Algebra z geometrią MT Egzamin 12 czerwca 2010
(1) W zespolonej przestrzeni dwuwymiarowej z wybraną bazą (e1, e2) dane są wektory x= λe1+(1−i)e2, y = (−7+6i)e1+(λ−5+6i)e2, gdzie λ jest parametrem. Wyliczyć wartości parametru, dla których powłoka liniowa L(x, y) jest jednowymiarowa.
(2) W rzeczywistych przestrzeniach V i W wybrano bazy (e1, . . . , e5) i (f1, . . . , f4) odpo- wiednio. Definiujemy odwzorowanie liniowe A ∈ L(V, W ):
Ae1 = f1+ 2f2+ f3+ 3f4, Ae2 = 2f1+ f2+ 4f3+ f4, Ae3 = f1+ 5f2− f3+ 8f4, Ae4 = 3f1+ f2+ f3+ 2f4, Ae5 = 3f1− f2− 3f3.
Zapisać macierz tego odwzorowania w podanych bazach, znaleźć bazę jądra oraz bazę obrazu tego odwzorowania.
(3) W bazie ortonormalnej (e1, e2, e3) przestrzeni euklidesowej dana jest macierz operatora symetrycznego A:
A =
2 2 −2
2 −1 −1
−2 −1 −1
.
Wyliczyć macierz przejścia do ortonormalnej bazy własnej tego operatora. Podać:
– wektory nowej bazy jako kombinacje liniowe wektorów bazy (e1, e2, e3);
– macierz operatora w nowej bazie i jej związek z macierzą A.
(4) W trójwymiarowej euklidesowej przestrzeni afinicznej dane są równania ogólne trzech płaszczyzn:
−−→OXi· ai= µi, i= 1, 2, 3 ,
gdzie wektory a1, a2, a3są liniowo niezależne. Znaleźć punkt przecięcia tych płaszczyzn i jego odległość od płaszczyzny o równaniu ogólnym
−−→OY · (a1+ a2+ a3) = ν .
Wyliczyć wektor wodzący szukanego punktu i odległość dla następujących danych:
a1 = ˆi + ˆj − 2ˆk, a2 = −ˆi + 3ˆj + 2ˆk, a3 = ˆi − ˆk, µ1 = 1, µ2 = 3, µ3 = −1 ν = −2 ((ˆi, ˆj, ˆk) – ortonormalna, dodatnio zorientowana baza).
(*) [zadanie nadobowiązkowe] W dwuwymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej V z wybraną bazą (e1, e2) określamy zbiór wektorów: C = x ∈ V | (x1)2 = (x2)2 . Niech g będzie formą metryczną na tej przestrzeni, o następującej własności
g(x, x) = 0 ⇐⇒ x∈ C .
Wykazać, że warunek ten określa g z dokładnością do stałego czynnika.
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ – ZASADY EGZAMINOWANIA
1. Egzamin składa się z części pisemnej i ustnej.
2. Uzyskanie oceny pozytywnej z części pisemnej jest koniecznym warunkiem dopuszcze- nia do części ustnej.
3. Ocena z części pisemnej uwzględnia średnią z ocen z zadań oraz liczbę zadań ocenio- nych pozytywnie (≥ 3).
4. Jeśli oceny z części pisemnej oraz części ustnej są pozytywne, to ocena z przedmiotu jest średnią arytmetyczną ocen: egzaminu pisemnego, egzaminu ustnego oraz ćwiczeń.
W przeciwnym przypadku ocena z przedmiotu jest niedostateczna.
5. W przypadku otrzymania oceny niedostatecznej z egzaminu w I terminie można po- wtórnie przystąpić do całości egzaminu w II terminie.
6. Osoby, które w I terminie uzyskają z egzaminu pisemnego ocenę pozytywną, ale nie przystąpią do egzaminu ustnego w tym terminie, o czym poinformują mnie na egza- minie pisemnym (lub najpóźniej w poniedziałek rano), nie otrzymują oceny z całości egzaminu w tym terminie. W II terminie te osoby mogą nie powtarzać części pisemnej egzaminu.
