J ah rg an g X V III.
U nterrichtsblätter
1912. No. 5.
für
Mathematik und Naturwissenschaften.
Organ des Vereins zur Förderung des m athematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts.
B egründet u nter M itwirkung von Bernhard S ch w alb e und F ried rich P ietzk er,
von diesem geleitet bis 1909, zurzeit herausgegeben von
Prof. Dr. A . Thaer,
Direktor der Oborrealsckule vor dem Holstentore in Hamburg.
V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W. 57.
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In h a l t : Z u r Reform des Rechenunterrichts, V o n Dr. E . B u n g e r s in H alle a. S. (S . 81). — W ie können Schüler zu selbständigen mathematischen A rbeiten angeregt w erden? V o n Prof. Dr. H u b e rt M ü l l e r in Metz (S. 88). — Ueber eine Sterbetafel für den Unterricht. V o n Pro f. Dr. R . G e r h a r d t in Pots
dam (S . 89). — Quadiattafel der Zahlen von 1 bis 1000. V o n D r. Th. A r l d t in Radeberg (S. 91). — D ie Binom ialreihe. V o n Pro f. M i l a r c h in Bonn (S. 94). — Elem entare Ableitung der Reihen für sinus und cosinus. Von Pro f. M i l a r c h in Bonn (S . 95). — Klein ere M itteilungen [Ableitung der M aclaurinschcn Reihe. V o n Prof. D a n e in M ayen, Rheinland (S. 95). — Anschauliche Summation geometrischer Reihen. V o n Dr. H . B ö t t c h e r in Leipzig (S. 96)]. — Vereine und Versammlungen [Naturforscherversammlung (S. 96). — Internationaler M athem atiker Kongreß (S . 97). — Geheim rat K le in (S. 97). — Verband deutscher Schulgeographen (S. 97). — B e ric h t über die biologisch-chemische A b teilung der 21. Hauptversammlung. V o n Prof. D r. E . L ö w e n h a r d t in H a lle a. S. (S . 98). — Kassenbericht fiir das J a h r 1911 (S. 98) — Druckfohlerbericbtigung (S. 99)]. — Bücherbesprechungen (S. 99). — Z u r Besprechung eingetroffene Büch er (S . 100). — Anzeigen.
Zur R eform des R ech en u n terrich ts.
Vortrag, gehalten auf der 21. Hauptversam mlung des V ereins zur Förderung des mathematischen und natur
wissenschaftlichen U nterrichts zu H a lle a. S.
von E . B u n g e r s (Hallo).
Meine H erren! W enn ich heute über R e
formen im R echenunterricht an den höheren Schulen zu reden beabsichtige, so ist es bei der Kürze der zugemessenen Zeit ausgeschlossen, daß ich mich m it Einzelheiten der Methodik und D idaktik befasse, soweit sie reformbedürftig sind oder Streitfragen darstellen. Ich will des
halb nicht reden von dem Z eitpunkt der Ein
führung der Dezimalzahlen, oder von der Grup
pierung des U nterrichts in Sachgebiete, oder aber auch, was m ir sehr am Herzen läge, über die Aufgaben aus der zusammengesetzten Regel- detri usw. Ich werde mich vielmehr beschränken auf die allgemeinen Ziele des Rechenunterrichts und ihre Erreichung, wobei sich dann allerdings zeigen wird, daß der Begriff „R echenunterricht“
w eiter gefaßt werden m uß, damit das eine Hauptziel w irklich erreicht wird.
Die Ziele, die der Rechenunterricht (im engeren Sinne) an den höheren Schulen ver
folgen soll, sind verschieden form uliert worden.*) Daß er, wie kaum ein anderer U nterricht, ge
eignet ist, die sog. formale Bildung, die Denk
fähigkeit des Schülers zu fördern, ist heutzutage so selbstverständlich, daß darüber kein W ort mehr verloren zu werden braucht.
Der R echenunterricht hat aber noch zwei andere Ziele, die für unsere Frage hier beson
ders in B etracht kommen. E r soll nämlich erstens den Schüler für das praktische Leben vorbereiten; dieses Ziel hat er g e m e i n s a m m it dem U nterricht an den Volksschulen. Zwei
tens aber soll er eine Vorstufe des nachfolgenden arithm etischen U nterrichts sein. Und dies Ziel u n t e r s c h e i d e t ihn vom Volksschulunterricht.
Diesen beiden Hauptzielen entsprechend, werde ich, indem ich nur die Reihenfolge umkehre, meine Ausführungen gruppieren um die beiden F ra g e n :
*) Vgl. z. B. L i e t z m a n n , Stoff und Methode des Rechenunterrichts in Deutschland. Leipzig-Berlin 1912, Teubner. S. 3. — V e r h a n d l u n g e n de r XI. D i r e k t o r e n v e r s a m m l u n g i n der P r o v i n z Sa c hs e n. Berlin 1911, Weidmannscbe Buchhand
lung. S. 187.
