A ∗ (4~e1− ~e2+ 2~e3

GAL (I INF) EGZAMIN (I termin)

2 lutego 2012

UWAGI.

(i) Poszczeg´olne zadania nale˙zy oddawa´c na osobnych kartkach podpisanych imieniem i nazwiskiem.

(ii) Ka˙zde zadanie warte jest 5 punkt´ow, niezale˙znie od stopnia trudno´sci.

Zadanie 1. Znajd´z wszystkie liczby zespolone ε, dla kt´orych wyznacznik macierzy





1 ε ε² ε² 1 ε

ε ε² 1





wynosi −1.

Zadanie 2. Znajd´z wszystkie macierze A ∈ R^4,4 spe lniajace zale˙zno´_, sci

A ∗ (−~e₁+ ~e₂− 2~e₃) = A ∗ (4~e₁− ~e₂+ 2~e₃) = A ∗ (−2~e₁+ 2~e₂− ~e₃) = 3 · (~e₁+ ~e₂+ ~e₃+ ~e₄).

Jaki mo˙ze by´c rzad A? Czy istniej_, a wektory ~_, x, ~y ∈ R⁴\ {~0} takie, ˙ze dla wszystkich takich A mamy ~x ∈ N (A) i ~y ∈ R(A)?

Zadanie 3. Przedstaw og´olne rozwiazanie uk ladu r´_, owna´n

 x1 + 2x2 + 3x3 = 5

−¹₂x1 + x3 = 1

jako warstwe W (~_, x₀, Y₀) w przestrzeni R³. Nastepnie rozstrzygnij czy istnieje parametr rzeczywisty_, λ, dla kt´orego W (~x0, Y0) = W (~x1, Y1), gdzie ~x1= [λ, 1, 1]^T oraz Y1 = span [4, −5, 2]^T
.

Zadanie 4. Dane sa funkcjona ly liniowe s_, 1, s2, s3 ∈ (P_|R³ )^∗,

s1(p) = p(1), s2(p) = p(2), s3(p) = p(3), p ∈ P_|R³ . Przekszta lcenie liniowe f : (P_|R³ )^∗7→ P_|R³ spe lnia

f (s1) = 1 + t, f (s2) = 1 − t, f (s3) = f (s1) + f (s2).

Wyznacz bazy obrazu i jadra przekszta lcenia f ._,

1

2

Zadanie 5. Niech A ∈ R^5,4 bedzie macierz_, a uk ladu r´_, owna´n liniowych















x₁ + 2x₂ − 2x₃ + 3x₄ = a 2x1 + 4x2 − 5x3 + 3x4 = a

−2x₁ − 4x₂ + 7x₃ + 18x₄ = a x1 + 2x2 + 10x3 − 6x4 = a

−3x₁ − 5x₂ + 8x₃ + 8x₄ = a

Znajd´z, je´sli istnieja, macierze permutacji P ∈ R_, ^5,5, tr´ojkatn_, a doln_, a L ∈ R_, ^5,5 z jedynkami na g l´ownej przekatnej oraz tr´_, ojkatn_, a g´_, orna R ∈ R_, ^5,4, wszystkie o wsp´o lczynnikach ca lkowitych, takie ˙ze P ∗ A = L ∗ R. Nastepnie wyznacz wszystkie rozwi_, azania podanego uk ladu w zale˙zno´_, sci od parametru a ∈ R.

Zadanie 6. Niech f : P_|R³ 7→ P_|R² bedzie przekszta lceniem liniowym okre´_, slonym wzorem (f (p)) (t) = tp(0) + (1 − t)p(1).

Niech dalej g : P_|R² 7→ P_|R³ bedzie innym przekszta lceniem liniowym, kt´_, orego macierz w bazach A = [t − 1, t + 1] przestrzeni P_|R² i B = [1, t, t²] przestrzeni P_|R³ wynosi

G =



 2 0

−1 1 1 1



.

Znajd´z macierz z lo˙zenia h = g ◦ f w bazie B (wyj´sciowej i docelowej).

Zadanie 7. Niech X|K= Rⁿ_|R bedzie przestrzeni_, a Euklidesow_, a ze zwyk lym iloczynem skalarnym_, (~x, ~y)2= ~x^T ∗ ~y i odpowiadajac_, a mu norm_, a k~_, xk2=

√

~

x^T ∗ ~x. Rozpatrzmy macierz A = [~q₁, ~q₂, . . . , ~q_n−1, ~a],

w kt´orej wektory ~q_j ∈ Rⁿ, 1 ≤ j ≤ n − 1, tworza uk lad ortonormalny. Wyka˙z, ˙ze_,

|det_n(A)| = k~a − ~aYk₂,

gdzie ~aY jest rzutem ortogonalnym wektora ~a na podprzestrze´n Y = span(~q1, ~q2, . . . , ~qn−1).

Wskaz´owka. Rozpatrz najpierw szczeg´olny przypadek, gdy ~a jest ortogonalny do Y. W og´olnym przypadku, skorzystaj z rozk ladu ~a = (~a − ~aY) + ~aY.

Zadanie 8. Wyka˙z, ˙ze

kpk =p

p²(−1) + (p(0) + p(1))²+ p²(0)

jest norma w przestrzeni wielomian´_, ow X_|K = P_|R³ generowana przez pewien iloczyn skalarny w_, tej przestrzeni. Nastepnie znajd´_, z rzut prostopad ly wielomianu t² na podprzestrze´n Y = span(1, t) wzgledem tego iloczynu skalarnego._,