Dobra definicja pojęcia funkcji dwu zmiennych o wahaniu skończonym powinna spełniać następujące warunki:

ROCZNIKI POLSKIEGO T O W A R Z YS TW A MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE III (1959)

S.

(Warszawa)

Uwaga o wahaniu Kronroda funkcji dwu zmiennych

Uogólnienie pojęcia funkcji o wahaniu skończonym na przypadek funkcji dwu zmiennych było przedmiotem badań wielu matematyków.

Dobra definicja pojęcia funkcji dwu zmiennych o wahaniu skończonym powinna spełniać następujące warunki:

(a) Zbiór wszystkich funkcji o wahaniu skończonym (określonych na pewnym prostokącie domkniętym) powinien być liniowy (tzn. kom­

binacja liniowa funkcji o wahaniu skończonym jest funkcją o wahaniu skończonym).

(b) Funkcja o wahaniu skończonym powinna mieć różniczkę zupełną w prawie każdym punkcie.

(c) Funkcja, spełniająca warunek Lipschitza względem obydwu zmiennych, w szczególności funkcja klasy Cx (tzn. mająca ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu), powinna być funkcją o wahaniu skończo­

nym.

Warunek (b) można uważać za naturalne uogólnienie twierdzenia Lebesgue’a o różniczkowalności prawie wszędzie funkcji jednej zmien­

nej o wahaniu skończonym.

Warunek (c) ma zapewnić to, by zbiór funkcji o wahaniu skończo­

nym nie był zbyt „wąski” . Jest on odpowiednikiem znanego faktu, że każda funkcja jednej zmiennej spełniająca warunek Lipschitza, w szcze­

gólności każda funkcja o ciągłej pochodnej, jest funkcją o wahaniu skoń­

czonym.

W chwili obecnej nie znamy definicji spełniającej warunki (a), (b), (c). Żadna z wielu znanych (nie równoważnych) definicji funkcji o waha­

niu skończonym nie spełnia powyższych warunków. Nie wiadomo nawet, czy taka definicja jest możliwa.

Jedną z interesujących prób zdefiniowania funkcji dwu zmiennych o wahaniu skończonym jest definicja Kronroda (patrz [1]). W przeci­

wieństwie do innych autorów Kronrod charakteryzuje wahanie funkcji ciągłej dwu zmiennych f {x, y), określonej w pewnym prostokącie do-

R oczn ik i PTM - Prace Matematyczne III 4

50 S. Rolewicz

mkniętym P, za pomocą dwu (a nie jednej) liczb. Mianowicie, wahaniem liniowym lub jednowymiarowym funkcji / nazywa Kronrod liczbę

(i) v ( D = ] ч > л т ,

gdzie Фf(t) oznacza ilość składowych nie redukujących się do punktu zbioru /-!(<) = [{x, y): f { x , y ) = i].

Wahaniem płasMm funkcji / nazywa Kronrod liczbę

(2 )

Щ / ) = f v(f~1{t))dt,

gdzie v(E) jest jednowymiarową miarą Hausdorffa zbioru E.

Funkcja ciągła jest o wahaniu skończonym (w sensie Kronroda), jeśli V (/) <

i W(f) <

Definicja Kronroda spełnia warunek (b). Celem niniejszej pracy jest wykazanie, że nie spełnia ona warunku (c). Wykażemy mianowi­

cie, że

Tw i e r d z e n i e

1. Istnieje funkcja ciągła dwu zmiennych Masy Сг, taka że V(j) =

i W (/) <

Jak zauważył C. K-yll-Nardzewski, z twierdzenia 1 wynika, że defi­

nicja Kronroda nie spełnia również warunku (a).

Definicję wahań Kronroda V(f) i W(f) można uogólnić na przypadek funkcji ciągłej n zmiennych t = f ( x 17 . . . , x n) (patrz [1], str. 128), okre­

ślonej w pewnym w-wymiarowym przedziale P. Definicja V(f) pozostaje bez zmiany, natomiast w definicji (2) wahania W{f) wielkość v(E) należy interpretować jako ( n - 1 ) - wy miarową miarę Hausdorffa.

