0,je±liw hwili t = 0 rurato zy si bez po±lizgu zprdko± i¡ v &gt

(Zaka»dez zada« mo»naotrzyma¢ 20 pkt.)

Zadanie 1

Jednorodna, ienko± ienna rura o promieniu R^{, dªu-}

go± i L ^{i masie} m ^{jest wykonana z izolatora i naªa-}

dowana aªkowitym ªadunkiemq ^{ostaªejgsto± i po-}

wierz hniowej. Rura to zy si po poziomym stole,

a aªy ukªad jest umiesz zony w pionowym, jedno-

rodnympolumagnety znymoinduk jiB ^orazwjed-

norodnym polu grawita yjnym o nat»eniu g ^(patrz

rys.). Wspóª zynniktar iamidzyrur¡a stoªemwy-

nosiµ^.

R B g

Wyzna z maksymaln¡ warto±¢ prdko± i vmax^{, przy}

której rura to zy si bez po±lizgu po stole, stykaj¡

siznimwwi ejni»jednympunk ie. Przedyskutuj

zale»no±¢otrzymanegowyniku odL ^{przyustalony h}

warto± ia h q/m^,R^,µ^oraz g^.

Opiszjako± iowoza howanierurydlamaªy h zasów

t > 0^{,je±liw hwili} t = 0 ^{rurato zy si bez po±lizgu}

zprdko± i¡ v > vmax^.

Zadanie 2

Elektrownia geotermalna pobiera wod o tempera-

turze T_w ^z podziemnego zbiornika znajduj¡ ego si

na gªboko± i h^{. Ci±nienie wody w tym zbiorniku}

jest równe pw^{. Woda} odprowadzana jest do jeziora napowierz hniziemi. Temperatura oto zenia,wtym

temperaturawodywjeziorzewynosiT0^{, i±nienieoto-}

zeniajestrównep0^{. Masawody,jak¡mo»napobra¢}

wjednost e zasu, wynosi J.

a)Jak¡ maksymaln¡mo mo»e mie¢ taelektrownia?

b) Ile wynosiªaby ta maksymalna mo , gdyby woda

byªawtªa zanazpowrotemdotegosamego podziem-

nego zbiornika?

Przyjmij,»e iepªo wªa± iwe wody cw ^{jest staªe oraz}

pomi« jej± i±liwo±¢irozszerzalno±¢ iepln¡.

Podajwarto± ili zboweprzyjmuj¡ T0 = 280^K,T_w = 370^K, h = 2000^m, p0= 10^{5 Pa,}pw = 2, 10 · 10^{7 Pa,}

gsto±¢ wody ρ = 10^{3 kg}/^{m3, iepªo wªa± iwe wody} c_w = 4, 2 · 10^{3 J}/^(kgK), przyspieszenie ziemskie g = 10^m/^{s2 oraz}J = 100 ^kg/^s.

Zadanie 3.

Rozpatrzmy ptl z drutu, ob i¡»on¡ i»arkiem o

masie m ^{(patrz rys.), znajduj¡ ¡ si w oto zeniu o}

temperaturze T0^{. Ko« e ptli s¡ podª¡ zone do na-}

pi iaU^.

U + _

l/2 g

Gdydªugo±¢ drutu wynosi l^,ajego temperatura jest równa T^{, to opór} elektry zny ptli jest równy R = R0[1 + G (l − l0) /l0+ a_R(T − T0)]^,gdzieG^,a_R^,R0^,

l0 ^{s¡ staªymi, natomiast siªa na i¡gu drutu wynosi}

FN = k {l − l0[1 + α (T − T0)]}^{, gdzie} k ^{jest staª¡}

spr»ysto± i, a α ^ wspóª zynnikiem rozszerzalno± i liniowej. Wiadomo, »e w rozwa»anej sytua ji mo

ieplnaPc odprowadzanazdrutudooto zeniaspeªnia zwi¡zekP_c = β ·(T − T0)^,gdzieβ ^{jeststaª¡dodatni¡.}

Pomijaj¡ pojemno±¢ iepln¡drutu,wyzna z zstot-

liwo±¢maªy h, pionowy h drga« i»arka naptli.

