dr Krzysztof yjewski Równania ró»niczkowe II, 2015/2016; 8 grudnia 2015

(1)

dr Krzysztof yjewski Równania ró»niczkowe II, 2015/2016; 8 grudnia 2015

Materiaªy pomocnicze do kolokwium 1

Przykªady rozwini¦¢ w szeregi pot¦gowe wybranych funkcji elementarnych:

e ^x =

∞

X

n=0

x ⁿ

n! = 1 + x + x ² 2! + x ³

3! + · · · , ln(1 + x) =

∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁺¹ x ⁿ

n = x − x ² 2 + x ³

3 − x ⁴

4 + · · · , ln(1 − x) =

∞

X

n=1

(−1)x ⁿ

n = −

x + x ²

2 + x ³ 3 + x ⁴

4 + · · ·

,

sin x =

∞

X

n=0

(−1) ⁿ x ²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! = x − x ³ 3! + x ⁵

5! − x ⁷

7! + · · · , cos x =

∞

X

n=0

(−1) ⁿ x ²ⁿ

(2n)! = 1 − x ² 2! + x ⁴

4! − x ⁶

6! + · · · , sinh x =

∞

X

n=0

x ²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! = x + x ³ 3! + x ⁵

5! + x ⁷

7! + · · · , cosh x =

∞

X

n=0

x ²ⁿ

(2n)! = 1 + x ² 2! + x ⁴

4! + x ⁶

6! + · · · , 1

1 − x =

∞

X

n=0

x ⁿ = 1 + x + x ² + x ³ + · · · , o ile |x| < 1, 1

1 + x =

∞

X

n=0

x ⁿ = 1 − x + x ² − x ³ + · · · , o ile |x| < 1, (1 ± x) ⁻

³²

= 1 ∓ 3

2 + 3 · 5

2 · 4 x ² ∓ 3 · 5 · 7

2 · 4 · 6 x ³ + · · · , o ile |x| < 1, J _α (x) =

∞

X

n=0

(−1) ⁿ

2 ^α+2n n!Γ(α + n + 1) x ^α+2n , α ∈ Z,

J _k (x) =

∞

X

n=0

(−1) ⁿ

2 ^k+2n n!(n + k)! x ^k+2n , k ∈ Z, gdzie J α (x), J _k (x)

jest funkcj¡ Bessela pierwszego rodzaju rz¦du α, (k).

1

(2)

dr Krzysztof yjewski Równania ró»niczkowe II, 2015/2016; 8 grudnia 2015

Niech punkt t 0 = 0 b¦dzie regularnym punktem osobliwym równania

t ² x ⁰⁰ + tp(t)x ⁰ + q(t)x = 0 (1)

gdzie

p(t) =

∞

X

n=0

p _n t ⁿ , q(t) =

∞

X

n=0

q _n t ⁿ .

Zgodnie z twierdzeniem Frobeniusa rozpatruje si¦ nast¦puj¡ce przypadki:

a) Je»eli λ 1 6= λ ₂ oraz ró»nica λ 1 − λ ₂ nie jest liczb¡ caªkowit¡, wówczas dwa liniowo niezale»ne rozwi¡zania równania (1) s¡ dane przez:

x ₁ (t) =

∞

X

n=0

a _n t ^n+λ

¹

;

x ₂ (t) =

∞

X

n=0

a _n t ^n+λ

²

,

(2)

gdzie wspóªczynniki a n oraz a n wyznaczamy z równa«:

a _n f ₀ (λ + n) + a _n−1 f ₁ (λ + n − 1) + . . . + a ₀ f _n (λ) = 0.

b) Je»eli ró»nica λ 1 − λ ₂ jest liczb¡ caªkowit¡, wówczas wybieraj¡c za λ 1 wi¦ksz¡ z liczb λ 1 , λ ₂ dwa liniowo niezale»ne rozwi¡zania (1) s¡ postaci

x ₁ (t) =

∞

X

n=0

a _n t ^n+λ

¹

;

x ₂ (t) =cx ₁ (t) ln t +

∞

X

n=0

a _n t ^n+λ

¹

,

(3)

gdzie staªa c mo»e równa¢ si¦ zeru.

c) Je»eli λ 1 = λ ₂ , wówczas

x ₁ (t) =

∞

X

n=0

a _n t ^n+λ

¹

;

x ₂ (t) =x ₁ (t) ln t +

∞

X

n=0

b _n t ^n+λ

¹

⁺¹ .

(4)

Uwaga 1. W przypadku b) oraz c) dla równania postaci A(t)x ⁰⁰ +B(t)x ⁰ +C(t)x = 0 do znalezienia drugiego rozwi¡zania mo»emy wykorzysta¢ wzór Liouville'a:

dr Krzysztof yjewski Równania ró»niczkowe II, 2015/2016; 8 grudnia 2015