Twierdzenie 1 jest szczególnym przypadkiem następującego ogól­

niejszego twierdzenia:

Tw i e r d z e n i e

2. Istnieje funkcja ciągła klasy Cn_ 1 (x) n zmiennych t = f(x i, . .. , xn), określona w kostce jednostkowej Q = [p : p = (x17 . .. , xn), 0 ^ Xj ^ 1] dla j = 1

n, taka że V (/) =

i W (/) <

Niech g będzie funkcją klasy C^, określoną w przestrzeni ^-wymia­

rowej wzorem

gdzie p = (xx, 0 < g{p) < l.

g(p) =

0 dla r > 1,

exp [r2/(r2--1)] dla r < 1,

.., xn), r = Vx\-\-. • • + Xn Z definicji wynika, że

(г) Tzn. mająca ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu n — 1 włącznie.

TJwaga o wahaniu Kronroda funkcji dwu zmiennych 51

Mech

Qm = Q'\V

gdzie jak zwykle p = (хг, ..., xn). Przedział Qm jest sumą 2m(n kostek K m1 (j = 1 , 2 , . .., 2m(w_1)) o boku l/2 m.

USTa mocy definicji jest oo

m(n—\)

Q = I 1 Kmj + Qo, gdzie Q0 m=l j = i

Mech pmj oznacza środek kostki K mj i niech

f(p) =

1

m2m(n~1)

O

= Q-[p • n

dla P € -K-mj dla p e Q0.

Definicja powyższa jest poprawna, gdyż kostki K mj nie zachodzą na siebie, a funkcja / jest równa O w otoczeniu brzegu każdej z kostek K mj, dokładniej, w zbiorze K mJ- — S(pmj, l / 2 m- 4), gdzie S(p,r) oznacza kulę otwartą o środku w punkcie p i promieniu r. Stąd wynika, że funkcja / jest klasy w zbiorze Q — Q0. Ponieważ O < g(p) < 1, więc z defi­

nicji wynika, że funkcja / jest również ciągła w każdym punkcie p e Q0, jest więc ciągła na Q.

W podobny sposób dowodzi się ciągłości pochodnych cząstkowych funkcji / rzędu Tc < n — 1.

Funkcja

h(p) dkg{p)

dxai...d x aje

jest ograniczona, \h(p)\ < M, oraz równa zeru poza kulą 8 { 0 , 1). Z defi­

nicji jest

dkf ( P) 4 &

dxa ... дхаъ U1 aJc т2т^ - 1~к)

h[2m‘ ± { p - p mj)) dla

Jeśli p dąży do pQ ( p e Q ^ Q 0, p 0eQ0), to do 0. Stąd wynika, że

dkf(p) dXaV '.dxak

dkf(P) дхч ...д х ак

dkf(p) дхч ...д х ак

= O dla peQ o jest ciągła w całej kostce Q.

P e -K-mj •

dąży jednostajnie

i że pochodna

52 S. Iłolewicz

Wykażemy teraz, że V (/) = oo i W(f) < oo (2). Dla 0 < t < l /2 n_1 zbiór / -1(/) jest samą skończonej liczby sfer ( n - 1 ) - wymiarowy eh (nie­

które z nich mogą wyradzać się w punkty), o środkach w punktach pmj , j — 1 , 2 , . . . ,

fc(w_1)# p rzez Skt oznaczmy sumę sfer o środkach pkj.

Ponieważ dla ustalonego t zbiór Skt jest pusty dla dostatecznie dużych k, więc istnieje takie m, że

m

f-4 t) = 2 S m -

k

Stąd widać, że funkcja 0 f (t) przy i zmieniającym się ód l / 2 n_1 do 0 rośnie od 0 do

ma skoki w punktach tk = l/&2fc(rŁ-1) o

fc(n~1) i jest stała w przedziałach (tk, tk+1), к = 1 , 2 , 3 , . . .

Zatem

oo s

7 ( / ) = J 0 f {t)dt = f 0 f (t)dt =

—oo 0

OO fc— 1 00 oo

= J ? 2 k{n~ 1)\t: 0 f { t ) ^ 2 2 i(n_1)| = j r v (w_1)- l / & 2 fc(w_1) = £ l / T c = oo

fc=l г=1 fc=l ft= 1

(|22| oznacza miarę Lebesgue’a zbioru E; s = l/2 n_1).

