EGZAMIN
z „Podstaw przetwarzania sygnałów”
I termin, 30 stycznia 2007
Zad. 1.
a) Wykaż, że funkcja zdefiniowana na odcinku (−1, 1) wzorem f (x) = π2− (x − 1)2 i prze- dłużona okresowo na R ma następujące rozwinięcie w szereg Fouriera:
π2−4
3
+
∞
X
n=−∞
n6=0
2(−1)n
i πn− 1
π2n2
eiπnx.
b) Korzystając z powyższego rozwinięcia, wyznacz sumę szereguP∞ n=1
1 n2 . Zad. 2.
a) Funkcja f jest określona na odcinku [0, π) wzorem f (x) = e−x. Wykaż, że rozwinięcie tej funkcji w szereg cosinusów ma postać
1 − e−π
π +2
π
∞
X
n=1
(−1)n+1e−π+ 1
n2+ 1 cos(nx).
b) Korzystając z powyższego rozwinięcia, rozwiń funkcję f w szereg sinusów.
Zad. 3. Oblicz granicę
n→∞lim Z
A
n2 lnpn x2+ y2
(x2+ y2)2 sinx2+ y2
n l2(dx dy),
gdzie A = {(x, y); 1 < x2+ y2< e2} .
Zad. 4.
a) Wykaż, że dyskretna transformata Fouriera ciągu stałego yk = a dla k = 0, 1, . . . , N − 1 ma postać
Y0= a
Yn= 0 dla n = 1, 2, . . . , N − 1.
b) Wyznacz dyskretną transformatę Fouriera ciągu (x0, x1, . . . , xN −1) = (2, 0, . . . , 0
| {z }
N −2
, 7).
Zad. 5.
a) Wykaż, że transformata Fouriera funkcji
f (x) = xex1I(−∞,0)(x) ma postać
f (ξ) =ˆ −1 (1 − 2iπξ)2 .
b) Korzystając z powyższego wzoru wyznacz trasformatę Fouriera funkcji g(ξ) = 1
(1 − iξ)2 .
