Podstawy przetwarzania sygnałów
6. Rozwijanie funkcji w szereg w bazie ortogonalnej — zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 6.1 Wykonaj wszystkie polecenia ćwiczenia 6.2, rozwijając funkcję w szereg cosinu- sów.
Zad. 6.2 Funkcję f (x) = x2 rozwiń jako funkcję 2π-okresową
1. w szereg sinusów, 2. w szereg cosinusów, 3. na przedziale [0, 2π].
4. Posługując się tymi rozwinięciami wyznacz sumy szeregów
∞
X
n=1
1 n2,
∞
X
n=1
(−1)n+1 n2 ,
∞
X
n=1
1 (2n − 1)2.
5. Sprawdź tempo zbieżności do zera współczynników cnwe wszystkich trzech przy- padkach.
6. We wszystkich trzech przypadkach sprawdź zbieżność punktową w punkcie x = π i x = 0.
Zad. 6.3 Funkcję f (x) = xπ2 − x zdefiniowaną na przedziale 0,π2rozwiń
1. w szereg sinusów, 2. w szereg cosinusów.
3. Czy oba te szeregi można różniczkować wyraz po wyrazie? Rozwiń f0(x) w szereg sinusów i w szereg cosinusów.
Zad. 6.4 Rozwinąć w szereg cosinusów funkcję f (x) = sin ax dla 0 ¬ x ¬ π, gdzie a nie jest liczbą całkowitą. Co otrzymamy, gdy a będzie całkowite?