Ponieważ

v(Sw) < а г р Ч ) * - 1 2k{n~1) = C /4 "-1

(gdzie (7 jest miarą (w—1)- wymiarową sfery w-wymiarowej jednostko­

wej), więc

oo oo oo oo

Щ /) = f = / y \ ( t f w)d< = ^ / »(яи)<й <

—oo — ooA ;=l &=1 O

oo

< CI4?-1 2 l/ lctfl"-1) <

*=i

Podamy obecnie dowód tego, że definicja Kronroda nie spełnia również warunku (a).

W tym celu udowodnimy najpierw

Le m a t.

Każda funkcja ciągła t = f (x, y) określona w kwadracie Q = [(®, У): O < ж, у < 1], śmZe rosnąca (tzn. taka, że nierówności

°°i < 2/i < 2/г implikują f { x x, yx) < / (

?2, y 2)) wahanie V(f) skoń­

czone.

(2) Na taki sposób dowodu zwrócił mi uwagę H. Fast.

Uwaga o wahaniu Kronroda funkcji dwu zmiennych 53

Dla dowolnego pnnktn p, należącego do przekątnej D — Q-[(x, у): X, xĄ-y = 1] kwadratu Q, niech Zv oznacza sumę odcinków p 0p i pxp, gdzie p0 — (0,0) i px — (0,1). Dla ustalonego tef(Q) i dowolnego punktu peJD zbiór f~x{t)'Zv zawiera dokładnie jeden punkt, ponieważ funkcja / jest rosnąca na odcinkach p 0p i ppx. Oznaczmy ten punkt przez F(p).

Przekształcenie F odwzorowuje odcinek D na zbiór / _1Ц) w sposób ciągły.

Zatem zbiór / -1(£) jest spójny, tzn. 0 f (t) < 1, skąd wynika prawdziwość lematu.

Mech teraz / oznacza funkcję spełniającą tezę twierdzenia 1, niech M = sup(|/^)|, \fy{p)\)j

peQ

oznaczmy

АО», У) = (Ж+1)(ж + у), f 2{x, у) = f ( x , y) + h( x , y).

Wahania liniowe funkcji f x i / 2 są skończone na mocy lematu, gdyż obie pochodne cząstkowe funkcji / 3 i / 2 są dodatnie. Wahania płaskie funkcji f x i / 2 są również skończone, bo obydwie funkcje spełniają waru­

nek Lipschitza, mają zatem skończone wahania Tonelliego, co jest rów­

noważne ze skończonością wahania płaskiego Kronroda (zob. [1], str. 103).

Ale funkcja f = f x — f 2 ma wahanie liniowe nieskończone. Zatem defi­

nicja Kronroda nie spełnia warunku (a).

Podobne twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji n zmiennych.

Praca cytowana

[1] А. G. К р о н р о д, О функциях двух переменных, Успехи Математических Наук 5 (1950), str. 2 4 -1 3 4 .

G. Ролевич (Варшава)

ЗА М Е Ч А Н И Е О ВАР И А Ц И И К РО Н Р О Д А Ф У Н К Ц И И Д В У Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х

Р Е З Ю М Е

В работе дан пример функции п переменных класса Сп- \ , для которой

■и--мерная вариация (в смысле Кронрода) конечна, а линейная бесконечна. Осно­

вываясь на этом примере автор доказывает, что множество функций с конечной вариацией (в смысле Кронрода) нелинейно.

54 S. Rolewicz S. Ro l e w ic z (Warszawa)

R E M A R K S ON TH E K R O N R O D O SC ILLA TIO N OF A FU N C TIO N OF TW O V A R IA B L E S

SUMMARY

The paper gives an example of a function of n variables of class Cn- i which has a finite «--dimensional oscillation (in the sense of Kronrod) and an infinite linear oscillation. On the grounds of that example the author proves that the set of functions with finite oscillation (in the sense of Kronrod) is not linear.