S. 82. Un t e r r i c h t s b l a t t e r. Jahrg. XV III. No. 5.
1. I n w e l c h e r W e i s e u n d i n w e l c h e m U m f a n g e k a n n d e r R e c h e n u n t e r r i c h t a u f d e n a r i t h m e t i s c h e n v o r b e r e i t e n ? 2. W i e k a n n d e r R e c h e n u n t e r r i c h t
f ü r da s p r a k t i s c h e L e b e n e r z i e h e n ? Daß es heutzutage noch Fachleute gibt, die behaupten, der R echenunterricht könne den arithm etischen nicht vorbereiten,*) ist wunder
bar. Offiziell aufgestellt ist die Forderung be
reits in den preußischen Lehrplänen von 1901 und zw ar m it gutem Grunde. Denn früher be
trachtete man den R echenunterricht nur als die Gelegenheit, wo die Schüler die für das Leben des Bürgers nötige R echenfertigkeit m it be
stimmten Zahlen erlernen sollten. Mit dem mathematischen U nterricht hatte er nichts zu tun. W as war aber die Folge davon?
Erstens ging das, was der Schüler sich im Laufe des Rechenunterrichts an F ertigkeit an
geeignet hatte, während der nächsten Jahre vollständig wieder verloren. Zweitens aber war dam it eine Kluft hinter dem R echenunterricht geschaffen, die um so plötzlicher und schärfer w irkte, als auf der anderen Seite ganz unver
m ittelt und ohne Ueberleitung die mathematische W issenschaft, gew appnet vom Scheitel bis zur Sohle m it dem schweren Panzer der wissen
schaftlichen Strenge des lückenlos logischen Aufbaus, an den jungen Verstand herantreten sollte.
Ich sage „ s o l l t e “, denn in W irklichkeit k o n n t e dieser Aufbau gar nicht lückenlos sein;
das w ird jeder im U nterricht erfahrene Fach
mann, der m it den Grundlagen der mathema
tischen W issenschaft vertraut ist, ohne weiteres zugeben. Was aber w eiter daraus folgte, war dies: der Sprung über die genannte Kluft ge
lang nur wenigen Schülern in befriedigender W eise, viele versagten dabei, obgleich sie viel
leicht vorher die Forderungen ihrer L ehrer voll
ständig befriedigt hatten.
So bildete sich die Anschauung heraus, als ob das Mißlingen des Sprunges das Normale sein müsse, man trö stete sich m it der bequemen Erklärung, daß die Erfüllung der mathematischen Forderungen der Schule an eine besondere Ver
anlagung geknüpft sei, und daß einer, der diese Veranlagung nicht besitze, sich gar nicht zu bemühen brauche, in der M athematik etwas zu leisten. In der Tat, die Forderungen, die man früher im U nterricht stellte, mögen nur bei einer bestim m ten Sonderbegabung des Schülers voll erfüllbar gewesen sein.
Aber es ist eben die Frage, ob die Forde
rungen berechtigt, ob die Einrichtung des U nter
richts zw eckentsprechend war. Und lange genug hat es g e d a u e rt, bis man sich in weiteren Kreisen darüber klar wurde, daß hier ein Miß
*) Vgl. die zitierte Direktorcnversammlung, S. 187.
stand vorlag, dessen Beseitigung ein Ziel sei, des Schweißes der Edlen w ert.
Die Lösung des hier auftretenden Reform
problems hat die Beseitigung der K luft zwischen R echen- und arithmetischem U nterricht zum Ziele, und der Plan, den hierbei eine besonnene Reform wird befolgen müssen, ist d ieser: sie muß dasjenige, wofür der Knabengeist zu diesem Zeitpunkte noch nicht reif ist, w eiter hinauf-, und dasjenige, wofür er schon früher Verständ
nis gehabt hätte, w eiter hinabschieben; das heißt aber: einerseits muß die mathematische Strenge w eiter zurückgedrängt und vorsichtig gehand- habt werden, andererseits muß der Rechenunter
richt den mathematischen Formen und Methoden sich allmählich angleichen.
W ährend die zweite Forderung, die An
gleichung des Rechenunterrichts, je tz t fast aus
nahmslos anerkannt und wohl auch befolgt wird, scheint die erste noch nicht allgemein für richtig gehalten zu werden. Nicht nur in m athem ati
schen Aufsätzen aus f r ü h e r e r Zeit findet man den nachdrücklichen Hinweis darauf, daß der mathematische U nterricht von T ertia bezw. Quarta aufwärts gerade durch die absolut strenge Logik seines Verfahrens auf den Knabengeist wirken solle, die mathem atische Strenge sei der rocher de bronce, um den niemand, der vorwärts kommen wolle, herumkäme. Auch in allerneuester Zeit sind solche Stimmen laut geworden,*) die da sagen, m it Beginn des mathematischen U n ter
richts müsse alles m it Ausnahme weniger w irk
lich unbew eisbarer Axiome logisch bewiesen w erden; von da an sei die A utorität des Lehrers und die Anschauung der Sinne nichts, die Logik des Beweises alles.
