Operatory liniowe.

Operatory liniowe.

1. W każdym z poniższych podpunków udowodnić, że operator T : X → Y (X, Y - przestrzenie liniowe) jest liniowy.

(i) Niech X = c będzie przestrzenią ciągów zbieżnych o wyrazach z ciała ^K, Y = ^K. Niech dalej T : c →^Kbędzie określone następująco:

T (x) = lim

k→∞tk dla x = (tk)^∞_k=1 ∈ c.

(operator T jest funkcjonałem liniowym).

(ii) Niech X = l będzie przestrzenią ciągów sumowalnychh o wyrazach z ciała K, Y =K. Niech dalej T : l →K będzie określone następująco:

T (x) =

∞ k=1

tk dla x = (tk)^∞_k=1 ∈ l.

(operator T jest funkcjonałem liniowym).

(iii) Niech X będzie przestrzenią funkcji x : [a, b] ⊂^R→^Króżniczkowalnych w [a, b], a Y =^K[a,b]. Wtedy T x = x^, gdzie x^ jest pochodną funkcji x jest operatorem liniowym z X w Y . (iv) Niech X będzie przestrzenią funkcji x : [a, b] ⊂ ^R → R całkowalnych na [a, b], a Y = ^R[a,b]. Wtedy T x =^_[a,b]x(t) dt jest operatorem liniowym z X w Y .

2. Udowodnić, że każdy operator liniowy T : Kⁿ → K^m, gdzie K jest ciałem liczb rzeczywi- stych lub zespolonych, jest postaci T x = y, gdzie

y1 = a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn, y2 = a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn, . . . , ym = am1x1+ am2x2+ . . . + amnxn,

(1)

przy czym x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , ym), aik ∈ K. Na odwrót, każdy operator T :^Kn →K^m postaci (1) jest liniowy.

3. Wykazać, że jeżeli T : X → Y , gdzie X, Y są przestrzeniami liniowymi, to T · θX = θY

oraz obraz T X przestrzeni X w przestrzeni Y jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Y . 4. W zbiorze wszystkich operatorów liniowych T : X → Y można wprowadzić działania al- gebraiczne. Sumę T + S dwóch operatorów T i S określamy równością

(T + S)x := T x + Sx, a iloczyn αT operatora T przez liczbę α - równością:

(αT )x := αT x.

Arkusz 2

Sprawdzić, że:

(i) w wyniku tych działań otrzymujemy również operatory liniowe,

(ii) spełnione są wszystkie aksjomaty przestrzeni liniowej, czyli rozważany zbiór jest przestrzenią wektorową, w której elementem zerowym jest operator tożsamościowo równy zero.

Przestrzeń liniową operatorów liniowych T : X → Y oznaczamy symbolem L(X, Y ).

5. Określmy teraz odwzorowanie

T : X ⊃ x → [x] ∈ X / X0,

gdzie X / X0 jest przestrzenią ilorazową przestrzeni X przez podprzestrzeń X0. Przestrzeń X / X0 jest wyposażona w działania:

+ : (X / X˙ 0)× (X / X₀)→ (X / X₀) jako [x1] ˙+[x2] = [x1+ x2]

 :K× (X / X0)→ (X / X0) jako α  [x1] = [αx1],

gdzie [x] oznacza klasę równoważności lementu x ∈ X względem relacji równoważności R:

x R y ⇐⇒ y − x ∈ X0. Wykazać, że X / X0 jest przestrzenią wektorową, a T jest liniowe i przekształca X na X / X0. Ponadto pokazać, że ker(T ) = X0.

Normy i przestrzenie unormowane.

6. Sprawdzić, że funkcja  : X × X →R₊ określona wzorem

(x, y) = x − y

dla x, y ∈ X, gdzie X jest przestrzenia unormowan
a, spełnia aksjomaty metryki.

7. Wykazać, że w przestrzeni unormowanej (X,  ) norma jest funkcja ci
agł
a, jednostajnie
ciagł
a, a nawet spełnia warunek Lipschitza ze stał
a 1 (tzn. dla dowolnych x, y ∈ X mamy

| x − y | 1 · x − y).

