Lista 19. Bryły obrotowe i długość krzywej
Bryły obrotowe
Załóżmy, że dana jest funkcja f (x) 0 określona na odcinku [a, b]. Obracamy (w trzech wymiarach) funkcję (lub jej pole pod wykresem) wokół osi Ox. Dla przykładu: jeśli f jest liniowa, to wychodzi stożek lub ścięty stożek.
Pole powierzchni bocznej - obracanie wokół osi OX
Aby znaleźć wzór na pole powierzchni bocznej zacznijmy od rozważania stożka.
1. Udowodnij wzór Ppb = πrl na pole powierzchni bocznej stożka, gdzie r jest promieniem podstawy, a l długością stożkowej.
2. Policz pole powierzchni bocznej stożka, który jest obrotem funkcji y = ax na odcinku [0, h]
wokół osi OX.
3. Policz pole powierzchni bocznej stożka, który jest obrotem funkcji y = ax + b na odcinku [0, h] wokół osi OX.
4. Narysuj dowolną funkcję i zaznacz w pewnym punkcie infinitezymalne przyrosty dx i dy.
Policz, że pole powierzchni bocznej tej funkcji obracanej względem osi OX jest równe (w przybliżeniu)p
dx2+ dy2=p1 + (f0(x))2dx.
Z powyższych zadań wynika, że pole powierzchni bocznej funkcji nad odcinkiem [a, b] obracanej wokół osi OX jest zadane wzorem:
Pp.b.= 2π Z b
a
f (x)p
1 + (f0(x))2dx.
5. Policz pole powierzchni bocznej figur powstałych przez obroty podanych funkcji nad poda- nymi odcinkami wokół osi OX:
(a) f (x) = x33 nad x ∈ [0, 1], (b) f (x) = x−11 nad x ∈ [2, 4],
6. Policz pole powierzchni bocznej kuli o promieniu R.
7. Dla jakich α > 0 powierzchnia boczna nad odcinkiem [1, ∞] funkcji f (x) = x1αjest skończona?
8. Oblicz pole powierzchni bocznej torusa, czyli oponki powstałej przez obrót okręgu:
x2+ (y − 2)2= 1 wokół osi OX.
9. Uzasadnij, że przecinając pomarańczę dwoma równoległymi nożami (o ustalonej odległości ostrzy) zawsze wytniemy tyle samo skórki.
Objętość - obracanie wokół osi OX
Rozumując podobnie dostajemy, że objętość bryły obrotowej wokół osi OX funkcji f : [a, b] → R wynosi:
V = π Z b
a
f (x)2dx.
10. Policz objętości brył powstałych przez obrót poniższych funkcji wokół osi OX:
(a) √
x nad x ∈ [1, 4], (b) sin x nad x ∈ [0, π],
(c) √41
x nad x ∈ [0, 1].
11. Policz objętość kuli o promieniu R.
1
12. Policz objętość elipsoidy, czyli figury zadanej równaniem:
x a
2 +y
b
2
= 1.
13. Znajdź figurę, która ma nieskończone pole powierzchni, ale skończoną objętość (czyli da się ją zapełnić wodą, ale nie da się pomalować). Wskazówka: zadanie 7.
14. Oblicz objętość torusa zdefiniowanego w zadaniu 8.
Długość krzywej
15. Uzasadnij, że długość wykresu funkcji f : [a, b] → R wyraża się wzorem:
L = Z b
a
p1 + (f0(x))2dx.
16. Policz długość wykresów funkcji:
(a) f (x) =√
x nad x ∈ [0, 1], (b) f (x) = sin x nad x ∈ [0, π],
(c) f (x) = ln x nad x ∈ [√ 3, 2√
2], (d) f (x) = 1 − ln cos x nad x ∈ [0, π/4],
(e) f (x) = 12(ex+ e−x) nad x ∈ [−1, 1].
√x na odcinku [0, 1].
Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl
2
