Wstęp do matematyki, 2021/2022 ćwiczenia 5.
10 listopada 2021
1. (ℵ) Niech An= {x ∈ R∶ n2< x < 2n2} dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋃n=1∞ An oraz⋂∞n=1An.
2. (ℶ) Niech An,m = {f ∈ NN∶ f(n) = m}, n, m ∈ N. Znajdź: ⋃n⋂mAn,m,⋃m⋂nAn,m,⋂n⋃mAn,m oraz
⋂m⋃nAn,m.
3. Niech Ax= {y ∈ R∶ y > sin x}. Znajdź ⋃z∈R⋂x≥zAxoraz ⋂z∈R⋃x≥zAx.
4. Udowodnij, że funkcja jest różnowartościowa i znajdź przekształcenie odwrotne:
a) f∶ R2→ R2, f(x, y) = ⟨x + y, x − y⟩, b) F∶ P(R) → P(P(R)), F (A) = P(A).
5. Dany jest niepusty zbiór X i funkcja f∶ X → X. Udowodnij, że:
a) f jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy jedyną funkcją g∶ X → X spełniającą warunek f ○g = f jest idX.
b) f jest „na” wtedy i tylko wtedy, gdy jedyną funkcją g∶ X → X spełniającą warunek g ○ f = f jest idX. 6. Niech f∶ R → {x ∈ R∶ x > 0} będzie określone wzorem f(x) = 2x. Czy istnieje przekształcenie odwrotne do
f . Jakim wzorem się ono wyraża?
7. (ℷ) Znaleźć przekształcenie odwrotne do funkcji f∶ P(A)B → P(A × B), zadanej wzorem f(ϕ) = {⟨a, b⟩ ∈ A× B∶ a ∈ ϕ(b)}.
1
