Teoria mocy
1 Zbiory skończone i zbiory nieskończone
Zadanie 1 Niech A będzie zbiorem skończonym. Udowodnij, że dla dowolnej funkcji f : A → A następujące warunki są równoważne:
(i) funkcja f jest różnowartościowa, (ii) funkcja f jest „na”,
(iii) funkcja f jest bijekcją.
Zadanie 2 Wykaż, że dla dowolnego zbioru A następujące warunki są równoważne.
(i) Zbiór A jest nieskończony.
(ii) Istnieje funkcja różnowartościowa f : A → A, która nie jest „na”.
(iii) Istnieje podzbiór B $ A oraz bijekcja f : A B.
Mówimy, że zbiory A i B są równoliczne, co zapisujemy |A| = |B|, jeśli istnieje bijekcja f : A B.
Z powyższego zadania otrzymujemy następującą charakteryzację zbioru nieskończonego.
Otóż zbiór jest nieskończony dokładnie wtedy, gdy jest równoliczny ze swoim właściwym pod- zbiorem.
Zadanie 3 Niech zbiór B będzie podzbiorem zbioru A. Uzasadnij, że:
(a) jeśli zbiór B jest nieskończony, to zbiór A też jest nieskończony;
(b) jeśli zbiór A jest skończony, to zbiór B też jest skończony.
Zadanie 4 Udowodnij, że jeżeli zbiór A jest nieskończony, to dla dowolnego podzbioru skończo- nego B ⊆ A, zbiory A i A \ B są równoliczne.
2 Zbiory przeliczalne
Zbiór, który jest skończony lub równoliczny ze zbiorem N liczb naturalnych, nazywamy zbio- rem przeliczalnym. Najprostsze przykłady zbiorów przeliczalnych to:
N, 2N, Z, Z × Z, Q.
Zadanie 5 Wykaż, że:
(a) każdy nieskończony podzbiór zbioru N jest równoliczny z N;
(b) każdy podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny.
Wiemy, że przeliczalna suma zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna. Wiemy również, że iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest przeliczalny.
Zadanie 6 Załóżmy, że alfabet X jest przeliczalny. Udowodnij, że wówczas:
(a) dla każdego n ∈ N zbiór słów długości n jest przeliczalny, (b) zbiór wszystkich słów (nad alfabetem X) jest przeliczalny.
1
Zadanie 7 Wykaż, że następujące zbiory są przeliczalne.
(a) Zbiór skończonych ciągów o wyrazach wymiernych.
(b) Zbiór wielomianów o współczynnikach wymiernych.
(c) Zbiór zespolonych pierwiastków wielomianów o współczynnikach wymiernych.
Zadanie 8 Uzasadnij, że następujące zbiory na płaszczyźnie z kartezjańskim układem współ- rzędnych, są przeliczalne.
(a) Zbiór wszystkich odcinków, których oba końce mają obie współrzędne wymierne.
(b) Zbiór wszystkich kół o promieniach wymiernych, których środki mają obie współrzędne wy- mierne.
(c) Dowolny zbiór rozłącznych kół.
3 Zbiory nieprzeliczalne
Zadanie 9 Rozważmy dowolny ciąg liczb rzeczywistych a1, a2, a3, . . . Podaj przykład liczby rze- czywistej, która nie występuje w tym ciągu.
Zadanie 10 Skonstruuj bijekcje między następującymi zbiorami:
R, R \ {0}, R+, (0, 1), [0, 1), [0, 1].
Zadanie 11 Wykaż, że zbiór R liczb rzeczywistych jest równoliczny ze zbiorem C liczb zespolo- nych.
Zadanie 12 Udowodnij, że zbiór nieskończonych ciągów o wyrazach naturalnych jest równolicz- ny ze zbiorem liczb rzeczywistych.
Rozwiązania, wskazówki, odpowiedzi
4 Wskazówka. Trzeba rozważyć podzbiór C zbioru A, zawierający zbiór B, równoliczny z N i skonstruować bijekcję C → C \ B. Tę bijekcję przedłużamy do bijekcji A → A \ B, określonej identycznościowo na A \ C.
6 Wskazówka.
(a) Zbiór słów długości n to Xn.
(b) Zbiór wszystkich słów to suma zbiorów słów długości n, gdzie n = 0, 1, 2, . . . 8 (c) Wskazówka. Szukaj punktów o obu współrzędnych wymiernych.
10 Wskazówka. Łatwo podać bijekcje między zbiorami R, R+i (0, 1). Bijekcje między zbiorami (0, 1), [0, 1) i [0, 1] konstruujemy tak jak w zadaniu 4.
Piotr Jędrzejewicz, Ćwiczenia ze wstępu do matematyki dla informatyków, I rok informatyki, jesień 2002.
Teoria mocy, wersja druga, 12 II 2003.
2
