1 Różniczkowanie odwzorowań Definicja 1.1 (pochodna funkcji (odwzorowania))

1 Różniczkowanie odwzorowań

Definicja 1.1 (pochodna funkcji (odwzorowania)) Pochodną funkcji f w punkcie p na- zywamy odwzorowanie liniowe ciągłe L ∈ L(X, Y ) spełniające warunek:

u→0 lim

f (p + u) − f (p) − L(u)

kuk = 0.

Oznaczamy je również Df (p).

Oznacza to, że:

f (p + u) = f (p) + Lu + α(u), gdzie α(u) = o(u), tzn lim _u→0 ^kα(u)k _kuk = 0.

Stwierdzenie 1.1 Jeśli funkcja jest różniczkowalna w p to jest ciągła w tym punkcie.

Twierdzenie 1.1 Niech G będzie otoczeniem punktu p. Wówczas jeśli funkcja f jest róż- niczkowalna w p to:

a) przy każdym h ∈ X istnieje pochodna kierunkowa ^∂f _∂h (p) oraz jest równa Df (p)h;

b) istnieją pochodne cząstkowe D _i f (p) oraz:

Df (p)h =

n

X

i=1

D _i f (p)h _i , gdzie h = (h ₁ , . . . , h _n ) ∈ R ⁿ .

Twierdzenie 1.2 (o różniczkowalności funkcji o ciągłych pochodnych cząstkowych) Jeśli pochodne cząstkowe funkcji f w otoczeniu punktu p istnieją i są ciągłe w p to funkcja ta jest różniczkowalna w punkcie p.

Podczas części ćwiczeniowej zajmowaliśmy się:

1. Obliczeniem pochodnych cząstkowych funkcji u = xy ² z ³ − y sin z;

2. Znalezieniem pochodnej funkcji stałej (stwierdziliśmy że jest ona zerowa);

3. Znalezieniem pochodnej funkcji liniowej A : R ^k → R ⁿ - pochodna jest równa odwzoro- waniu;

4. Znalezieniem pochodnej funkcji f (x) = x ² , tzn. f (x) = x ◦ x = x ₁ · x ₁ + . . . + x _n · x _n , x = (x ₁ , . . . , x _n ). stwierdziliśmy, że pochodna ta jest równa Df h = 2xh;

1

5. Obliczyliśmy wartość różniczki funkcji f (x, y) = ( _x

+y ^x

^y

+1 , ^e _xy

), dla (x, y) ∈ R ² , xy 6= 0 w punkcie (1, 1) na wektorze (1, 2);

6. Stwierdziliśmy nieistnienie pochodnej cząstkowej funkcji

f (x, y) =

( _x

+y

x

+y

dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla x = y = 0 względem zmiennej y;

7. Stwierdziliśmy, że funkcja:

f (x, y) =







x

+y

√

x

+y

dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla x = y = 0 jest różniczkowalna w każdym punkcie.

2