Wstęp do matematyki, 2020/2021 ćwiczenia 9.
7 stycznia 2021
1. Udowodnij, stosując metodę przekątniową, że dla każdego nieskończonego ciągu⟨xn⟩ ∈ XNistnieje element z∈ X ∖ {xn∶ n ∈ N}, gdzie X jest zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru liczb nieparzystych.
2. Udowodnić, że następujące zbiory mają moc continuum:
a) (ℵ) A = {⟨x, y⟩ ∈ R2∶ x ∈ Q}, b) zbiórB wszystkich prostych w R2, c) C = {A ⊆ Z∶ N ⊆ A},
d) D = {g ∈ NN∶ 2∣g(n) − n}.
3. Znajdź moc zbioru:
a) (ℶ) A = {A ⊆ N∶ ∀n∈Nn2∈ A},
b) wszystkich funkcji niemalejących N na N, c) C = {f ∈ NN∶ ∀nf(n) < f(n + 1) < f(n) + 3}, d) D = {A ⊆ Q∶ N ⊆ A},
4. (ℷ) Dla dowolnej liczby kardynalnej κ, kofinalnością κ (oznaczenie: cf(κ)) nazywamy najmniejszą liczbę kardynalną λ taką, że istnieje rodzina A o mocy λ zbiorów o mocy mniejszej niż κ i taka, że ∣ ⋃ A∣ = κ.
Udowodnij, że:
a) cf(ℵ1) = ℵ1 (gdzieℵ1 jest najmniejszą nieprzeliczalną liczbą kardynalną), b) dla każdej liczby kardynalnej κ, cf(cf(κ)) = cf(κ).
1