Ich weiß nicht, worüber man sich dabei mehr wundern soll: über den Mangel an psycho
logischem Verständnis für die Entwickelung des Kindes oder über die Grausamkeit, m it der hier junge Geister in ein P rok rustesbett gespannt werden sollen. W ie w eit man in dieser Rich
tung z. B. auch im planimetrischen Anfangs
unterricht ging, zeigt mir deutlich eine E r
innerung, die ich aus meiner Quartanerzeit bew ahrt habe. D ort wurde uns die gerade Linie erk lärt als eine m it dem Lineal gezogene L in ie ; auf die Form des Lineals, und also auch der Linie, käme es dabei absolut nicht an, und wenn das Lineal auch rund wäre wie ein Hosen
knopf usw. E rst viele Jahre später, als ich mich selbst m it nichteuklidischer Geometrie zu beschäftigen begann, ging mir die Erkenntnis auf, was wohl damals damit gem eint sei.
Gerade beim Beginn des mathematischen U nterrichts muß der pädagogische Grundsatz,
* ) V g l. G . R i e h m , Z u r D id a k tik des mathema
tischen Unterrichts in den Mittelklassen des Gymnasiums.
Jahresb ericht des Stadtgymnasiums zu H alle a. S. H a lle 1911, Gebauer-Schwetschke.
1912. No. 5.
Zu r Re f o r m d e s Re c h e n u n t e r r i c h t s.S. 83.
der auch sonst überall den U nterricht beherrschen m üßte, besonders peinlich beachtet werden, daß man nämlich von dem Kinde alles fernhalten muß, wofür ihm normalerweise das Verständnis einfach abgeht. W enn man von dem Jungen einen langwierigen Beweis verlangt, der ihm beim besteu W illen völlig überflüssig erscheint, dessen vielgerühmte strenge Logik ihm gar nicht zwingend zum Bewußtsein kommt, dann erreicht man eben nur bei ganz besonders veranlagten Jungen das, was man will; bei der großen Masse gerade das Gegenteil.
'Tiefer blickende Lehrer werden ja wohl schon früher darauf bedacht gewesen sein, hier den richtigen Uebergang zu finden und dem Schüler die neue Kost schm ackhaft und verdaulich zu
gleich zu machen. Allgemein aber und öffent
lich auf diesen wunden P u n k t hingewiesen und Abhilfe gefordert zu haben, das ist und bleibt ein Verdienst der Meraner Vorschläge der U nter
richtskommission, ganz abgesehen davon, ob man ihnen sonst in ihren Einzelheiten beistimm t oder nicht.
Ich komme nun zu der anderen Seite des Reformproblems, nämlich zu der Frage nach der Angleichung des Rechen- an den arithmetischen U nterricht. In welcher W eise kann diese An- gleicliung geschehen ?
Die Lehrpläne von 1901 sehen sie ausschließ
lich in der Anwendung der mathematischen Form bei Behandlung der Rechenaufgaben. Damit ist ohne Zweifel etwas sehr W esentliches getroffen für dieUeberbrückung der K luft zwischen Rechnen und Arithm etik. Denn wenn der Junge die Operationszeichen richtig zu verwenden versteht, die Rechengrößen mathematisch bezeichnen und einen Ausdruck mathematisch zergliedern kann;
wenn er die B edeutung der Klammern erfaßt hat und vor allem das Gleichheitszeichen in k orrekter Weise anzuwenden weiß, — so wird es ihm in T ertia keine erheblichen Schwierig
keiten bereiten, auch m it Buchstabenausdrücken zu operieren und die Bedeutung solcher Aus
drücke zu verstehen. W ährend früher F o r m u n d I n h a l t des neuen U nterrichts neu und ungewohnt war, ist je tz t n u r noch d e r I n h a l t neu, die Form ist bekannt und in Fleisch und B lut übergegangen.
Die Meraner Vorschläge der U nterrichtskom mission wollen nun die Vorbereitung des arith metischen U nterrichts in Quarta noch vervoll
kommnen „durch W iederholung geeigneter früher gelöster Aufgaben unter Anwendung von Buch
staben s ta tt bestim m ter Zahlen“, ferner durch Auswertung von Buchstabenausdrücken durch Einsetzen bestim m ter Zahlwerte. D er Zweck dieser Vorschläge ist offenbar der, daß die Schüler schon v o r dem Beginn der systematischen A rith
metik am Schlüsse des Quartapensums m it der Bedeutung der Buchstabenzahlen bekannt ge- I
macht und an ihre Handhabung gew öhnt werden.
Es ist aber fraglich, ob ein solcher Kursus am Schluß des Rechem m terrichts (im engereu Sinne) für die beabsichtigte Einführung in die Buch
stabenrechnung am zweckmäßigsten, oder ob nicht eine a l l m ä h l i c h e Einführung vorzu
ziehen ist.