Podaj warto±¢ li zbow¡ tej zstotliwo± i dla k = 5000 ^N/m, l0 = 1^m, m = 1^kg, U = 2 ^V,R0 = 2 Ω^, α = 1 · 10^{−5 K−1,}β = 0, 01^W/K,aR= 5 · 10^{−3 K−1,} T0 = 300^KorazG = 200^.

W ra hunka h ograni z si do wyrazów liniowy h w

przyrosta htemperaturyidªugo± idrutu. Masadrutu

jestpomijalnawporównaniu zm^.

Informa jadodatkowa: zjawiskostosunkowodu»ejza-

le»no± ioporuniektóry h materiaªówod i hodksztaª-

enia jest wykorzystywane w zujnika h mierz¡ y h

siªy (tzw. zujniki tensometry zne). W przypadku

"zwykªy h" materiaªów typowa warto±¢ staªej G ^jest

zbli»onado 2^.

Wzory, które mog¡ by¢ przydatne

Z

xⁿdx = 1

n + 1xⁿ⁺¹+ const, Z 1

xdx = ln x + const, Z

cos(x)dx = sin(x) + const, Z

sin(x)dx = − cos(x) + const, 1

1 + x ≈ 1 − x^{,dlamaªy h}x.

Ustalmyukªadwspóªrzdny htak,byjego±rodekpokrywaªsize±rodkiemmasyrury,o±x^{byªaskierowana}

wzdªu» kierunku ru hu rury, o± y ^{ pionowo gór a o±} z ^{ wzdªu» osi rury. Ozna za to, »e} B = B~e~ _y^,

przyspieszenie ziemskie~g = −g~ey^{. Gdy rura si to zy, prdko±¢ jej maªego elementu} okre±lonego (w danej hwili)wspóªrzdnymi x, y, z,^{jestdana wzorem}

~v = ~v^CM+ ~ω × ~r,

gdzie~v^CM= v^CM~ex ^{jestprdko± i¡ ±rodkamasy,}~ω = −ω~ez ^{jestprdko± i¡ k¡tow¡ ru huobrotowego wal a,}

~r = x~e_x+ y~e_y+ z~e_z^.

Zgodniez powy»szym mamy

v_x= vCM+ ωR cos α, vy = −ωR sin α,

gdzieα ^{jestk¡tem jakitworzy rzut}~r ^na pªasz zyznxy ^{z osi¡} y ^(tzn. ~r = R (~exsin α + ~eycos α) + z~ez^).

Warunek brakupo±lizguozna za

ω = v^CM R .

Nanaszelement dziaªa siªaLorentza

∆ ~FL= ∆q~v × ~B,

gdzie∆q ^{jestªadunkiem} rozpatrywanegoelementu; je±li ozna zymy przez ∆S ^{pole tegoelementu, to} ∆q = ρ∆S/ (2πRL)^. Uwzgldniaj¡ poprzedniewzoryotrzymamy

∆ ~FL= ∆q (vCM+ ωR cos α) B~ez^{. (1)}

Caªkowit¡ siªLorentzaF~L ^{otrzymamydodaj¡ przy zynki} ∆ ~FL^{odka»dego elementu rury. Otrzymamy}

F~L= qBv^CM~ez, ⁽²⁾

gdzieρπR²L^{jest aªkowitym ªadunkiem. (W powy»szymwzorzena} F~L ^niemawyrazu propor jonalnego do

ω ^{gdy»sumujemypowszystki h}α ^od0 ^do2π^,a ωR cos α + ωR cos(α + π) = 0^.)

Abywale nie±lizgaª sipostole, powy»szasiªa musiby¢równowa»ona przezsiªtar ia, którejmaksymalna

warto±¢ wynosi µmg^.

Zatemmusi by¢speªnionywarunek

qB |vCM| ≤ µmg, ⁽³⁾

zyli

|vCM| ≤ µmg

qB , ⁽⁴⁾

Musimyjesz ze rozwa»y¢ momentysiª dziaªaj¡ ena rur.

