__________________________________________
* Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie.
** Pomorski Uniwersytet Medyczny w Szczecinie.
Jakub PĘKSIŃSKI*
Grzegorz MIKOŁAJCZAK*
Janusz KOWALSKI**
KSZTAŁTOWANIE CHARAKTERYSTYK CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH NIEREKURSYWNYCH
FILTRÓW WYGŁADZAJĄCYCH
W pracy przedstawiono zagadnienie wygładzania sygnałów przy pomocy cyfrowych filtrów o skończonej odpowiedzi impulsowej. Zaproponowano różne warianty współczynników filtru o 5-ciu elementach, których wartości dobierano w oparciu o żądany kształt charakterystyki amplitudowej. Praca może być wykorzystana na zajęciach z przedmiotu dotyczącego filtracji cyfrowej, a zwłaszcza w zagadnieniach usuwania zakłócenia addytywnego o rozkładzie normalnym.
SŁOWA KLUCZOWE: wygładzanie sygnałów, filtry cyfrowe, filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej.
1. WSTĘP
Wygładzanie jest jedną z metod cyfrowego przetwarzania sygnałów, polegającą na estymacji wartości sygnałów w ustalonych chwilach na podstawie zarówno poprzednich, jak i następnych obserwacji. W praktyce jest to zastąpienie wyrazów danego szeregu, mającego przebieg nieregularny, innym o przebiegu gładszym, o którym można przypuszczać, że lepiej reprezentuje istotę zjawiska niż szereg pierwotny. Najczęstszą metodą rozwiązania problemu wygładzania jest odpowiednia filtracja sygnału cyfrowego, skąd pochodzi również określenie „filtr wygładzający”, stosowane do określenie różnorakich algorytmów wygładzania. Termin filtr jest często używany do określenia urządzenia istniejącego w formie sprzętowej lub programowej podłączonego do zaszumionego zbioru danych celem ekstrakcji pożądanej informacji. W dowolnym przypadku możemy zastosować filtr do przeprowadzenia trzech podstawowych operacji przetwarzania informacji:
Filtracji, która oznacza ekstrakcję informacji w chwili t na podstawie danych zebranych do chwili t.
Wygładzania (ang. smoothing), która różni się od filtracji tym, że estymowane parametry w chwili t powstają również na podstawie danych zebranych po chwili t. Oznacza to, że podczas wygładzania istnieje pewne opóźnienie przetwarzania informacji. Ponieważ podczas wygładzania wykorzystujemy dane zebrane nie tylko do chwili t, lecz także później, dlatego możemy oczekiwać dokładniejszej estymacji parametrów niż przy filtracji.
Predykcji, która ma na celu określenie informacji o procesie, który będzie miał miejsce w przyszłości, np. w chwili t + τ dla τ > 0 na podstawie zmierzonych sygnałów do chwili t.
Powyższe ustalenia można przedstawić na wykresie, pokazującym jak mają się dane w stosunku do estymowanej wartości wyjścia filtru z rys.1 [18].
Rys. 1. Ilustracja przedstawiająca operacje przetwarzania sygnału
Filtry wygładzające znalazły we współczesnym świecie nauki szerokie zastosowanie, gdyż istotą każdego eksperymentu jest pomiar różnych parametrów i wielkości, które w trakcie trwania analizowanego zjawiska mogą być obarczone różnego rodzaju zakłóceniem o charakterze losowym. W świecie nauki sygnałów o takim charakterze jest wiele, począwszy od przebiegów ekonometrycznych i statystycznych, poprzez sygnały określające procesy technologiczne, zjawiska fizyczne i chemiczne, kończąc na sygnałach w telekomunikacji i elektronice.
2. FILTR O SKOŃCZONEJ ODPOWIDZI IMPULSOWEJ FIR
Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej (ang. Finite Impulse Response filter - FIR filter) – rodzaj nierekursywnego filtru cyfrowego. Nazwa FIR oznacza filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej (polski skrót tej nazwy to filtr SOI). Oznacza to tyle, że reakcja na wyjściu tego układu na pobudzenie o skończonej długości jest również skończona (przez długość pobudzenia i odpowiedzi rozumiemy tu długość odcinka czasu, dla którego próbki sygnałuprzyjmują wartości niezerowe). Aby warunek ten był spełniony, w filtrach tego typu nie występuje pętla sprzężenia zwrotnego, z tego powodu nazywane są nierekursywnymi. Filtr ten opisany jest następującym równaniem:
0
) ( ) ( ) (
m
m n x m h n
y (1)
gdzie: x(n) – sygnał wejściowy, y(n) – sygnał wyjściowy, h(m) – odpowiedź impulsowa filtra. W dziedzinie częstotliwości równaniu (1) odpowiada zależność:
pr j
j j
f e f
X e H e
Y( ) ( ) ( ) 2 (2) gdzie: Y(ejΩ), H(ejΩ) i X(ejΩ) – widma Fouriera, Ω – częstotliwość unormowana.