Es wird natürlich sehr von der Individualität des einzelnen Lehrers abhängen, wann und wie er eine solche Einführung beginnen will. Nach meiner persönlichen Erfahrung ist es durchaus nicht ausgeschlossen, schon vom zweiten Jah re an, also in Quiüta, m it einer allmählichen Ein
führung der Buchstaben zu beginnen. Und das hat entschieden Vorteile.
Es kommt doch vor allem darauf an, daß der Schüler in der Einführung der Buchstaben nicht etwas W illkürliches erblickt, das ihm zu
nächst Unbehagen bereitet, sondern daß er von Anfang an das Gefühl hat, es sei dies ein natür
licher F o rtsch ritt von großer Bedeutung. Und dies Gefühl wird am besten dadurch erreicht, daß die Einführung bei passender Gelegenheit und vielleicht sogar so geschieht, daß der Schüler s e l b s t darauf kommt, bestimmte Zahlen durch Buchstaben zu ersetzen. Und solche Gelegen
heiten bieten sich in Quinta bereits ganz un
gezwungen dar. Ich habe stets bei Behandlung der Bruchrechnung die ersten Versuche in dieser Richtung gem acht und wohl immer m it be
friedigendem Erfolge. Beim ersten Auftreten erregen solche Brüche wie — oder — stets die
(lo y
kindliche H eiterkeit; man glaubt einen guten W itz gehört zu haben und geht auf diesen guten W itz m it Freude ein. Dieses Eingehen ist aber gerade von hervorragender W ichtigkeit, und wenn man es zu benutzen versteht, so geht die Spielerei sehr bald in ernstes Ueberlegen und eifrige M itarbeit Uber.
Nehmen w ir z. B. an, es sei durch zahlreiche konkrete Beispiele und nach den nötigen E r
läuterungen das Gesetz Uber die M ultiplikation zweier Brüche erkannt worden. Um die All
gem eingültigkeit dieses Gesetzes die Schüler fühlen zu lassen, wird man zunächst an be
stimm tzahligen Aufgaben die mathematische Form herauskehren und Gleichungen sagen lassen wie z. B.
3 5 3 - 5 4 ' 7 ~~ 4 • 7'
je mehr, desto besser, ohne daß das R esultat ausgerechnet wird. Plötzlich erscheint dann der Ausdruck
a c b ' d '
Zuerst, aber nur einen Augenblick lang, einige
Verblüffung, dann haben die Jungen verstanden,
S. 84.
Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.Jahrg. XVIII. No. 5.
a • c
worauf es ankommt, und sagen richtig: = --- ^ Ebenso kann man bei anderen Rechenregeln verfahren und bei passender Gelegenheit her
vorheben, wie man sich durch eine solche Gleichung
a c a • c b ' ä ^ b ^ d
viele W orte sparen kann, wie man hier m it einem Minimum von Zeichen ein m athematisches Gesetz dargestellt hat.
Ich möchte nicht mißverstanden w erd en ; ich befürw orte keineswegs schon auf dieser Stufe eine systematische Einführung in den F or
malismus der arithm etischen M ethoden; die Jungen sollen nicht etw a nach diesen Formeln rechnen. Im Gegenteil, sie sollen sich möglichst stets den W eg, auf dem sie zu den Rechen
regeln gelangt sind, im Bewußtsein erhalten.
Die erwähnten Bemerkungen sollen immer nur n e b e n b e i gemacht werden, die augenblickliche günstige Disposition des jugendlichen Geistes soll benutzt werden, um das erste Mal vor
sichtig einen Blick zu tun in neues Land, das er später endgültig betreten muß, und das ihm dann, wenn er seine W ichtigkeit und Bedeutung schon vorher geahnt hat, nicht m ehr so ganz fremd erscheint.
Es bietet sich aber auch noch andere Ge
legenheit zur Benutzung von Buchstabenzahlen, ich meine im propädeutischen Geom etrieunter
richt. Hier wird man m it den Schülern ohne Schw ierigkeit die ihnen von ihrem Baukasten her längst bekannten einfachen mathematischen Körper beschreiben. H at man z. B. das Prisma (zunächst als kantige Säule) besprochen, so wird man die Prismen nach der Seitenzahl unter
scheiden und feststellen lassen, daß das drei
seitige Prisma 3 • 3 Kanten, das vierseitige 3 • 4 Kanten usw. . . . schließlich das «-seitige 3 • n Kanten, das p-seitige 3 • p Kanten usw. hat.
In derselben W eise bestim mt man die Zahl der Flächen und der Ecken und kann dann umge
kehrt w ieder die gewonnenen allgemeinen Aus
drücke auf Einzelfälle anwenden lassen.
Ganz analoge Betrachtungen liefert n atür
lich die Pyramide.
