Wstęp do matematyki, 2021/2022 ćwiczenia 3. – rozwiązania

Wstęp do matematyki, 2021/2022 ćwiczenia 3. – rozwiązania

27 października 2021

1. Udowodnić, że jeśli r⊆ r^′oraz s⊆ s^′, to r⋅ s ⊆ s^′○ r^′.

Niech⟨a, b⟩ ∈ r ⋅ s, zatem istnieje c takie, że ⟨a, c⟩ ∈ r oraz ⟨c, b⟩ ∈ s, zatem ⟨a, c⟩ ∈ r^′oraz ⟨c, b⟩ ∈ s^′. Czyli

⟨a, b⟩ ∈ r^′⋅ s^′= s^′○ r^′.◻

2. Określ dziedzinę lewostronną i prawostronną oraz pole relacji:

a) r= {⟨n, 2n⟩ ∶ n ∈ N}

Dziedzina lewostronna N, prawostronna: zbiór liczb naturalnych parzystych, zatem pole relacji to N.

b) s⁻¹, gdzie s= {⟨x, x²⟩ ∶ x ∈ [−2, 1]}

Dziedzina lewostronna s to [−2, 1], a prawostronna to [0, 4], zatem dziedziny s⁻¹ odwrotnie – lewo- stronna to [0, 4], a prawostronna to [−2, 1]. W takim razie pole tej relacji to [−2, 4].

3. Niech r, s⊆ N² będą relacjami przeciwzwrotnymi (relacja r ⊆ A² jest przeciwzwrotna, jeśli dla każdego n∈ A, ⟨n, n⟩ ∉ r). Czy r ⋅ s oraz r⁻¹są przeciwzwrotne?

r⋅ s nie musi być relacją przeciwzwrotną, np. niech nrm ↔ n < m oraz s = r⁻¹, to⟨0, 1⟩ ∈ r, ⟨1, 0⟩ ∈ s, więc

⟨0, 0⟩ ∈ r ⋅ s.

Ale jeśli r jest przeciwzwrotna, to r⁻¹, też, bo jeśliby nr⁻¹n, to nrn i r nie byłaby przeciwzwrotna.◻ 4. Dla następujących zbiorów: o ile są podzbiorami płaszczyzny, naszkicuj je w układzie współrzędnych.

Sprawdź, czy jest funkcją A→ B dla pewnych zbiorów A, B, a jeśli tak, określ dziedzinę i przeciwdziedzinę.

Jeśli nie, podaj przykład dwóch par o tych samych poprzednikach i różnych następnikach, należących do tego zbioru.

a) {⟨x, y⟩ ∈ R²∶ x²= y²},

Nie jest to funkcja – pary⟨1, −1⟩ , ⟨1, 1⟩ stanowią kontrprzykład.

b) {⟨x, y⟩ ∈ R²∶ x = 2^y},

1

To funkcja, po prostu y= log2x. D_f= (0, +∞), R^f = R.

c) {⟨x, Y ⟩ ∈ R × P(R)∶ x ≥ 0 ∧ ∀^y(y ∈ Y ⇔ x = y²)},

To jest funkcja, bo jeśli⟨x, Y ⟩ , ⟨x, Y^′⟩ jest w tym zbiorze, to Y = {−√x,√x} = Y^′. Df = [0, +∞), R^f= {{x, −x}∶ x ∈ R}.

d) {⟨X, Y ⟩ ∈ (P(N))²∶ X ∪ Y = N}.

To nie jest funkcja, bo⟨0, N⟩ oraz ⟨0, N ∖ {0}⟩ są elementami tego zbioru.

5. Sprawdzić, czy dana funkcja jest różnowartościowa i czy jest „na”. Jeśli nie jest różnowartościowa, podaj przykład dwóch argumentów, które przyjmują te same wartości. Jeśli nie jest „na”, to znajdź Rf. a) f∶ R → R, f(x) = 2^x,

Jest różnowartościowa, bo jeśli 2^x= 2^x′, to x= log22^x′= x^′. Nie jest „na”, R_f= (0, +∞).

b) f∶ N²→ N, f(n, m) = 2ⁿ⋅ 4^m,

Nie jest różnowartościowa, bo np. f(0, 1) = 4 = f(2, 0). Nie jest „na”, R^f= {2ⁿ∶ n ∈ N}.

c) f∶ P(N) ∖ {∅} → N, f(X) = min X.

Nie jest różnowartościowa, bo np. f({0}) = 0 = f({0, 1}). Jest na bowiem dla każdego n ∈ N, f({n}) = n.

6. Niech X= {1, . . . , k}, Y = {1, . . . , n}. Znajdź liczbę funkcji f∶ X → Y : a) wszystkich,

Dla każdego argumentu dowolnie wybieramy wartość, czyli n^k. b) różnowartościowych,

Dla k > n zero. W przeciwnym wypadku dla każdego argumentu wybieramy wartość z pominięciem wybranych wcześniej, czyli n(n − 1) ⋅ . . . ⋅ (n − k + 1) = (n−k)!^n! .

c) bijekcji.

Dla k≠ n zero. W przeciwnym wypadku n! (permutacje).

7. (ℷ) Niech F∶ P(N)^N→ P(N) będzie określona następująco F(x) = ⋃{x(i)∶ i ∈ N}. Czy F jest różnowarto- ściowa? Czy jest „na”?

Funkcja ta nie jest różnowartościowa. Rzeczywiście, jeśli f∶ N → P(N) będzie takie, że f(n) = N dla każdego n∈ N, oraz g∶ N → P(N) będzie takie, że g(n) = {n} dla każdego n ∈ N. Wtedy

F(f) = ⋃

n∈N

N= N = ⋃

n∈N{n} = F(g).

Jest natomiast „na”, bowiem jeśli C∈ P(N), to niech h∶ N → P(N) będzie taka, że h(n) = C dla każdego n∈ N. Wtedy, F(h) = C.

2