8. Udowodnić, że kula domknieta w przestrzeni unormowanej jest zbiorem wypukłym.

9. Wykazać, że w przestrzeni Rⁿ(_Cⁿ) zachodza nierówności:

x^₂ x₁ √ n^x^

2,

x^∞ x₂ √

n^x^_∞,

x ∞ x₁ n x_∞ dla x ∈^Rn(Cⁿ), czyli normy te sa równoważne.

Arkusz 3

10. Niech  ₁ i ₂ bed
a dwiema normami w przestrzeni wektorowej X. Wykazać, że każdy ze
wzorów

x = x₁ +x₂,

x = ^x²₁ +x²₂,

x = max {x₁, x₂} ,

również określa norme w pzestrzeni X oraz, że normy te s
a równoważne.

11. Niech   bedzie norm
a w przestrzeni liniowej X, a x
₀-ustalonym elementem z tej przestrzeni. Pokazać, że

x − y^∗ =





0, x = y

x − x0 + x0− y , x = y generuje metryke w przestrzeni X.

12. W przestrzeni ^R2 zaznaczyć w układzie współrzędnych sferę jednostkową S(0, 1), czyli zbiór punktów opisany za pomocą zbioru {(x, y) ∈ R² :||(x, y)||p = 1} dla p = 1, p = 2, p = ∞.

13. Wykazać, że || · || jest normą w R² i wyznaczyć domkniętą kulę jednostkową B(0, 1) = {(x, y) ∈R² :||(x, y)|| 1}, jeśli

(i)||(x, y)|| = ^8(x − y)²+ (x + y)²; (ii) ||(x, y)|| = max |x|, |y|, |x − y|;

(iii) ||(x, y)|| =√

4x²+ 5y²+|y|

dla (x, y) ∈^R2.

14. Wykazać, że wzór

||(x, y, z)|| = max^x²+ y², |z|

gdzie (x, y, z) ∈^R3 definiuje normę w R³ i wyznaczyć kulę domknietą B(0, 1) w tej normie.

15. Wykazać, że w przestrzeni skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne.

16. Niech p ∈ (0, 1) i d :R² → [0, +∞) będzie funkcją określoną następująco:

d(x, y) = (|x|^p+|y|^p)^p1 . Pokazać, że d nie jest normą w ^R2.

17. Niech x = (ξ1, ξ2, . . . ), gdzie ξn = −₁₁^5n dla n = 1, 2, . . . . Sprawdzić, czy x ∈ l¹ i ob- liczyć jego normę.

Arkusz 4

18. Niech x = (ξ₁, ξ2, . . . ), gdzie ξn = −₁₃^7n dla n = 1, 2, . . . . Sprawdzić, czy x ∈ l² i ob- liczyć jego normę.

19. Niech x = (ξ1, ξ2, . . . ), gdzie ξn = −₁₇^9n dla n = 1, 2, . . . . Sprawdzić, czy x ∈ l^∞ i obliczyć jego normę.

20. Pokazać, że ciąg x =1,_ln2¹ ,_ln3¹ , . . .należy do przestrzeni c0, a nie należy do przestrzeni l^p dla p 1.

21. Niech xn = _n¹,¹_n, . . . ,_n¹, 0, 0, . . . ,. Sprawdzić, czy ciąg (xn)^∞_n=1 jest zbieżnyc w prze- strzeniach c0, l^p dla p 1.

22. Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Półnormą w tej przestrzeni nazywamy każdą funkcję p : X →^R spełniajacą warunki:

P1) p(x) 0,

P2) p(λx) = |λ|p(x), P3) p(x + y) p(x) + p(y)

dla dowolnych wektorów x, y ∈ X i λ ∈ K. Wykazać, że (i) jeśli p spełnia warunek P2), to p(Θ) = 0,

(ii) jeśli p spełnia warunki P2) i P3), to spełnia warunek P1), (iii) dla dowolnych x1, x2, . . . , xn ∈ X

p(x1 + x2+· · · + x_n) p(x₁) + p(x2) +· · · + p(x_n), (iv) dla dowolnych x, y ∈ X

|p(x) − p(y)| p(x − y).

Arkusz 5