Diese geometrischen Anwendungen der Buch
stabenzahlen lassen sich im Planimetriepensum der Quarta fortsetzen. Nachdem sich die Schüler überzeugt haben, daß die Summe der Außen
winkel eines Dreiecks gleich 4 R ist, wird man nicht verfehlen zu zeigen, daß diese Summe ganz unabhängig ist von der Eckenzahl und wird dies ohne Schw ierigkeit in der Form aus- driicken könuen, daß die Außenwinkel jedes
«-Ecks die Summe 4 R haben. Und weiter bietet es keine Schwierigkeit, die Summe der Innenwinkel aus der der Außenwinkel nicht nur
beim Dreieck, Viereck usw., sondern auch all
gemein beim « -E c k in der Form (2 n — 4) R abzuleiten. Dies R esultat finden die besseren Schüler ganz selbständig, und den anderen macht das Verständnis absolut keine Schwierigkeiten.
K ehrt man noch den W eg um und benutzt den allgemeinen Ausdruck, um die W inkelsumme für
n — 7; 8 ; 10; usw. zu berechnen, so hat derSchüler für das Verständnis der Buchstaben
rechnung sehr viel, wenn nicht alles, gewonnen.
Einen ganz analogen Abstecher pflege ich zu machen, wenn es sich darum handelt die Zahl der Schnittpunkte von 3; 4, . . . allgemein
n Geraden oder die Zahl der Verbindungsgeradenvon 3, 4 . . . allgemein n Punkten endlich die Zahl der Diagonalen in einem Polygon festzu
stellen. Die Ausdrücke, die sich hier ergeben, . n ( n — 1) « ( « — 3)
wie — , — bieten nun wieder wul-
2 2
kommene Gelegenheit, sie um gekehrt für b e
stimmte Zahlen auszuwerten und dadurch ihre Allgem eingültigkeit ins rechte Licht zu setzen.
Denn hier muß ich sag e n : das Auswerten von algebraischen Ausdrücken, wie es auf Grund der Meraner Lehrpläne je tz t in vielen Aufgaben
sammlungen gefordert wird, hat erst dann für die Einführung in die Arithm etik vollen W ert, wenn die Ausdrücke, wie in den erwähnten Bei
spielen, eine handgreifliche Bedeutung haben.
Daß außerdem der planimetrisclie Anfangs
unterricht bei Gelegenheit der Dreieckswinkel
berechnung zur Einführung in die Buchstaben
rechnung geradezu herausfordert, dürfte hin
reichend bekannt sein und von den Fachlehrern befolgt werden.
Hinweisen möchte ich je tz t noch auf einen anderen P u nkt, der geeignet erscheint, den arithm etischen U nterricht in wirksam er Weise vorzubereiten, das sind die sog. a l g e b r a i s c h e n A u f g a b e n ; sie werden von einzelnen Lehr
buchverfassern auch D e n k ü b u n g e n genannt.
In solchen Aufgaben liegt, glaube ich, die Mög
lichkeit, die Behandlung der Gleichungen so vor
zubereiten, daß ihre systematische Behandlung in T ertia als eine notwendige F ortsetzung des hier eingeschlagenen W eges erscheint. Gewiß sind diese Uebungen zunächst als Denkübungen oder Kopfrechenaufgaben gedacht und nützlich.
Von den einfachsten anfangend gelangt man zu schwierigeren und komplizierten, und es wird Sache des pädagogischen Taktes sein, heraus
zufinden, von welchem Schwierigkeitsgrade an
die Aufgaben für den U nterricht als nicht mehr
fruchtbringend zu bezeichnen sind. Ein großer
Teil solcher in den Rechenbüchern angegebenen
Aufgaben dürfte nach m einer E rfahrung für den
U nterricht nicht mehr rentabel sein, wenn man
sie eben w eiter n u r als reine Denkübungen
behandelt; sie überschreiten durchaus das Maß
1 912. N o. 5. Zu r Re f o r m d e s Re c h e n d n t e r r i c h t s. S. 8 5 .
der Anstrengung, das man der Denkfähigkeit der Schüler zumuten kann.
H ier ist meiner Meinung nach der geeignete Punkt, wo man dem Schüler, der an seiner F ähigkeit zu verzweifeln beginnt die Aufgaben w eiter zu bewältigen, m it einem neuen H and
werkszeug der M athematik zu Hilfe kommen kann. Man wird ihm zeigen, wie die mathe
matischen Zeichen uns in die Lage versetzen, zunächst einmal die Aufgaben, deren W ortlaut zu behalten an sich schwierig ist, schriftlich zu fixieren in einer Form, die die notwendigen und hinreichenden Angaben enthält; man wird ihm w eiter an den einfachsten Beispielen zeigen können, wie w ir die Operationen, die vorher im Kopfe ausgeführt wurden, nun auch an den schriftlich fixierten Ausdrücken ausführen können, ohne m it den Mängeln unseres Gedächtnisses in Konflikt zu geraten usw. Kurz man wird die Behandlung der Gleichungen an einem P unkte vorbereiten können, wo dem Jungen die N ot
w endigkeit einer solchen Vermehrung seiner Fähigkeiten durchaus plausibel ist.
