Operatory liniowe.
1. W każdym z poniższych podpunków udowodnić, że operator T : X → Y (X, Y - przestrzenie liniowe) jest liniowy.
(i) Niech X = c będzie przestrzenią ciągów zbieżnych o wyrazach z ciała K, Y = K. Niech dalej T : c→Kbędzie określone następująco:
T (x) = lim
k→∞tk dla x = (tk)∞k=1 ∈ c.
(operator T jest funkcjonałem liniowym).
(ii) Niech X = l będzie przestrzenią ciągów sumowalnychh o wyrazach z ciała K, Y =K. Niech dalej T : l →K będzie określone następująco:
T (x) =
∞ k=1
tk dla x = (tk)∞k=1 ∈ l.
(operator T jest funkcjonałem liniowym).
(iii) Niech X będzie przestrzenią funkcji x : [a, b]⊂R→Króżniczkowalnych w [a, b], a Y =K[a,b]. Wtedy T x = x, gdzie x jest pochodną funkcji x jest operatorem liniowym z X w Y . (iv) Niech X będzie przestrzenią funkcji x : [a, b] ⊂ R → R całkowalnych na [a, b], a Y = R[a,b]. Wtedy T x =[a,b]x(t) dt jest operatorem liniowym z X w Y .
2. Udowodnić, że każdy operator liniowy T : Kn → Km, gdzie K jest ciałem liczb rzeczywi- stych lub zespolonych, jest postaci T x = y, gdzie
y1 = a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn, y2 = a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn, . . . , ym = am1x1+ am2x2+ . . . + amnxn,
(1)
przy czym x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , ym), aik ∈ K. Na odwrót, każdy operator T :Kn →Km postaci (1) jest liniowy.
3. Wykazać, że jeżeli T : X → Y , gdzie X, Y są przestrzeniami liniowymi, to T · θX = θY oraz obraz T X przestrzeni X w przestrzeni Y jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Y . 4. W zbiorze wszystkich operatorów liniowych T : X → Y można wprowadzić działania al- gebraiczne. Sumę T + S dwóch operatorów T i S określamy równością
(T + S)x := T x + Sx, a iloczyn αT operatora T przez liczbę α - równością:
(αT )x := αT x.
Arkusz 2
Sprawdzić, że:
(i) w wyniku tych działań otrzymujemy również operatory liniowe,
(ii) spełnione są wszystkie aksjomaty przestrzeni liniowej, czyli rozważany zbiór jest przestrzenią wektorową, w której elementem zerowym jest operator tożsamościowo równy zero.
Przestrzeń liniową operatorów liniowych T : X → Y oznaczamy symbolem L(X, Y ).
5. Określmy teraz odwzorowanie
T : X ⊃ x → [x] ∈ X / X0,
gdzie X / X0 jest przestrzenią ilorazową przestrzeni X przez podprzestrzeń X0. Przestrzeń X / X0 jest wyposażona w działania:
+ : (X / X˙ 0)× (X / X0)→ (X / X0) jako [x1] ˙+[x2] = [x1+ x2]
:K× (X / X0)→ (X / X0) jako α [x1] = [αx1],
gdzie [x] oznacza klasę równoważności lementu x ∈ X względem relacji równoważności R:
x R y ⇐⇒ y − x ∈ X0. Wykazać, że X / X0 jest przestrzenią wektorową, a T jest liniowe i przekształca X na X / X0. Ponadto pokazać, że ker(T ) = X0.
Przestrzenie unormowane.
6. Sprawdzić, że funkcja : X × X →R+ określona wzorem
(x, y) = x − y
dla x, y∈ X, gdzie X jest przestrzenia unormowan a, spełnia aksjomaty metryki.
7. Wykazać, że w przestrzeni unormowanej (X, ) norma jest funkcja ci agł a, jednostajnie ciagł a, a nawet spełnia warunek Lipschitza ze stał a 1 (tzn. dla dowolnych x, y ∈ X mamy
| x − y | 1 · x − y).
8. Udowodnić, że kula domknieta w przestrzeni unormowanej jest zbiorem wypukłym.
9. Wykazać, że w przestrzeni Rn(Cn) zachodza nierówności:
x2 x1 √ nx
2,
x∞ x2 √ nx
∞,
x ∞ x1 n x∞ dla x∈Rn(Cn), czyli normy te sa równoważne.
Arkusz 3
10. Rozważmy przestrzeń C ([a, b]) z normami f∞ = maxatb|f(t)| i f1 = ab|f(t)| dt.
Weźmy fn ∈ C ([a, b]) , n = 1, 2, . . . określone fn(t) = (t− a)n, t∈ [a, b] . Pokazać, że (i)fn∞ = (b− a)n, fn1 = (b−a)n+1n;
(ii) nie istnieje stała M > 0 taka, że fn∞ M fn1;
(iii) dla funkcji gn = (b− a)−nfn ciag (g n)∞n=1 jest zbieżny do zera w normie 1, ale nie w normie ∞.
Wynika stad, że normy te nie s a równoważe.
11. Niech 1 i 2 bed a dwiema normami w przestrzeni wektorowej X. Wykazać, że każdy ze wzorów
x = x1 +x2,
x = x21 +x22,
x = max {x1,x2} ,
również określa norme w pzestrzeni X oraz, że normy te s a równoważne.
12. Niech bedzie norm a w przestrzeni liniowej X, a x 0-ustalonym elementem z tej przestrzeni. Pokazać, że
x − y∗ =
0, x = y
x − x0 + x0− y , x = y generuje metryke w przestrzeni X.
13. Rozważmy przestrzeń Cn([a, b]) funkcji zmiennej rzeczywistej t ∈ [a, b] ciagłych wraz ze swoimi pochodnymi do rzedu n wł acznie. Określamy działania w sposób naturalny oraz funkcje:
x = |x(a)| + |x(a)| + . . . + |x(n−1)(a)| + sup
atb|x(n)(t)|,
x = |x(b)| + |x(b)| + . . . + |x(n−1)(b)| + sup
atb|x(n)(t)|,
x = max
sup
atb|x(t)|, sup
atb|x(t)|, . . . , sup
atb|x(n)(t)|
. (i) Wykazać, że funkcje określaja normy.
(ii) Udowodnić, że ciag (x k)∞k=1 zbiega do x w przestrzeni Cn([a, b]) wtedy i tylko wtedy, gdy xk(t)→ x(t), xk(t)→ x(t), . . . , x(n)k (t)→ x(n)(t) jednostajnie dla a t b.
14. Rozważmy przestrzeń C ([0, 1]) z norma supremum. Niech g(t) = 2 − t 2. Znaleźć (nary- sować) domkniet a kul e ¯ B(g, 1/2) o środku g i promieniu 1/2. Co można powiedzieć o tej kuli, jeśli przestrzeć ta wyposażona jest w norme x 1 =01|x(t)| dt?
Arkusz 4