Moment siªyLorentza wzgldem osix ^{dziaªaj¡ y nadanyelement rury jestrówny}

∆ML= y∆FL ⁽⁵⁾

= R cos α∆q (vCM+ ωR cos α) B, ⁽⁶⁾

przy zym∆q = qR∆α∆L/ (2πRL)^{. Zauwa»my,»e zewzgldunasymetriwyra»eniana}∆ ~F_L^{wzgldem osi} y ^{(symetria w zmiennej}α ^{we wzorze(1)) moment tej siªywzgldem osi} y ^{jest zerowy. Zerowy jest równie»}

moment siªy Lorentzawzgldem osi z ^gdy»∆ ~FL ^jestpropor jonalne do~ez^.

Poniewa» ∆M_L ^niezale»yod L^otrzymamy M_L= q

2πRL Z 2π

0

L R cos α · (vCM+ ωr_⊥cos α) Bdα

= q 2πB

 vCM

Z 2π 0

cos αdα + ωR Z 2π

0

cos²αdα

 .

Poniewa»

R2π

0 cos αdα = 0 ^oraz R2π

0 cos²αdα = π ^{(warto±¢ ±rednia funk ji} cos²α ^{w przedziale} [0, 2π] ^jest

równa 1/2 ^{np. z wiedzy opr¡dzie zmiennym), otrzymamy} M~_L= qBωR

2 ~e_x. ⁽⁷⁾

Moment ten stara si obró i¢ wale wokóª osi x^{. Aby to nie nast¡piªo, musi on by¢} zrównowa»ony przez moment siªy tar iaM_T ^{imoment siªyreak jipodªo»a} M_R^{. Moment siªytar ia wzgldem osi}x ^wynosi

MT = RT = RqBvCM, ⁽⁸⁾

gdzie uwzgldnili±my, »e je±li wale si nie±lizga, to siªa tar ia T ^{jest równa sile Lorentza} FL^{. Siªa reak ji}

równi N ^{jest równa o do warto± i i»arowi wal a} mg^{,a maksymalnawarto±¢ momentu tejsiªy wzgldem}

osix ^odpowiadaprzypadkowi, gdyN ^{jestprzyªo»ona nako« u rury:}

MR max = NL

2 = mgL 2 .

Poniewa» zwroty M_L ⁱ M_T ^{s¡ zgodne, wale nie bdzie si obra aª wokóª osi} x ^{( zyli bdzie si stykaª ze}

stoªemwwi ej ni»jednympunk ie) je±lispeªnionybdziewarunek

|M_L+ M_T| ≤ M_{R max}, ⁽⁹⁾

zyli,uwzgldniaj¡ , »e ωR = vCM ,gdy

    1

2qBRv^CM+ qBRv^CM    

≤ mgL 2 .

Ozna za to,»e powinien by¢speªnionywarunek

|v^CM| ≤ 1 3

mgL

qRB. ⁽¹⁰⁾

Uwzgldniaj¡ warunek (4), otrzymujemy,»e szukane vmax ^jestrówne

vmax= min

 µmg

qB, 1 3

mg qB

L R



. ⁽¹¹⁾

GdyL^{jestmniejszeod}3µR^{maksymalnaprdko±¢jest}propor jonalnadoL^{zgodniezewzorem}vmax= ¹₃^mgL_qRB

ijest okre±lona przez warunek nie przewra ania si rury. Gdy L ≥ 3µR^{, maksymalnaprdko±¢ jest staªa i}

równa

µmg

qB ^{. Wtymdrugim przypadkujestonaokre±lona przezwaruneknie}przesuwaniasirurywzdªu»osi sty zno± i zestoªem.

To o si bdzie dziaªo z rur¡ w przypadku vCM > vmax ^{zale»y od tego, z którym z} rozwa»any h powy»ej przypadków mamy do zynienia. Gdy µ^mg_qB < v_CM ≤ ¹₃^mg_qB^L_R ^{( zyli musi by¢} L > 3µR^{) siªa tar ia bdzie}

za maªa, by zrównowa»y¢ siª Lorentza i wale za znie si przesuwa¢ (±lizga¢) wzdªu» osi z^{. Gdy} µ^mg_qB ≥ v_CM > ¹₃^mg_qBR^{L ( zyli musiby¢}L < 3µR)^{) podniesie si on wgór obra aj¡ wokóª osi} równolegªej do osi x^.

