Gęstość rozkładu Gamma(α, λ) o parametrach α &gt

Statystyka I semestr zimowy 2017, seria I

1. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach X ∼ Gamma(α, λ) oraz Y ∼ Gamma(β, λ). Gęstość rozkładu Gamma(α, λ) o parametrach α > 0, λ > 0 jest dana wzorem

f (x) = λ^α

Γ(α)x^α−1e^−λx1(x > 0) .

Oznaczmy przez S = X + Y oraz R = _X+Y^X . Oblicz gęstości zmienych losowych S i R oraz wykaż, że są one niezależne.

2. Niech X ∼ N (0, 1) będzie zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym. Oblicz gęstość Z = X².

3. Załóżmy, że X ∼ N (0, 1). Pokaż, że dla parzystego k mamy EX^k= 1∗3∗5∗. . .∗(k−1) =: (k−1)!!.

4. Niech X1, . . . , Xn będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie normalnym N (µ, σ²), o wartości oczekiwanej µ i wariancji σ². Podaj gęstość zmiennej losowej

Z = 1 σ²

n

X

k=1

(X_k− µ)².

Rozkład zmiennej losowej Z nazywa się rozkładem chi-kwadrat o n stopniach swobody [χ²(n)].

5. Niech X, Z bedą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach X ∼ N (0, 1) oraz Z ∼ χ²(n).

Oblicz gęstość zmiennej losowej

T = X

pZ/n .

Rozkład zmienej losowej T nazywa się rozkładem t-Studenta o n stopnia swobody [t(n)].

6. Niech X i Y bedą niezleżnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie χ²odpowiednio z k i n stopniami swobody. Niech

F = X/k Y /n.

Oblicz gęstość rozkładu zmiennej F . Rozkład zmiennej losowej F nazywa się rozkładem F- Snedecora o k i n stopniach swobody [F (k, n)].

Wskazówki:

• Jeśli zmienna losowa X ma dystrybuantę F (x) i gęstość f (x) to zachodzi f (x) = _∂x^∂ F (x).

• Niech X będzie zmiennną losową w przestrzeni R^d o gęstości f (x) oraz niech Y = φ(X), gdzie φ jest dyfeomorfizmem. Z twierdzenia o zamianie zmiennych dla całki Lebesgue’a otrzymujemy, że gęstość g zmiennej losowej Y wyraża się wzorem

g(y) = f (φ⁻¹(y))|detDφ⁻¹| .

1