Daß durch solche Exkurse das Kopfrechnen nicht eingeschränkt, die D enkarbeit des Schülers nicht verringert werden soll, ist selbstverständlich.
Das systematische Kopfrechnen halte ich bis in die Quarta hinein für unbedingt notwendig.
Hier soll es sich nur handeln um eine Vorbe
reitung für ein neues Gebiet, die bei der rechten Gelegenheit durch die Oekonomie des U nterrichts gefordert wird. Solche Momente gehören zu den pädagogisch interessantesten und bieten die reizvollsten Aufgaben, die dem L ehrer gestellt werden können.
Ich komme nun zu der anderen wichtigen Aufgabe, die dem R echenunterricht gestellt ist, nämlich die, den Schüler für das praktische Leben vorzubereiten. Es kann für den Sach
kenner keinem Zweifel unterliegen, daß der mathematische U nterricht, oder b esser: der R echenunterricht im weiteren Sinne neben dem G eschichtsunterricht am allermeisten geeignet ist, der vielgenannten staatsbürgerlichen Erziehung zu dien en; er tu t dies, indem er den Schüler in die geldw irtschaftliche Seite unseres modernen Lebens einführt. Geschichts- und mathematischer U nterricht verhalten sich dabei wie Theorie und Praxis: während der erstere auseinandersetzen wird, wie und bis zu welchem Punkte sich die wirtschaftlichen Verhältnisse der Völker und Staaten entwickelt haben; welches die treibenden Ursachen, die wirkenden historischen Kräfte sind und waren, w ird der letztere in die w irt
schaftlichen Verhältnisse der Gegenwart selbst durch konkrete Beisjiiele hineinführen. Diese konkreten Aufgaben, die der Schüler selbst be
handeln soll, werden ihn nicht nur zwingen in das moderne praktische Leben hineinzusehen, sondern sie werden auch, wenn anders er nicht
anormal veranlagt ist, sein Interesse für diese Verhältnisse in hohem Maße wachrufen können.
Und wenn wir heutzutage in der Pädagogik allgemein der e i g e n e n B etätigung des Schülers eine hervorragende Bedeutung beimessen, weil sie geeignet ist wie keine zweite Methode in der Entw ickelung des Schülers dauernde W erte zu schaffen, so müssen wir auch bei der staats
bürgerlichen Erziehung gerade dieser praktischen Seite eine ganz außerordentliche W ichtigkeit zuerkennen. Daraus folgt, daß die höhere Schule durch derartige Unterweisungen nur eine ihr zukommende erzieherische Pflicht erfüllt. Die Schüler müssen m it dem nötigen Handwerkszeug bewaffnet in das Leben hineintreten, wenn sie von der Schule als reif entlassen werden, sie sollen sich, wenn sie auf sich selbst gestellt werden, zurechtfinden im Labyrinth unserer w irt
schaftlichen Verhältnisse, sollen ihr eignes Ver
mögen nicht nur gu t verwalten und erhalten, sondern durch besonnene Verwaltung auch ver
mehren können, sollen nicht W ucherern in die Hände fallen, die sich ihre Unkenntnis zunutze machen.
Mit diesen Erwägungen knüpfe ich an die vortrefflichen Ausführungen an, die H err Prof.
v. L i l i e n t h a l auf der vorjährigen Versammlung unseres Vereins in M ünster gemacht hat.*) In umfassender und klarer W eise hat der Redner damals die Forderung ausgeführt und begründet, daß der mathematische U nterricht mehr als bis
her die p o l i t i s c h e A r i t h m e t i k verwerten müsse, und welche erzieherischen W erte in Hin
sicht auf das praktische Leben des zukünftigen Staatsbürgers dieses Gebiet zutage fördern könne.
Es sei mir g estattet, diese Ausführungen, die damals vom allgemeinen Standpunkte aus, mehr theoretisch, gem acht wurden, nun vom Stand
punkte der Schule, d. h. von der praktischen Seite her zu beleuchten. Nebenbei möchte ich bemerken, daß ich den Ausdruck „ p o l i t i s c h e A r i t h m e t i k “ anzuwenden vermeide, weil er das, was gem eint ist, nicht treffend wiedergibt, und jedenfalls bei dem Nichtfachmann andere Vorstellungen hervorruft als beabsichtigt ist.
Daß man auch früher den R echenunterricht als gute und notwendige Einführung in das praktische Leben b etrachtet hat, ist bekannt.
Denn das w ar ja früher sogar das e i n z i g e Ziel des R echenunterrichts. Und auch später, da nicht nur die pädagogischen Aufgaben dieses U nterrichts w eiter gefaßt, sondern auch der äußere Umfang der Schulmathematik vergrößert wurde, hat man die praktische Seite nicht ganz aus dem Auge verloren. Aber es ist m erk
würdig: an dieser Stelle scheint die E ntw icke
lung der pädagogischen Einsicht einen Ruhe
pu nk t gem acht zu haben. In richtiger E rkennt-
*) Vgl. diese Zeitschrift 1911, Nr. 5, S. 81 ff.
