Typy zadań egzaminacyjnych – TRiL, studia niestacjonarne, sem.III, 2013/14
UWAGA: Na egzamin należy przynieść:
a) indeks - osoby bez indeksu moga zostać niedopuszczone do egzaminu,,
b) kalkulator (nie można korzystać z innych urządzeń elektronicznych).
Na egzaminie można także korzystać z pojedyńczej kartki formatu A4 wypełnionej odręcznym pismem zwykłej wielkości - na tej kartce może znajdować si,e dowolna treść z wyjatkiem,
rozwiazanych zadań.,
1. Wyznaczyć wielomian interpolacyjny drugiego stopnia przybliżający funkcję f (x|) = √
x, stosując wzór: a) Lagrange’a, b) Newtona. Przyjąć jako węzły interpolacji punkty x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 4. Korzystając z postaci tego wielomianu obliczyć przybliżoną wartość √
2.
2. Wyznaczyć wielomian interpolacyjny pierwszego stopnia przybliżający funkcję f (x) = cos x, stosując wzór: a) Lagrange’a, b) Newtona. Przyjąć jako węzły interpolacji punkty x 0 = 0, x 1 = π 3 . Korzystając z postaci tego wielomianu obliczyć przybliżoną wartość cos 18 π .
3. Dla funkcji y = f (x) określonej tabelką
x 1 2 5 8
f (x) 3 5 4 6
znaleźć wielomian aproksymujący (średniokwadratowo) pierwszego stopnia, przyjmując jako bazę funkcje: φ 0 (x) = 1, φ 1 (x) = x.
4. Dla funkcji y = f (x) określonej tabelką
x 1 2 3 4
f (x) 3,2 1,5 2,2 2,7
znaleźć wielomian aproksymujący (średniokwadratowo) drugiego stopnia, przyjmując jako bazę funkcje: φ 0 (x) = 1, φ 1 (x) = x, φ 1 (x) = x 2 .
5. Za pomocą metody: A) prostokątów środkowych, B) trapezów, C) Simpsona obliczyć całkę:
a) Z 1
0
e −x2dx, b) Z 2
0
1
1 + x 2 , c) Z 5
1
dx x .
przyjmując, że przedział całkowania dzielimy na 4 równe części.
6. Wykonać dwie iteracje metodą: a) połowienia, b) regula falsi, c) siecznych, d) stycznych w celu wyznaczenia pierwiastka równania x 3 + x 2 − 3x − 3 = 0 położonego w przedziale < 1; 2 >.
7. Rozwiązać metodą Cholesky’ego układ równań:
4x 1 + 2x 2 = 8 2x 1 + 5x 2 = 12 8. Wyznaczyć promień i przedział zbieżności poniższych szeregów potęgowych:
a)
∞
X
n=1
(−1) n (x − 4) n
2n , b)
∞
X
n=1
(3x + 5) n 5 n . 9. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcje:
a) f (x) = e x , b) f (x) = cos(x), c) f (x) = sin(x).
10. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcje
a) f (x) = |x| na przedziale h−1; 1i, b) f (x) = x na przedziale h−2; 2i, c) f (x) =
−3 dla x ∈ h−2; 1i
1 dla x ∈ (1; 3i (rozwinięcie na przedziale h−2; 3i).
11. Narysować i podać nazwy powierzchni przedstawionych równaniami:
a) z = p
x 2 + y 2 b) z = p
4 − x 2 − y 2 c) z = 2 − p
x 2 + y 2 d) z = 4 − x 2 − y 2 e) x = p
y 2 + z 2 f) y = − p
4 − x 2 − z 2 g) (x − 1) 2 + (z − 3) 2 = 1 h) z = (x − 2) 2 + (y − 3) 2 + 4
