Metadane scenariusza
ID Tytuł
wypełnia autor; do 256 znaków.
Scenariusz lekcji „Zastosowanie twierdzenia Bezouta oraz twierdzenia o całkowitych pierwiastkach wielomianu w zadaniach z parametrem”
Przedmiot
Z listy dostępnej w Scholarisie;
wypełnia autor
Matematyka
Autor (imię i nazwisko)
wypełnia autor. Jeśli autorów jest wieku, oddzielamy ich przecinkami
Beata Ślusarczyk
Autor (ulica, nr domu)
Dane pierwszego autora, wypełnia autor
Św. Pawła 22a/11
Autor (kod, miejscowość) wypełnia autor
41-500 Chorzów
Autor (login w Scholaris) Beataslu2 Abstrakt
krótkie streszczenie; wypełnia autor
Lekcja utrwalająca znajomość i umiejętność stosowania twierdzenia Bezouta, twierdzenia o całkowitych pierwiastkach wielomianu o
współczynnikach całkowitych w zadaniach o podwyższonym stopniu trudności
Wydawca Źródło
Odnośniki
dokumenty powiązane; wypełnia autor wg opisu w Scholarisie
Karta pracy
Etap edukacyjny
wypełnia autor według listy opublikowanej w Scholarisie
Klasa druga szkoły ponadgimnazjalnej
Informacje o prawach Słowa kluczowe
wypełnia autor, około 10 terminów
Twierdzenie Bezout, pierwiastek wielomianu, wielomian, dzielenie, parametr
UDC
Czas trwania lekcji Wypełnia autor
45 min, czyli jedna godzina lekcyjna Uwagi
wypełnia autor Zakres rozszerzony podstawy programowej
Scenariusz lekcji – Zastosowanie twierdzenia Bezouta oraz
twierdzenia o całkowitych pierwiastkach wielomianu w zadaniach z parametrem
1. Cele lekcji
a) Wiadomości1. Utrwalenie znajomości twierdzenia Bezout
2. Utrwalenie znajomości definicji pierwiastka wielomianu
3. Utrwalenie znajomości twierdzenia o całkowitych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych
4. Utrwalenie umiejętności zapisu wielomianu w postaci iloczynowej b) Umiejętności
1. Uczeń zna i stosuje twierdzenie Bezout
2. Uczeń zna i stosuje definicję pierwiastka wielomianu
3. Uczeń zna i stosuje twierdzenie o całkowitych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych
4. Uczeń potrafi dokonać prawidłowej analizy treści zadania, wskazać zmienną i parametr
5. Uczeń potrafi prawidłowo uzasadnić poszczególne kroki rozwiązania zadania 6. Uczeń potrafi zastosować algorytm dzielenia wielomianów
7. Uczeń potrafi właściwie formułować wypowiedź jako podsumowanie własnych spostrzeżeń 8. Uczeń potrafi obiektywnie ocenić wkład pracy własnej i kolegów z klasy
2. Metoda i forma pracy
Pogadanka utrwalająca - pod kierunkiem nauczyciela uczniowie powtarzają poznane pojęcia, indywidualna praca uczniów-karta pracy, ćwiczenia-dyskusja rozwiązań,
3. Środki dydaktyczne
1. Foliogram z treścią zadań przygotowany przez nauczyciela, epidiaskop 2. Karty pracy uczniów
3. Tablica, kreda
4. Przebieg lekcji
a) Faza przygotowawcza
1. Czynności organizacyjne-sprawdzenie obecności i zadania domowego 2. Wprowadzenie do nowej lekcji:
a. Zapisanie tematu
b. Przypomnienie definicji pierwiastka wielomianu:
Nauczyciel prosi jednego z uczniów o przypomnienie definicji pierwiastka wielomianu, uczeń podaje odpowiedź: Pierwiastkiem wielomianu W(x) nazywamy każdą liczbę a, dla której W(a)=0. Następnie poleca uczniom wykonanie pierwszego polecenia z karty pracy. Uczniowie wykonują ćwiczenie 1 i podają odpowiedź: Dana liczba jest
pierwiastkiem wielomianu W(x).
c. Przypomnienie twierdzenia o postaci iloczynowej wielomianu.
