Podstawy przetwarzania sygnałów

Podstawy przetwarzania sygnałów

5. Reprezentacja punktowa funkcji w postaci szeregu Fouriera

Ćw. 5.1 Rozwiń w szereg Fouriera funkcję f o okresie a = 2 zdefiniowaną na [−1, 1) wzorem f (t) = cos πzt, z ∈ C \ Z.

Wyprowadź równości:

π ctg πz = 1 z + 2z

∞

X

n=1

1

z²− n², π

sin πz = 1 z + 2z

∞

X

n=1

(−1)ⁿ z²− n².

Ćw. 5.2 Udowodnij, że

∀_x∈(0,2π)

∞

X

n=1

sin nx

n = π

2 −x 2. Na podstawie powyższej równości oblicz sumę szeregu

f (x) = ^X

n∈Z\{0}

1

ne^2iπnxa, 0 < x < a.

Ćw. 5.3 Niech f ∈ L¹_P(0, a) i niech {f_k} będzie ciągiem z L¹_P(0, a) takim, że

k→∞lim

Z a 0

|f (t) − f_k(t)| dt = 0.

Udowodnij, że dla ustalonego n

k→∞lim c_n(f_k) = c_n(f ).

Ćw. 5.4 (Szereg Fouriera iloczynu funkcji) Niech f i g będą funkcjami z przestrzeni L²_P(0, a).

1. Sprawdź, że f g ∈ L¹_P(0, a).

2. Niech

f_N(t) =

N

X

n=−N

c_n(f )e^2iπnta,

g_N(t) =

N

X

n=−N

c_n(g)e^2iπnat.

Udowodnij, że

c_n(f_Ng_N) =

N

X

k=−N

c_n−k(f )c_k(g).

3. Udowodnij, że f_Ng_N jest zbieżne do f g w L¹_P(0, a) i na mocy poprzedniego zadania wywnioskuj, że

∀_n∈Z c_n(f g) =

∞

X

k=−∞

c_n−k(f )c_k(g) i szereg ten jest zbieżny bezwzględnie.