Zbadać zbieżność szeregów używając kryterium d’Alemberta, Cauchy’ego, twierdzenia o za- gęszczaniu lub innych narzędzi

5. Zadania do wykładu Analiza IB, R. Szwarc

1. Zbadać zbieżność szeregów używając kryterium d’Alemberta, Cauchy’ego, twierdzenia o za- gęszczaniu lub innych narzędzi.

∞

X

n=1

1000ⁿ n!

∞

X

n=1

(n!)² (2n)!

∞

X

n=1

2ⁿn!

nⁿ

∞

X

n=1

3ⁿn!

nⁿ

∞

X

n=1

(n!)² 2ⁿ²

∞

X

n=2

2005ⁿ (log n)ⁿ

∞

X

n=2

1 (log n)¹⁰

∞

X

n=2

(log n)² n²

∞

X

n=1

1 3^√n

∞

X

n=1

2ⁿ n²⁰⁰⁵

∞

X

n=1



1 − 1 n

n² ∞

X

n=1

 n 2n − 1

n ∞

X

n=1



1 − 1 n



√n

∞

X

n=1

a_n, gdzie a_n=







n⁻¹, jeśli n = m² n⁻², jeśli n 6= m²

√ 2 +

q

2 −√ 2 +

r

2 −

q

2 +√ 2 +

s

2 −

r

2 +

q

2 +√

2 + . . . , Wskazówka:

√

2 = 2 cosπ 4. 2. Niech λ_n b¸ed¸a kolejnymi dodatnimi pierwiastkami równania tg x = x. Zbadać zbieżność sze-

regu

∞

X

n=1

λ⁻²_n .

3. Zbadać zbieżność szeregu

∞

X

n=1

λ(n)n⁻² , gdzie λ(n) oznacza ilość cyfr w zapisie dziesiętnym liczby n.

4. Uogólnić twierdzenie Cauchy’ego o zagęszczaniu: jaka własność ciągu indeksów g_ngwarantuje, że

∞

X

n=1

a_njest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

∞

X

n=1

(gn+1− g_n)agn, przy czym zakładamy, że ciąg a_n maleje do 0. Czy można przyjąć g_n = n² ?

5. Wykazać, że

∞

X

n=0

xⁿ n! ·

∞

X

n=0

(−x)ⁿ

n! = 1 stosując mnożenie Cauchy’ego szeregów.

6. Obliczyć sumę szeregu

∞

X

n=1

n²qⁿ, |q| < 1. stosując mnożenie Cauchy’ego szeregów.

7. Zbadać zbieżność szeregu 1 1^p − 1

2^q + 1 3^p − 1

4^q + 1 5^p − 1

6^q + . . . dla liczb dodatnich p i q.

8. Przestawić wyrazy zbieżnego szeregu

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

√n tak, aby otrzymać szereg rozbieżny.

9. Dowieść, że jeśli permutacja σ : N → N ma własność |σ(n) − n| ¬ M dla n = 1, 2, . . ., to ze zbieżności szeregu

∞

X

n=1

a_n wynika zbieżność szeregu

∞

X

n=1

a_σ(n) i sumy obu szeregów są równe.

10. Znależć sumę szeregu

∞

X

n=0

x^[n/2]y^[(n+1)/2].

∗11. Szereg

∞

X

n=1

a_n o wyrazach dodatnich jest rozbieżny. Pokazać, że szereg

∞

X

n=1

an

s_n jest rozbieżny (s_n = a₁ + a₂+ . . . + a_n) natomiast

∞

X

n=1

a_n

s²_n jest zbieżny. Wskazówka:

a_m+1

s_m+1 + · · · + a_n

s_n ­ 1 −s_m s_n an

s²_n ¬ 1

s_n−1 − 1 s_n. Co można powiedzieć o zbieżności szeregów

∞

X

n=1

a_n 1 + na_n i

∞

X

n=1

a_n 1 + n²a_n ?

∗12. Szereg

∞

X

n=1

an o wyrazach dodatnich jest zbieżny. Pokazać, że szereg

∞

X

n=1

an

r_n jest rozbieżny natomiast

∞

X

n=1

a_n

√r_n jest zbieżny, gdzie r_n =

∞

X

m=n

a_m. Wskazówka:

a_m

r_m + · · · + a_n−1

r_n−1 ­ 1 − r_n r_m a_n

√r_n ¬ 2(√

r_n−√ r_n+1).