Wstęp do matematyki, 2020/2021 ćwiczenia 7.

(1)

1. (ℵ) Dla danych zbiorów A, B udowodnij, że ∣A∣ = ∣B∣ znajdując bijekcję z A na B lub B na A.

a) A = N, B = N ∖ {2020}

b) A = N, B = N ∪ {π, 2π}

c) A = (0, 1), B = (0, 1],

2. Dla danych zbiorów A, B udowodnij, że ∣A∣ = ∣B∣ na dwa sposoby:

(i) korzystając w możliwie prosty sposób z Tw. Cantora-Bernsteina.

(ii) znajdując bijekcję z A na B lub B na A.

a) A = (0, 4), B = (0, 1], b) A = (0, 1), B = (0, 1) ∪ N,

c) (ℶ) A = {(x, y) ∈ R²∶x²+y²≤1}, B = A ∖ {⟨0, 0⟩}, d) A = N, B = N × N,

3. Czy prawdą jest, że dla dowolnych zbiorów A, B, jeśli ∣A ∖ B∣ = ∣B ∖ A∣, to ∣A∣ = ∣B∣? Czy prawdą jest odwrotna implikacja? Odpowiedź uzasadnić.

4. (ℷ) Wykaż, że ∣R × R∣ = ∣R∣.

1