Podstawy przetwarzania sygnałów
Całka Lebesgue’a — teoria
Niech dana będzie przestrzeń Ω (Ω 6= ∅) z wyróżnioną σ–algebrą F . Oznaczmy R+ = {x ∈ R; x 0} ∪ {+∞}.
Definicja: Miarą na (Ω, F ) nazywamy funkcję µ : F → R+ spełniającą warunki:
• µ(∅) = 0,
• jeżeli A1, A2, . . . ∈ F są parami rozłączne, to µS∞j=1Aj=P∞j=1µ(Aj).
Przykłady:
• ν(A) =P∞k=1δk(A) — miara licząca ile spośród liczb naturalnych k znalazło sie w zbiorze A.
• miara Lebesgue’a l określona dla odcinków jako ich długość: l((a, b]) = b − a (korzystając z własności miary można także obliczać miarę Lebesgue’a zbiorów niebędących odcinkami).
Definicja: Niech dana będzie przestrzeń Ω z wyróżnioną σ–algebrą F i przestrzeń R z wyróżnioną σ–algebrą zbiorów borelowskich B (czyli σ–algebrą generowaną przez wszystkie odcinki otwarte).
Funkcje f : Ω → R nazywamy mierzalną, jeśli przeciwobraz każdego zbioru z B należy do F, tzn.
∀B∈B f−1(B) ∈ F . Przykład: Wszystkie funkcje ciągłe są mierzalne.
Konstrukcja całki Lebesgue’a: Niech f : (Ω, F ) → (R, B) będzie funkcją mierzalna, a µ niech będzie miarą na (Ω, F ).
Krok 1. f = 1IA, A ∈ F .
Z
f (x) dµ(x) := µ(A).
Przykład: f (x) = 1I[−3,3)(x)
• R 1I[−3,3)(x) dν(x) = ν([−3, 3)) = 2 (bo spośród liczb naturalnych tylko 1, 2 ∈ [−3, 3)).
• R 1I[−3,3)(x) dl(x) = l([−3, 3)) = 3 − (−3) = 6.
Krok 2. f jest funkcją prostą, tzn. f =Pmj=1aj1IAj, gdzie aj 0, Aj ∈ F dla j = 1, 2, . . . , m.
Z
f (x) dµ(x) :=
m
X
j=1
ajµ(Aj).
Przykład: f (x) = (sgnx + 2)1I[−3,3)(x) = 11I[−3,0)(x) + 21I{0}(x) + 31I(0,3)(x).
• R f (x) dν(x) = 1 · ν([−3, 0)) + 2 · ν({0}) + 3 · ν((0, 3)) = 1 · 0 + 2 · 0 + 3 · 2 = 6.
• R f (x) dl(x) = 1 · l([−3, 0)) + 2 · l({0}) + 3 · l((0, 3)) = 1 · 3 + 2 · 0 + 3 · 3 = 12.
Krok 3. f — nieujemna.
f przybliżamy od dołu funkcjami prostymi i
Z
f (x) dµ(x) = sup
Z
s(x) dµ(x); 0 ¬ s ¬ f, s — funkcja prosta
.
Krok 4. f — dowolna.
Oznaczmy f+(x) = max{f (x), 0}, f−(x) = max{−f (x), 0}. Jeżeli istnieje (< +∞)
R f+ dµ lub R f− dµ, to
Z
f dµ =
Z
f+ dµ −
Z
f−dµ.
Definicja: Mówimy, że funkcja mierzalna f : Ω → R jest całkowalna, jeśli R f+ dµ < +∞
i R f− dµ < +∞ (równoważnieR |f | dµ < +∞).
Uwaga: Można zdefiniować, że funkcja f : (Ω, F ) → (C, B(C)) jest całkowalna, jeśli całkowalne są Re f i Im f i wtedy
Z
f dµ =
Z
Re f dµ + i
Z
Im f dµ.
Całka Lebesgue’a a całka Riemanna: Niech f : [a, b] → R. Jeżeli f jest całkowalna w sensie Riemanna i ograniczona na [a, b], to jest mierzalna, całkowalna w sensie Lebesgue’a (względem miary Lebesgue’a) i całki są równe.
Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej: Niech 0 ¬ f1 ¬ f2 ¬ . . . będzie cią- giem funkcyjnym na (Ω, F , µ), zbieżnym prawie wszędzie (czyli poza ewentualnie zbiorem o mierze µ równej 0) do f . Wówczas
n→∞lim
Z
fndµ =
Z
f dµ.
Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności majoryzowanej: Niech f1, f2, . . . będzie ciągiem funk- cyjnym na (Ω, F , µ), zbieżnym prawie wszędzie do f . Jeżeli istnieje taka mierzalna i całkowalna funkcja g : Ω → R+, że
∀n∈N∀x∈Ω |fn(x)| ¬ g(x), to
n→∞lim
Z
fndµ =
Z
f dµ.
Twierdzenie o różniczkowaniu pod znakiem całki: Jeżeli funkcja dwóch zmiennych f : (a, b) × Ω → R spełnia następujące warunki:
• przy ustalonej pierwszej zmiennej (t) jest mierzalna na (Ω, F ) i całkowalna po drugiej zmien- nej (x),
• przy ustalonej drugiej zmiennej (x) jest różniczkowalna po t na całym odcinku (a, b),
• pochodna po t jest ograniczona przez funkcję całkowalną, niezależną od t,
to d
dt
Z
f (t, x) dµ(x)
(t0) =
Z ∂f
∂t(t0, x) dµ(x).
Twierdzenie Tonellego: Niech µ1 i µ2 będą σ-skończonymi miarami na przestrzeniach mierzal- nych odpowiednio (Ω1, F1) i (Ω2, F2). Niech f : (Ω1× Ω2, F1⊗ F2) → R będzie nieujemną funkcją mierzalną. Wówczas
Z
Ω1×Ω2
f d(µ1× µ2) =
Z
Ω1
Z
Ω2
fω1(ω2) dµ2(ω2)
dµ1(ω1) =
Z
Ω2
Z
Ω1
fω2(ω1) dµ1(ω1)
dµ2(ω2).
Twierdzenie Fubiniego: Niech µ1 i µ2 będą σ-skończonymi miarami na przestrzeniach mierzal- nych odpowiednio (Ω1, F1) i (Ω2, F2). Niech f : (Ω1× Ω2, F1⊗ F2) → R będzie funkcją mierzalną.
Jeżeli Z
|f | d(µ1× µ2) < +∞,
to
Z
Ω1×Ω2
f d(µ1 × µ2) =
Z
Ω1
Z
Ω2
fω1(ω2) dµ2(ω2)
dµ1(ω1) =
Z
Ω2
Z
Ω1
fω2(ω1) dµ1(ω1)
dµ2(ω2).
Twierdzenie o zamianie zmiennych: Niech V będzie zbiorem otwartym w Rd i niech f : V → R1 będzie funkcją mierzalną. Jeżeli T : U → T U = V jest dyfeomorfizmem zbio- rów otwartych (tzn. odwzorowanie T jest klasy C1, jest różnowartościowe i det DT (x) 6= 0 dla x ∈ U ), to całki RV f (y) dy i RUf (T (x))|det DT (x)|dx istnieją jednocześnie, i jeśli istnieją, to są
równe: Z
V
f (y) d =
Z
U
f (T (x))|det DT (x)|dx.