W przypadku zastosowania filtrów FIR do wygładzania sygnałów stosujemy skończoną liczbę współczynników h(m) odpowiedzi impulsowej - N (N=2k+1 - zwykle nieparzysta ilość elementów) oraz wprowadzamy opóźnienie by dla bieżącej próbki sygnału wyjściowego y(n) korzystać z przeszłych x(n-k) i przyszłych x(n+k) wartości sygnału wejściowego. Jednocześnie korzystamy z symetrycznej odpowiedzi impulsowej co powoduje, że filtr ma liniową charakterystykę fazową. Powyższe ustalenia prowadzą do następującej zależności:
) ( ) ( )
( ) ( )
(
2 1
2 1
k h k h gdzie k
n x k h n
y
N
k N
(3)
3. PRZYKŁAD KSZTAŁTOWANIA CHARAKTERYSTYK FILTRU
Jako przykład zostanie rozpatrzony filtr nierekursywny o masce pięcioelementowej (N = 5) opisany następującym równaniem:
) 2 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( )
(n ax n bxn cx n bx n axn
y (4)
Dla którego charakterystyka częstotliwościowa opisana jest wzorem:
c b
a
H()2 cos(2)2 cos() (5) Jeżeli chcemy eliminacji wyższych częstotliwości – filtr dolnoprzepustowy, to należy postawić warunki: H(0)=1 oraz H(π)=0 co prowadzi do zależności:
0 2
2
1 2
2
c b a
c b
a (6)
Którą przekształcając otrzymamy:
a c
b 2
2 1 4
1
cos(2 ) 1
2 ) 2 cos(
1 2 ) 1
( a
H (7)
By wyznaczyć a i c trzeba postawić dodatkowe warunki, kilka z nich przedstawiono poniżej:
a) np. chcemy by filtr miał pasmo przepustowe do Ω=½·π czyli H(Ω=½·π)=1
4 3 4 1 8 ) 1
1 1 ( 2 2
11 a a b c
ostatecznie:
4 ) 3 2 cos(
) 1 2 4 cos(
) 1
(
Ha (8)
b) w paśmie przepustowym charakterystyka była maksymalnie płaska, należy rozwinąć funkcję cos w szereg Taylora, co prowadzi do:
2 2 2
2
4 4 1 2 1
1 4 2 2 ) 1 2 ( 1 2 ) 1
(
a a
H (9)
8 5 4 1 16 0 1
4 4
2 2
a a b c
ostatecznie:
8 ) 5 2 cos(
) 1 2 8 cos(
) 1
(
Hb (10)
c) stawiamy żądanie by wariancja sygnału wyjściowego była minimalna:
) 2 ( ) 1 4 ( ) 1 ( ) 2 2 (1 ) 1 4 ( ) 1 2 ( )
(n axn x n a x n x n axn
y (11)
co prowadzi do zależności:
2 2
2 2
2
2 2 6
8 2 3
2 1 16 2 2 )
(a x a a x a a
y
która osiąga minimum dla:
6 1 4 1 6
1
b c
a
w końcu:
6 ) 1 2 cos(
) 1 2 3 cos(
) 1
(
Hc (12)
d) jeżeli wszystkie współczynniki są sobie równe a=b=c=1/5, to otrzymamy filtr średniej ruchomej o charakterystyce:
2 ) 1 5 cos(
) 2 2 5 cos(
) 2
(
Hd (13)
Charakterystyki amplitudowe proponowanych filtrów przedstawiono na rys. 2.
Rys. 2. Charakterystyki amplitudowe proponowanych filtrów FIR
4. WYNIKI TESTÓW
Proponowane filtry opisane równaniami (8, 10, 12, 13), poddano testom, polegającym na wygładzaniu ciągu próbek {xk}, wygenerowanych na podstawie tłumionego sygnału harmonicznego {sk} (8), przedstawionym na rys. 3, zakłóconych szumem {nk}, o rozkładzie normalnym (Gaussa), wartości przeciętnej zero E(n) = 0 i wariancji V(n) = n2
, gdzie wartość odchylenia standardowego n zmieniano w zakresie od 0 do 20 co 2.
) 1
; 0 4 (
sin
k k K
sk
e
Kk K(14)
Do porównania wyników filtracji zakłócenia zastosowano miarę błędu średniokwadratowego:
k k
k y
K s
MSE 1 2 (15)
Wartości uzyskane w tabeli 1 wskazują, że najlepiej usuwa zakłócenie filtr średniej ruchomej. Wyniki te potwierdzają teorię, gdyż ten filtr ma największą wartość współczynnika tłumienia dla zakłócenia o rozkładzie normalnym.
Również filtr oznaczony Hc (12), który realizuje minimalną wariancję przy warunku: H(0) = 1 oraz H(π) = 0, odznacza się porównywalnymi wartościami MSE z Hd. Wydaje się, że postulat dotyczący minimalnej wartości wariancji wraz z warunkami dotyczącymi parametrów częstotliwościowych, pozwala na optymalne usuwanie zakłócenia addytywnego o rozkładzie normalnym.
Rys. 3. Przebieg sygnału oryginalnego {sn} oraz zakłóconego szumem o rozkładzie normalnym {xn}
Tabela 1. Wartości błędu średniokwadratowego MSE dla poszczególnych filtrów
Lp. n Ha (8) Hb (10) MSE Hc (12) Hd (13)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0,0002 1,68 3,36 5,04 6,72 8,40 10,08 11,76 13,44 15,12 16,80
0,0000 1,45 2,90 4,34 5,79 7,24 6,68 10,13 11,58 13,03 14,48
0,0006 0,96 1,93 2,89 3,85 4,82 5,78 6,74 7,71 8,67 9,63
0,0007 0,95 1,89 2,84 3,78 4,73 5,67 6,62 7,56 8,51 9,45
LITERATURA
[1] Candy J.V., Signal Processing The Modern Approach. McGraw-Hill, New York 1988.
[2] Lyos R.G., Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów. WKŁ, W-wa 1999.
[3] Zieliński P.T., Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań. WKŁ, W-wa 2005.
ESTIMATING THE FREQUENCY RESPONSE NONRECURSIVE SMOOTHING FILTERS
The paper presents the problem of smoothing signals with digital filters with finite impulse response. Proposed variants of filter coefficients a 5-five elements, the values of which were selected based on the desired shape of the amplitude. The work can be used in the classroom with the subject for digital filtering, especially in issues of additive noise removal of normal distribution.
