Wstęp do matematyki, 2021/2022 ćwiczenia 4.

Wstęp do matematyki, 2021/2022 ćwiczenia 4.

3 listopada 2021

1. (ℵ) Niech A_n= {0, 1, 2} ∖ {n} dla n ∈ {0, 1, 2}. Znajdź ⋂n∈NA_n oraz ⋃n∈NA_n. 2. Niech An= {x ∈ R∶ x ≤ n} dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋃^∞n=1An oraz ⋂^∞_n=1An. 3. Niech An= {x ∈ R∶_n¹ ≤x ≤ n} dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋃n=1^∞ An oraz ⋂^∞_n=1An.

4. Niech An=

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

(−¹_n,_n¹)∶2 ∤ n,

(_n¹₊₁, n)∶ 2 ∣ n dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋃^∞n=1A_n oraz ⋂^∞n=1A_n. 5. Niech A_t= {x ∈ R∶ ∣x − 2∣ > t²} dla t ∈ R. Znajdź ⋃t∈RA_toraz ⋂t∈RA_t.

6. Niech A_t= {⟨x, y⟩ ∈ R²∶x²+y²=t²} dla t ∈ R. Znajdź ⋃t∈RA_t, ⋂t∈RA_t, ⋃t∈R∖{0}A_toraz ⋂t∈R∖{0}A_t. 7. Niech An,m = {n, m} dla n, m ∈ {0, 1, 2}. Znajdź ⋂_n∈{0,1,2}⋂_m∈{0,1,2}An,m, ⋂_n∈{0,1,2}⋃_m∈{0,1,2}An,m,

⋃_n∈{0,1,2}⋃_m∈{0,1,2}An,m, ⋃_n∈{0,1,2}⋂_m∈{0,1,2}An,m, ⋂_n∈{0,1,2}⋂_m≥nAn,m, ⋂_n∈{0,1,2}⋃_m≥nAn,m,

⋃_n∈{0,1,2}⋂_m≥nAn,moraz ⋃_n∈{0,1,2}⋃_m≥nAn,m.

8. Niech An,m= {x ∈ R∶ m − (1 + (−1)ⁿ) ≤x ≤ m + (1 + (−1)ⁿ⁺¹)} dla n, m ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋂^∞n=1⋃^∞_m=1An,m

oraz ⋃^∞_m=1⋂^∞_n=1An,m.

9. (ℶ) Niech An= (−3 + (−1)ⁿ, 0) dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋂^∞m=1⋃_n≥mAn oraz ⋃^∞_m=1⋂_n≥mAn. 10. Niech Ak,x= {y ∈ R∶ ∣x − y∣ < ∣y − k∣} dla k ∈ Z, x ∈ R. Znajdź ⋂k∈Z⋃x∈RAk,x.

11. (ℷ). Niech f ∶ Q → {r ∈ R∶ r > 0} oraz niech I^q = (q − f (q), q + f (q)) dla q ∈ Q. Rozstrzygnij czy zawsze zachodzi ⋃q∈QI_q=R.

1