Wstęp do matematyki, 2021/2022 ćwiczenia 6.

Wstęp do matematyki, 2021/2022 ćwiczenia 6.

17 listopada 2021

1. Dla danej funkcji f i zbiorów A, B, znajdź f[A] i f⁻¹[B]:

a) (ℵ) f∶ {0, 1, 2, 3}to{0, 1, 2, 3}, f = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩, ⟨3, 1⟩}, A = {0, 1, 2}, B = {0, 1, 2}.

b) f∶ R → R, f(x) = x², A= [−1, 2], B = [1, 4],

c) f∶ N × N → N, f(n, m) = max(n, m), A = {10⁵⁶} × N, B = {10⁵⁶}.

2. Dla danej funkcji f∶ R × R → R znajdź f[A] oraz naszkicuj w układzie współrzędnych f⁻¹[B]:

a) f(x, y) = xy, A = (−1, 1] × [−2, 2), B = [0, 1), b) f(x, y) = x − y, A = (R ∖ Q) × (R ∖ Q), B = (0, 1].

3. (ℶ) Niech f∶ R → R × R, f(x) = ⟨∣x − 1∣, ∣x + 1∣⟩. Znajdź f⁻¹[(1, +∞) × (1, +∞)] oraz naszkicuj w układzie współrzędnych f[R].

4. Niech f∶ R×R → R×R, f(x, y) = ⟨x + 3, y − 5⟩ , A = {⟨x, y⟩ ∈ R²∶ y = x²}. Naszkicuj w układzie współrzędnych f[A] oraz f⁻¹[A].

5. Niech F∶ N^N→ P(N) będzie dane wzorem F (f) = f⁻¹[P ], gdzie P jest zbiorem liczb parzystych. Sprawdzić, czy F jest „na” lub różnowartościowa.

6. Udowodnić, że funkcja f jest „na” wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego niepustego zbioru jest niepusty.

7. (ℷ) Niech F ∶ Q^N× P(Q) → P(N) będzie zadana wzorem F (f, A) = f⁻¹[A]. Zbadać czy F jest różnowarto- ściowa i „na” oraz obliczyć F⁻¹[{{1}}].

1