s´c przez ka˙zdy most dokładnie 1 raz i wróci´c do domu? W 1736 roku szwajcarski matematyk, Leonard Euler, udowodnił, ˙ze nie jest to mo˙zliwe. Sytuacj˛e opisał za pomoc ˛a grafu nieskierowanego, zast˛epuj ˛ac obszary l ˛adu wierzchołkami, a mosty ł ˛acz ˛acymi je kraw˛edziami:
Zagadnienie sprowadziło si˛e wi˛ec do pytania: czy w powy˙zszym grafie istnieje cykl Eulera, tj. ´scie˙zka zamkni˛eta przechodz ˛aca przez ka˙zd ˛a kraw˛ed´z dokładnie raz? Euler pokazał, ˙ze nie ma takiej ´scie˙zki, do- wodz ˛ac nast˛epuj ˛acego faktu:
Twierdzenie 1. Graf, który posiada cykl Eulera, musi mie´c wszystkie wierzchołki stopnia parzystego.
Okazuje si˛e, ˙ze dla klasy grafów spójnych (tj. grafów, w których ka˙zde dwa ró˙zne wierzchołki poł ˛aczone s ˛a ´scie˙zk ˛a) prawdziwe jest równie˙z twierdzenie odwrotne:
Twierdzenie 2. Sko´nczony graf spójny, w którym ka˙zdy wierzchołek ma stopie´n parzysty, posiada cykl Eulera
9. Czy graf (nieskierowany) G posiada cykl Eulera?
a) G=(V,E); V={1,2,3,4,5,6}; E={{1,2},{1,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6}};
b) G=(V,E); V={s,t,u,v,w,x,y,z}; E={{s,t},{s,v},{t,v},{t,w},{u,v},{u,x},{v,y},{w,y},{w,z},{x,y},{y,z}};
c) G=(V,E); V={u,v,w,x,y,z}; E={{u,x},{u,y},{u,z},{v,x},{v,y},{v,z},{w,x},{w,y},{w,z}};
d) G=(V,E); V={r,s,t,u,v,w,x,y,z}; E={{r,s},{r,u},{s,t},{s,u},{s,v},{t,v},{u,v},{u,y},{v,w},{v,x},{v,y}, {w,z},{x,y},{y,z}};
Literatura
[1] Ross K.A., Wright C.R., Matematyka dyskretna, PWN, Warszawa, 2000.
[2] Cormen T.H., Leiserson C.E., Rivest R.L. Wprowadzenie do algorytmów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1990
Odpowiedzi
Ad. (1e).
1 3 2
4 5
6 7 8
9
Ad. (1f).
1
2
3 4
5
6
7 8
9
Ad. (2e).
zbiór kraw˛edzi incydentnych z wierzchołkiem1:{{1, 6}, {1, 8}, {1, 9}}
zbiór kraw˛edzi incydentnych z wierzchołkiem3:{{3, 6}, {3, 7}, {3, 8}}
zbiór kraw˛edzi incydentnych z wierzchołkiem5:{{4, 5}, {5, 7}}
Ad. (3c). V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
E= {(1, 1), (1, 3), (1, 7), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (7, 3)}
macierz s ˛asiedztwa:
1 2 3 4 5 6 7
1 1 0 1 0 0 0 1
2 1 0 0 0 0 0 0
3 1 1 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 1 1 0
5 0 0 0 1 1 1 0
6 0 0 0 1 0 0 0
7 0 0 1 0 0 0 0
stopie´n wierzchołka3 w tym grafie jest równy 4.
Ad. (4c).
1
2
3
4
5
6 7
8
Ad. (5c).
1
2 3
4
5
6 7 8
Ad. (6a).
1 2
3
4 5
Ad. (6b).
1 2
3
Ad. (7).
a) nie
b) nie
c) tak
d) tak
Ad. (8). a) < 7, 3, 1 >; < 7, 3, 2, 1 >
b) < 4, 6 >; < 4, 5, 6 >
c) < 1, 3, 4, 5, 2 >; < 1, 3, 8, 7, 6, 4, 5, 2 >
Ad. (9). a) tak (gdy˙z wszystkie wierzchołki s ˛a parzystego stopnia), np.< 5, 3, 1, 2, 5, 4, 3, 6, 2, 4, 6, 5 >
b) nie (poniewa˙z nie wszystkie wierzchołki s ˛a parzystego stopnia)
c) nie (j.w)
d) tak (wszystkie wierzchołki s ˛a parzystego stopnia), np.< r, s,t, v, s, u, v, w, z, y, v, x, y, u, r >