S. 86.
U N TERRICHTSBLÄTTER.Jahrg. X V III. No. 5.
nis der in dem Stoffe liegenden Schwierigkeiten meint H err v. L i l i e n t h a l , daß in den unteren Klassen wenig zu machen sein dürfte. Aber gerade diese Unterstufe ist es bisher gewesen, welche auf unseren höheren Schulen das Gebiet der bürgerlichen Rechnungen hauptsächlich, wenn nicht ausschließlich, erledigen sollte. Die preu
ßischen Lehrpläne von 1901 erwähnen derartige Rechnungen nur in I V ; zwar beschränken sie die Aufgaben klugerweise auf „die einfachsten Fälle der Prozentrechnung“, aber die durchaus notwendige Vervollständigung in der Oberstufe wird nicht erwähnt. Und dieser Umstand ist verhängnisvoll gew esen; denn die U nterrichts
praxis h at infolgedessen die Beschränkung auf die einfachsten Fälle einfach abgelehnt. Das zeigt nichts deutlicher als die Rechenbücher.
Sie stehen sam t und sonders auf dem Stand
punkte, daß das ganze Gebiet der Rechnungen des bürgerlichen Geschäftsverkehrs hier in das Quartapensum hineingepfropft werden müsse.
Schlagen Sie irgend ein Rechenbuch für die IV höherer Lehranstalten auf, und überzeugen Sie sich, daß Sie da zahlreiche Aufgaben finden Uber Staatspapiere, Obligationen, Pfandbriefe, Uber W echseldiskontierung, über Term inrech
nung usw. in allen Variationen, selbst Zinses
zinsaufgaben fehlen nicht. Ja, meine Herren, sind das die einfachsten Fälle der Prozentrech
nung? H at der normale zwölfjährige Quartaner überhaupt Sinn für solche Verhältnisse? Dabei will ich noch gar nicht von den Aufgaben aus dem spez. kaufmännischen Rechnen reden, wie sie für die U I H der Realschulen in den Lehr
plänen vorgeschrieben s in d ; da kann man in den Rechenbüchern ganz erstaunliche Blüten entdecken. Das, was hier der pädagogische Un
verstand früherer Zeiten produziert hat, scheint sich w ahrhaftig wie eine ewige K rankheit fort
zuerben, selbst in unserer Zeit, wo man m it nie ermüdendem Eifer den psychologischen Grund
lagen einer gesunden Pädagogik nachspürt.
M. H . ! Es ist doch ein anerkannter und bew ährter pädagogischer Grundsatz, daß das Neue immer an Bekanntes anknüpfen soll. Hier aber, bei den Rechnungen des bürgerlichen Geld
verkehrs in IV, hängt man m it dem Neuen fast ganz in der L u ft; jedenfalls ist von dem Vor
stellungskreise des Quartaners bis dahin ein so w eiter W eg, daß unterwegs der Zusammen
hang vollständig verloren geht. Dem Schüler fehlt die durch Gewohnheit lebendig erhaltene Anschauung und Erfahrung, die das Zurecht- fiuden in einem neuen Gebiete so sehr erleichtern.
Aber das ist nur das eine: es fehlt ihm auch die zu diesen Sachen nötige Denkfähigkeit. Ver
hältnisse, die dem erwachsenen Gebildeten so
fort übersehbar sind, wo er m it Hilfe seiner fortgeschrittenen formalen Verstandesbildung das W esentliche vom Unwesentlichen sofort unter
scheiden kann, bieten dem Jungen unüberwind
liche Schwierigkeiten, sobald die einfachsten Verhältnisse verlassen werden. Später dagegen verschwinden die Schwierigkeiten häufig von selbst, und gerade das scheint mir zu beweisen, daß man diese bürgerlichen Rechnungsarten an die falsche Stelle gesetzt h a t: s ta tt für diese Stoffe einen Zeitpunkt auszusuchen, wo man mit einem Minimum von Aufwand ein Maximum der Leistung erzielen kann, m acht maus um gekehrt:
man erzielt m it einem Maximum von Aufwand ein Minimum der Leistung. Und das ist eine Sünde gegen die Oekonomie des U nterrichts.
Auch die Meraner Lehrpläne enthalten eine Stelle, die mir zu beweisen scheint, daß man die pädagogischen Schwierigkeiten, die in diesem Punkte liegen, nicht klar genug erkannt hat.