Poniewa» jednak to z¡ y si wale ma niezerowy moment pdu wzdªu» osi z^{, w wyniku tego wale za znie}

si równie»obra a¢ wokóª pionowej osi prze hodz¡ ej przez punkt sty zno± i wal a z podªo»em - podobnie

jakobra aj¡ ysib¡k,któregoo±nagleprze hylimy. (Mo»nato wyja±ni¢te»nastpuj¡ o: wale mapewien

moment pdu wzdªu» swojej osi. Poprze hyleniu wal a, tenmoment pdu bdziemiaª niezerow¡ skªadow¡

pionow¡. A niezerowa pionowa skªadowa momentu pduozna za obrótwokóªpionowej osi.)

Gdyv_CM > ¹₃^mg_qBR^{L oraz}v_CM > µ^mg_qB ^{ru hwal abdziezªo»eniem opisany h poprzednio ru hów.}

Rozwi¡zanie zadania 2.

Rozwa»my por j wody o masie m^{. Obli zmy, ile pra y (energii} elektry znej) mo»na uzyska¢ o hªadzaj¡

j¡odtemperaturyT_w ^dotemperaturyT0^{. Najwiksz¡ pra mo»na uzyska¢ hªodz¡ j¡ przy u»y iusilnika}

Carnota. Zaªó»my, »e w danym momen ie temperatura tej por ji wynosi T^{. Sprawno±¢ yklu Carnota}

pra uj¡ ego midzy temperaturami T ⁱ T0 ^wynosi 1 − T0/T^{, o ozna za, »e je±li z wodypobierzemy iepªo}

∆ ¯Q_w^{,to wykonanapra a wyniesie}

∆W =

 1 −T0

T



∆ ¯Qw. ⁽¹²⁾

Zdrugiejstronywwyniku pobrania iepªa ∆ ¯Qw temperatura naszejpor ji wodyspadniedo T + ∆T^,gdzie

∆T = −∆ ¯Q_w mcw

. ⁽¹³⁾

Zatem

∆W = −

 1 −T0

T



mcw∆T. ⁽¹⁴⁾

Caªkowit¡ pra otrzymamy dodaj¡ przy zynki odwszystki h∆T^{, o ozna za, »e} W = −

Z T^o Tw

 1 −T0

T



mc_wdT ⁽¹⁵⁾

= mc_w



(T_w− T0) − T0lnT_w T0



. ⁽¹⁶⁾

Przyjmuj¡ m = J∆t^,gdzie∆t^{jest zasem,wktórympobrali±mytwod,otrzymamy,»e mo} P_c ^zwi¡zana

zpobieraniem iepªa wynosi

Pc = W

∆t = Jcw



(Tw− T0) − T0lnTw

T0



. ⁽¹⁷⁾

W przypadku a) musimy doda¢ do tego jesz ze zysto me hani zn¡ mo Pm ^{jak¡ mo»emy uzyska¢ (lub}

musimy zu»y¢) wydobywaj¡ wod na powierz hni (ªatwo jest j¡ obli zy¢ np. uwzgldniaj¡ , »e ró»ni a

i±nie«p_w− p0 ^jest"równowa»na"ró»ni y wysoko± i ∆h = (p − p0)/(ρg)⁾

P_m = J(p_w− p0)/ρ − Jgh. ⁽¹⁸⁾

Zatemmaksymalnamo ,jak¡ mo»emie¢ takaelektrownia, wprzypadkua) wynosi

Pa= J

 cw



(Tw− T0) − T0lnTw

T0



+ (pw− p0)/ρ − gh



. ⁽¹⁹⁾

Wprzypadkub)pra auzyskanadowydoby ia wodynapowierz hnijestrównapra yniezbdnej dowtªo -

zeniawodypod ziemi,azatem maksymalnamo wtym przypadkuwynosi

P_b= Jc_w



(T_w− T0) − T0lnTw

T0



. ⁽²⁰⁾

Podstawiaj¡ dane li zbowe dostaniemy

Pa≈ 5, 1 · 10^{6 W, (21)}

Pb≈ 5, 0 · 10^{6 W. (22)}

Rozwi¡zanie zadania 3.