Na prośbę nauczyciela o podanie twierdzenia uczniowie odpowiadają: Jeżeli wielomian n-tego stopnia W(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 ma n różnych pierwiastków x1, x2, …, xn, to W(x)=an(x-x1)(x-x2)…(x-xn). Następnie poleca uczniom wykonanie kolejnego
polecenia z karty pracy. Uczniowie wykonują ćwiczenie 2 i podają odpowiedź: np.
W(x)=2x(x+3)(x-1)
d. Przypomnienie twierdzenia Bezout
Uczniowie podają twierdzenie: Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a). Następnie udzielają odpowiedzi na polecenie 3 zawarte w karcie pracy: x1=0, x2=-4, x3=2.
b) Faza realizacyjna
1. Nauczyciel wyświetla przygotowany foliogram i prosi uczniów o zapoznanie się z treścią zadania nr 1. Uczniowie dyskutują dobór metody rozwiązania, poprzez analizę jego treści:
Znajdź współczynniki b i c wielomianu W(x)=x3+x2+bx+c wiedząc, że jest on podzielny przez dwumiany (x+1) oraz (x-2).
a. Jeden z uczniów zapisuje na tablicy układ równań z niewiadomymi b i c wynikający z zastosowania twierdzenia Bezout i definicji pierwiastka
0 12 2
0 0
2 0 1
c b
b c W
W
b. Uczniowie podają poznane metody rozwiązywania układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi i dokonują doboru jednej z nich w celu rozwiązania zapisanego układu.
Rozwiązanie zostaje zapisane przez jednego z uczniów na tablicy: b= -4 i c= -4 c. Uczniowie formułują odpowiedź, którą zapisują w zeszycie
2. Rozwiązywanie zadania o numerze 2 i treści:
Wyznacz wartość parametru a tak, aby był on równocześnie pierwiastkiem wielomianu W(x)=2ax3-5ax2+5a-2.
a. Uczniowie stosują definicję pierwiastka wielomianu otrzymując równanie z niewiadomą a. Jeden z uczniów zapisuje ustalone równanie na tablicy: W(a)=0 2a4-5a3+5a-2=0.
b. Nauczyciel prosi uczniów o podanie poznanych metod rozkładu wielomianu na czynniki. Uczniowie Podają metody: grupowania wyrazów i wyłączania wspólnego czynnika przed nawias, zastosowanie twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu i twierdzenia Bezout, wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia i przedstawianie trójmianu kwadratowego w postaci iloczynowej.
c. Wybór metody rozkładu wielomianu
Jeden z uczniów dokonuje wyboru metody i przedstawia rozkład na tablicy.
2(a4-1)-5a(a2-1)=0 (a2-1)(2a2-5a+2)=0
2(a-1)(a+1)(a-2)(a-0,5)=0
d. Wnioski wynikające z przeprowadzonych obliczeń.
Uczniowie podają wartości a spełniające dane równanie: pa=1, a=-1, a=2, a=0,5 oraz podają odpowiedź do zadania:
Wartości parametru a spełniające założenie zadania wynoszą:
a=1, a=-1, a=2, a=0,5
3. Przypomnienie twierdzenia o całkowitych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych
Na pytanie nauczyciela wybrany uczeń podaje twierdzenie: Jeżeli an0, a00 i współczynniki wielomianu W(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 są liczbami całkowitymi oraz wielomian ma pierwiastek całkowity p, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0
4. Rozwiązywanie zadania o numerze 3 i treści:
Zbadaj, dla jakich wartości parametru całkowitego m wielomian W(x)=-x3-m2x2-m3x+1 nie ma ani jednego całkowitego miejsca zerowego.
a. Uczniowie analizują treść zadania i zauważają, że jeżeli wielomian miałby całkowite pierwiastki to zgodnie z twierdzeniem byłyby nimi liczby 1 i -1. Ponieważ jednak treść zadania wskazuje, że wielomian nie ma ani jednego całkowitego pierwiastka to znaczy, że W(1)0 i W(-1)0 i mC -m3-m20 i m3-m2+20 i mC
b. Nauczyciel prosi uczniów o wykonanie polecenia z karty pracy, polegającego na tym, aby zapisali wielomiany G(m)=-m3-m2 oraz P(m)= m3-m2+2 w postaci iloczynowej. Uczniowie rozwiązują przykład samodzielnie konsultując ewentualne problemy z nauczycielem.
