Wstęp do matematyki, 2021/2022 ćwiczenia 2. – rozwiązania
20 października 2021
1. Niech A2= {n ∈ N∶ ∃k∈Nn = 2k} oraz A3= {n ∈ N∶ 3∣n}. Wyznacz A2∩A3.
Twierdzimy, że A2∩A3= {n ∈ N∶ 6∣n} = A. Rzeczywiście, jeśli n ∈ A, to n = 6i dla pewnego i, zatem 3∣n oraz mamy n = 2(3i), a zatem również n ∈ A2. Zatem n ∈ A2∩A3, czyli A ⊆ A2∩A3.
Niech n ∈ A2∩A3zatem 3∣n oraz n = 2k dla pewnego k. To oznacza, że 3∣k, czyli k = 3i, zatem n = 6i oraz 6∣n, czyli n ∈ A, a zatem A2∩A3⊆A.
2. Znajdź sumę i przecięcie dla każdej z następującej rodzin zbiorów:
a) A = {{∅}, {∅, {∅}}}
⋃ A = {∅, {∅}}, ⋂ A = {∅}.
b) B = {∅, N, {n+12 ∶n ∈ N}}
⋃ B = {n2∶n ∈ N} = {0,12, 1, . . .}, ⋂ B = ∅.
c) C = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
⋃ C = {∅, {∅}}, ⋂ C = ∅.
3. Udowodnij, że dla dowolnej rodziny zbiorów A następujące warunki są równoważne:
a) ⋃ A ⊆ A
b) dla dowolnych x, Z, jeśli x ∈ Z i Z ∈ A, to x ∈ A c) dla dowolnego Z, jeśli Z ∈ A, to Z ⊆ A
d) A ⊆ P(A)
(1) ⇒ (2): Załóżmy, że ⋃ A ⊆ A oraz x ∈ Z i Z ∈ A, zatem x ∈ ⋃ A, a zatem z założenia x ∈ A.
(2) ⇒ (3): Załóżmy, że dla dowolnych x, Z, jeśli x ∈ Z i Z ∈ A, to x ∈ A, zatem biorąc dowolny Z ∈ A każdy jego element jest w A, czyli Z jest podzbiorem A.
(3) ⇒ (4) ∶ Załóżmy, że dla dowolnego Z, jeśli Z ∈ A, to Z ⊆ A oraz niech Z ∈ A. Z założenia Z ⊆ A, czyli Z ∈ P(A), a zatem A ⊆ P(A).
(4) ⇒ (1) ∶ Niech A ⊆ P(A) oraz niech x ∈ ⋃ A. Wtedy istnieje Y ∈ A, taki że x ∈ Y . Ale wobec założenia mamy, że Y ∈ P(A), czyli Y ⊆ A, a zatem x ∈ A, co dowodzi, że ⋃ A ⊆ A. ◻
4. Znajdź sumę i przecięcie dla każdej z następującej rodzin zbiorów:
a) A = {{∅}, {∅, {∅}}}
⋃ A = {∅, {∅}}, ⋂ A = {∅}.
b) B = {∅, N, {n+12 ∶n ∈ N}}
⋃ B = {n2∶n ∈ N} = {0,12, 1, . . .}, ⋂ B = ∅.
5. Niech A = {{∅}, {N, ∅}, {{7}, R, ∅}}. Wyznaczyć ⋃ A oraz ⋃ ⋃ A i ⋂ ⋃ A.
⋃ A = {∅,N, {7}, R}.
⋃ ⋃ A =R.
⋂ ⋃ A = ∅.
6. Niech A, B będą niepustymi zbiorami. Udowodnij, że ⋃ ⋃(A × B) = A ∪ B.
Jeśli x ∈ ⋃ ⋃(A × B), to istnieje y ∈ ⋃(A × B), że x ∈ y, a zatem istnieją a ∈ A, b ∈ B, że x ∈ y ∈ ⟨a, b⟩ = {{a}, {a, b}}, czyli y = {a} lub y = {a, b}, gdzie a ∈ A, b ∈ B, a zatem x ∈ A lub x ∈ B, czyli x ∈ A ∪ B.
Jeśli x ∈ A, to x ∈ {x} ∈ ⟨x, b⟩ ∈ A × B dla pewnego b ∈ B (a B jest niepusty). Zatem x ∈ ⋃ ⋃(A × B).
Jeśli x ∈ B, to x ∈ {a, x} ∈ ⟨a, x⟩ ∈ A × B dla pewnego a ∈ A (a A jest niepusty). Zatem x ∈ ⋃ ⋃(A × B). ◻
1
7. Relację r, r′⊆A2nazywamy przeciwzwrotną, jeśli ∀a∈A⟨a, a⟩ ∉ r. Czy jeśli r, r′⊆A2 są przeciwzwrotne, to r ∩ r′oraz r ∪ r′też?
Tak, załóżmy r, r′ są przeciwzwrotne oraz załóżmy nie wprost, że dla pewnego a, ⟨a, a⟩ ∈ r ∪ r′. Wtedy
⟨a, a⟩ ∈ r lub ⟨a, a⟩ ∈ r′, co przeczy przeciwzwrotności r lub r′. Podobnie jeśli ⟨a, a⟩ ∈ r ∩ r′, to ⟨a, a⟩ ∈ r, co przeczy przewcizwrotności r.
8. (ℷ) Relację r ⊆ N2nazwiemy skierowaną, jeśli ∀x,y,z∈N(⟨x, y⟩ ∈ r ∧ ⟨x, z⟩ ∈ r) → ∃t∈N(⟨y, t⟩ ∈ r, ⟨z, t⟩ ∈ r). Czy jeśli R jest rodziną relacji skierowanych i dla każdych r, s ∈ R zachodzi r ⊆ s lub s ⊆ r, to ⋃ R jest relacją skierowaną?
Tak. Oznaczmy ⋃ R jako R oraz niech x, y, z ∈ N będą takie, że ⟨x, y⟩ ∈ R∧⟨x, z⟩ ∈ R. W takim razie istnieją r, s ∈ R takie, że ⟨x, y⟩ ∈ r ∧ ⟨x, z⟩ ∈ s. Ale r ⊆ s lub s ⊆ r, bez straty ogólności przyjmijmy tę pierwszą opcję. Wtedy również ⟨x, y⟩ ∈ s, zatem z tego, że s jest skierowana mamy, że ∃t∈N(⟨y, t⟩ ∈ s, ⟨z, t⟩ ∈ s), ale w takim razie także ⟨y, t⟩ ∈ R, ⟨z, t⟩ ∈ R, co dowodzi tego, że R jest skierowana. ◻
2
