Podstawy przetwarzania sygnałów
5. Reprezentacja punktowa funkcji w postaci szeregu Fouriera — zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 5.1 Rozwiń w szereg Fouriera funkcję f (x) = {x}. Udowodnij, że
∀x∈(0,2)
∞
X
n=1
sin πnx πn = 1
2 −x 2.
Na podstawie powyższej równości oblicz
∞
X
k=0
1
(4k + 1)(4k + 3).
Zad. 5.2 Rozwiń w szereg Fouriera funkcję o okresie 2π zdefiniowaną na odcinku (−π, π) wzorem f (x) = x2. Udowodnij, że
∀x∈[−π,π]
∞
X
n=1
(−1)n
n2 cos nx = x2 4 − π2
12.
Na podstawie powyższej równości oblicz
∞
X
n=1
1
n2 oraz
∞
X
n=1
(−1)n n2 .
Zad. 5.3 Rozwiń w szereg Fouriera funkcję o okresie 2π określoną na odcinku (−π, π]
wzorem f (x) = sgn x. Zbadaj zbieżność szeregów
∞
X
k=0
sin(2k + 1)x
2k + 1 oraz
∞
X
k=0
(−1)k 2k + 1.
Zad. 5.4 Korzystając z twierdzenia o szeregu Fouriera iloczynu funkcji, rozwiń w szereg funkcję o okresie 2π określoną na odcinku (−π, π] wzorem
f (x) = x sin x.
Zad. 5.5 Korzystając z twierdzenia o szeregu Fouriera iloczynu funkcji, rozwiń w szereg funkcję o okresie 2π określoną na odcinku (−π, π] wzorem
f (x) = sgn x sin3x.