Oczekiwane efekty pracy uczniów powinny być następujące:
G(m)=-m2(m+1) oraz wykonują dzielenie:
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 1
: 2
2 2 2 3
2 2
3
m m m m
m m m
m m m
m m
Oblicza =-4<0 i zapisuje P(m)=(m+1)(-m2+2m-2)
c. Nauczyciel prosi uczniów o wykonanie kolejnego polecenia w karcie pracy.
Uczniowie wypisują pierwiastki wielomianu G(m): m=0 i m=-1 oraz pierwiastek wielomianu P(m): m=-1
d. Podsumowanie rozwiązania zadania-odpowiedź: Wielomian W(x) nie ma ani jednego całkowitego miejsca zerowego dla każdej liczby całkowitej m z wyjątkiem 0 i -1
c) Faza podsumowująca
Przypomnienie kluczowych pojęć i umiejętności opanowanych przez uczniów w trakcie lekcji oraz zadanie pracy domowej.
Ocena aktywności uczniów dokonana przez nauczyciela po zasięgnięciu opinii klasy.
Oddanie kart pracy nauczycielowi.
5. Bibliografia
1. Matematyka dla klasy I liceum i technikum- podręcznik, wydawnictwo SENS
6. Załączniki
Foliogram zawierający treści zadań przygotowany przez nauczyciela:
Zad.1. Znajdź współczynniki b i c wielomianu W(x)=x3+x2+bx+c wiedząc, że jest on podzielny przez dwumiany (x+1) oraz (x-2).
Zad.2. Wyznacz wartość parametru a tak, aby był on równocześnie pierwiastkiem wielomianu W(x)=2ax3-5ax2+5a-2.
Zad.3. Zbadaj, dla jakich wartości parametru całkowitego m wielomian W(x)=-x3-m2x2-m3x+1 nie ma ani jednego całkowitego miejsca zerowego.
a)Karta pracy ucznia
Imię i nazwisko ucznia...
1. Korzystając z definicji pierwiastka wielomianu sprawdź, czy liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=-6x3+13x-22
2. Wiedząc, że liczby 0, -3, 1 są pierwiastkami pewnego wielomianu stopnia trzeciego zapisz dla dowolnego a30 przykład wielomianu W(x) w postaci iloczynowej.
3. Wiedząc, że wielomian W(x)= 2x3+4x2-16x jest podzielny przez dwumiany (x+4) oraz (x-2) podaj liczby, które są pierwiastkami wielomianu W(x).
x1=..., x2=..., x3=...
4. Zapisz wielomian G(m)=-m3-m2 w postaci iloczynowej. Podaj liczby m, które są pierwiastkami wielomianu.
m1=..., m2=...
5. Korzystając z twierdzenia całkowitych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych określ liczbę m, która jest pierwiastkiem wielomianu P(m)=m3-m2+2. Zapisz wielomian P(m) w postaci iloczynowej.
m1=...
b) Zadanie domowe
Rozwiąż w domu następujące zadania:
Zad.1. Znajdź współczynniki b i c wielomianu W(x)=x3-4x2+bx+c wiedząc, że jest on podzielny przez dwumiany (x+1) oraz (x-3).
Zad.2. Wyznacz wartość parametru a tak, aby był on równocześnie pierwiastkiem wielomianu W(x)=ax3-ax2+a-4.
Zad.3. Zbadaj, dla jakich wartości parametru całkowitego m wielomian W(x)=x3+m2x2+3m3x+1 nie ma ani jednego całkowitego miejsca zerowego.
Uwaga: rozwiązania przez analogię do przykładów z lekcji.
