Podstawy przetwarzania sygnałów
9. Transformata Fouriera funkcji z L
2(R
1)
Ćw. 9.1 Niech
f (x) = x
a2+ x2, a ∈ R, a 6= 0.
Udowodnij, że f nie należy do L1(R1). Wyznacz transformatę Fouriera f . Ćw. 9.2 Wyznacz transformatę Fouriera funkcji
f (x) = 1
a2+ x2, a ∈ R, a 6= 0,
dwoma sposobami: jako funkcji z L1 oraz poprzez rozkład na ułamki proste i wyzna- czenie ich transformat.
Ćw. 9.3 Oblicz
Z
R
sin2x x2 dx.
Ćw. 9.4 Wiedząc, że transformata Fouriera funkcji
f (x) = e−λx1I(0,∞)(x), λ > 0
ma postać
f (ξ) =ˆ 1 λ + 2iπξ,
a) podaj wzór odwrotnej transformaty Fouriera funkcji f ; b) wyznacz funkcję g, której transformata ma postać
ˆ
g(ξ) = 1 λ + iξ;
c) oblicz całkę
Z ∞
−∞
(a − iξ)(b + iξ) (a2+ ξ2)(b2+ ξ2) dξ.
