(i) Badamy okresowość funkcji f (x) = 2 sin 3x. W tym celu musimy sprawdzić dla jakich t > 0 zachodzi f (x + t) − f (x) = 0 i wyznaczyć najmniejsze takie t, które nazywamy okresem podstawowym i oznaczamy przez T . Skorzystamy ze wzory na różnicę sinusów:

Funkcje

Rozwiązanie Zadania 27.

(i) Badamy okresowość funkcji f (x) = 2 sin 3x. W tym celu musimy sprawdzić dla jakich t > 0 zachodzi f (x + t) − f (x) = 0 i wyznaczyć najmniejsze takie t, które nazywamy okresem podstawowym i oznaczamy przez T . Skorzystamy ze wzory na różnicę sinusów:

sin α − sin β = 2 sin α − β

2 cos α + β 2 . Zachodzi następujący ciąg równości:

2 sin(3(x + t)) − 2 sin 3x = 2(sin(3x + 3t) − sin 3x) = 2 sin 3t

2 cos 6x + 3t 2 .

A zatem aby t było okresem funkcji f (x), musi zachodzić 2 sin

cos

= 0, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy sin

= 0, czyli

= kπ, gdzie k ∈ Z. Najmniejsze t spełniacjące powyższą zależność jest okresem podstawowym funkcji f (x) i wynosi T =

π.

(iii) Badamy okresowość funkcji g(x) = sin ax + cos bx. Tym razem oprócz wzoru na różnicę sinusów będziemy korzystać ze wzoru na różnicę cosinusów:

cos α − cos β = −2 sin α + β

2 sin α − β 2 .

Chcemy znaleźć t > 0, dla których zachodzi g(x + t) − g(x) = 0. Korzystając ze wzorów na różnicę sinusów i cosinusów otrzymujemy

sin(a(x + t)) + cos(b(x + t)) − sin ax − cos bx = 2 sin at

2 cos 2ax + at

2 − 2 sin 2bx + bt 2 sin bt

2 , przy czym ponieważ cos

i sin

są funkcjami x i nie są tożsamościowo równe 0, aby powyższe wyrażenie było równe 0 musi zachodzić

sin at

2 = 0 i sin bt 2 = 0.

Tak się dzieje wtedy i tylko wtedy, gdy at = 2kπ i bt = 2lπ, dla k, l ∈ Z. Ponieważ szukamy najmniejszego t spełniającego powyższe, dla takiego t musi zachodzić t|

oraz t|

. Stąd otrzymujemy T =

.

1