Wstęp do matematyki, 2020/2021 ćwiczenia 12.
28 stycznia 2021
1. Rozstrzygnij, czy następujące dwa porządki są izomorficzne.
a) (ℵ) ⟨Z, ⪯⟩ oraz ⟨N, ≤⟩, gdzie k ⪯ l ⇔ (kl < 0 ∧ k > l) ∨ (kl ≥ 0 ∧ ∣k∣ ≤ ∣l∣).
b) ⟨N, ≤⟩ oraz ⟨N × N, ≤leks⟩ c) ⟨R × Q, ≤leks⟩oraz ⟨Q × R, ≤leks⟩ d) ⟨R × R, ≤leks⟩oraz ⟨R, ≤⟩
e) ⟨Q ∩ (0, 1), ≤⟩ oraz ⟨Q, ≤⟩
f) (ℶ) ⟨N, ⪯⟩ oraz ⟨{0, 1} × N, ≤leks⟩, gdzie n ⪯ m ⇔ ⟨(−1)n, n⟩ ≤leks⟨(−1)m, m⟩
g) ⟨Pf in(N), ⊑⟩ oraz ⟨N, ≤⟩, gdzie X ⊑ Y ⇔ (X = Y ∨ (max(X △ Y ) ∈ Y )).
2. Udowodnij, że zbiór wszystkich relacji liniowo porządkujących zbiór N ma moc c.
3. (ℷ) Udowodnij, że parami nieizomorficznych liniowych porządków na zbiorze N jest c.
4. Używając lematu Kuratowskiego-Zorna, a nie wskazując przykład, udowodnij, że istnieje zbiór A ⊆ R2, taki że żadne 3 punkty do niego należące nie leżą na jednej prostej, ale każdy punkt x ∈ R2∖A należy do pewnej prostej przechodzącej przez dwa różne punkty zbioru A.
1