Mo pr¡du elektry znegowyra»asi wzorem Pel= U²/R^,zatem

P_el= U²

R0[1 + G∆l/l0+ aR(T − T0)] ⁽²³⁾

≈ U² R0



1 − G∆l l0

− a_R(T − T0)



, ⁽²⁴⁾

gdzie∆l = l − l0^.

Bilans ieplnydrutuw przypadku, gdypojemno±¢ ieplnadrutu C ^{jestniezerowa, wyra»a sirównaniem}

CdT

dt = Pel− Pc = U²

R − β (T − T0) ⁽²⁵⁾

≈ U² R0



1 − G∆l l0

− aR(T − T0)



≈ U² R −U²

R G

l ∆l − U²

R aR+ β



(T − T0)

Wypadkowa siªadziaªaj¡ a na i»arek jestrówna2FN− mg^{,ajegoodlegªo±¢odpunktu}zawieszaniawynosi

l/2^{,zatem równanieru hu i»arka jest} nastpuj¡ e

md² dt²

l

2 = −2k [l − l0− αl0(T − T0)] + mg. ⁽²⁷⁾

Poniewa» pomijamypojemno±¢ iepln¡C ^{równanie (26) sprowadza si doposta i} U²

R0

− U² R0

G l0

∆l − U² R0

aR+ β



(T − T0) = 0. ⁽²⁸⁾

Je±li ozna zymy przez x ⁱ θ ^{od hylenia} odpowiednio l ⁱ T ^{od warto± i} równowagowy h, to równania (27) i (28)sprowadz¡ sido równa«

md² dt²

x

2 = −2k (x − αl0θ) , ⁽²⁹⁾

0 = −U² R0

G l0

x − U² R0

a_R+ β



θ. ⁽³⁰⁾

Wyzna zaj¡ θ ^{z drugiego równania iwstawiaj¡ do pierwszego oraz mno»¡ obiestrony równania przez} 2

dostajemy

md²

dt²x = −4k 1 + α

U² R0G

U²

R0aR+ β

!

x. ⁽³¹⁾

Jest to równanie os ylatoraharmoni znego o masiem ^istaªej spr»ysto± ik_ef = 4k 1 + a

U2 R0G

U 2 R0a+β

!

,zatem

zstotliwo±¢ drga«wynosi

f = 1 2π

v u u

t 1 + α

U² R0G

U²

R0aR+ β

!4k m = 1

π v u u

t 1 + α G

aR+ β/^U_R²₀

! k

m. ⁽³²⁾

Zauwa»my,»e wprzypadku U = 0^(lubα = 0 ^lubG = 0⁾ otrzymaliby±mypoprostu

f = 1 π

r k m.

Zatem uwzgldnienie rozwa»any h efektów powoduje w przypadku α > 0 ⁱ G > 0 ^wzrost zstotliwo± i  efektywnie wzrasta warto±¢ staªejspr»ysto± i.

Dlapodany h warto± ili zbowy h warto±¢ "poprawki"wynosi

α G

a_R+ β/^U_R²

0

= 0, 2 , ⁽³³⁾

natomiast zstotliwo±¢ drga«z jejuwzgldnieniemjest równa

f ≈ 24, 71

s^{. (34)}

Informa jadodatkowa: wprzypadkuC 6= 0^{iprzydodatni h}warto± ia hparametrówamplitudadrga«ro±nie z zasem. Zatemnawetje±lipo z¡tkowox^jestbliskie0^{,popewnym zasiedrganiaza zn¡by¢}obserwowalne

mamydo zynienia z drganiami"samowzbudnymi". O zywi± ie dladu»y h amplitud liniowe przybli»enie

przestajeby¢uzasadnione, jednakrozpatrywanyefekt musiby¢uwzgldnianyprzyprojektowaniu zujników

sensometry zny h.