Es heißt dort in den „Erläuterungen zum m athe
matischen Lehrplan“ unter 1. (Rechenunterricht in den U nterklassen): „. . . . Insofern ist der R echenunterricht vielfach Sachunterricht, s o l l a b e r n i c h t ü b e r d a s h i n a u s g e h e n , w a s w i r i m a l l g e m e i n e n v o n e i n e m g e b i l d e t e n E r w a c h s e n e n v e r l a n g e n “. Ich meine, das, was hier negativ gesagt wird, ist eigentlich selbstverständlich, ja trivial, nämlich, daß man von einem Quartaner nicht mehr K ennt
nis und Verständnis für das praktische Leben verlangen dürfe als von einem gebildeten E r
wachsenen. Aber jed er im Rechenunterricht erfahrene Pädagoge wird bestätigen, daß man von dem Jungen nicht nur nicht mehr, sondern b e i w e i t e m n i c h t d a s s e l b e verlangen kann wie von einem gebildeten Erwachsenen. Es ist und bleibt ein ganz fruchtloses Bemühen, den Quartaner m it dem Erwachsenen auf gleiche Stufe bringen zu wollen.
Die M eraner Lehrpläne hätten also richtiger sagen müssen, daß das, was man von einem gebildeten Erwachsenen verlangen muß, e r s t a m S c h l ü s s e d e r S c h u l e , auf der Ober
stufe, erreicht werden könne und deshalb die Anforderungen in IV bei weitem geringer sein müßten. Und in diesem Sinne wird eine Reform des Rechenunterrichts nachdrücklich stattfinden müssen: das Quartapensum muß von Stoffen befreit werden, die wie störende Frem dkörper wirken, und deren V erarbeitung erst dem ge- reifteren Verstände zugemutet werden kann.
M. H . ! Ich habe bisher von dem Inhalt, dem Stoff der Rechenaufgaben gesprochen: man hat es versäumt, diesen Stoff dem kindlichen Geiste anzupassen. Dasselbe g ilt aber auch von der Form, von der Darstellung der Auf
gaben. Es h at gew iß viel für sich, wenn ge
fordert wird, daß die Aufgaben des U nterrichts aus dem Leben direkt entnommen, nicht beson
ders für den U nterricht hergestellt sein sollen.
Aber ich meine, man soll doch auch hier nicht
das Kind m it dem Bade ausschütten. W ill man
1 9 1 2 . N o . 5 . Zu r Re f o r h d e s Re c h e n u n t e r r i c h t s. S . 8 7 .
d ie A ufgaben aus dem prak tisch en L eben en t
nehm en, so ist es eine eig en tlich selb stverstän d lich e Forderung, daß man sie ersten s nach dem S tan dp un kte des Schülers au sw äh lt und zw eiten s die au sgew äh lten so d arstellt, daß sie der Schüler versteh t, n ich t einfach genau so, w ie sie draußen der Kaufm ann oder der forschend e M athem atiker handhabt. Man b edenke, daß die Sprache des kaufm ännischen V erkehrs n ich t immer einw an d frei, die m athem atische K ürze dem V erständnis des N eu lin gs n ich t immer förderlich ist. D er N ich tfachm ann hat freilich k ein e A hnung, w ie die Schüler m it dem A usdruck zu käm pfen haben, und w as ihnen hieraus für S ch w ierigk eiten in b ezu g auf das V erständnis erw achsen. Und die ein g ek leid eten A ufgaben sind doch w irk lich n ich t n u r dazu da, um in der Schule erst vom Lehrer erklärt und dann von den Schülern gerechn et zu w erden. S ie sollen doch z. T. auch se lb ständ ig zu H au se oder in der Sch ule g e lö st w erden können.
W ill man aber verlan gen , daß der Lehrer derartige A ufgaben immer erst vorb ereite und zu rech tlege, so is t ersten s die vom Sch üler zu leisten d e A rb eit häufig sehr g er in g und unbe
deutend, und zw eiten s w ird es dann noch viel w en ig er m öglich sein, auch nur einen T eil der zu behandelnden G ebiete des bürgerlichen R ech nens vorsch riftsm äß ig zu b ew ältigen .
D enn ich muß hier noch auf etw as hinw eisen , w as im mer übersehen zu w erden sch ein t und doch einen ganz bestim m enden Einfluß ausüben m ü ß te: das ist die Kürze der in IV für das R echn en zur V erfügung steh en den Z eit. N ehm en w ir als B eisp iel d ie S ch u lfo rm , d ie in der M itte zw isch en den E xtrem en steh t, das R eform realgym nasium . D a hat das R echnen in VI und V j e 5 W och en stu n d en , in IV d agegen nur 2, also noch n ich t die H ä lfte! U nd in diesen 2 W och en stu n d en so ll ein Pensum b ew ä ltig t w erden, das dem V -P en su m an U m fang kaum nach steh t und außerdem die b ereits g ek en n zeich n eten stofflichen S ch w ierigk eiten in sich b ir g t! D as is t an sich schon ein unhaltbarer Zustand, und da w ird man dann nicht noch verlangen w ollen , daß der Lehrer jed e A ufgabe in der S ch u le zerglied ert; denn dabei is t der Z eitverlu st z u g r o ß und der pädagogische G e
winn z u k l e i n . A b geseh en von den allgem einen Erläuterungen, die der Lehrer zur Einführung in ein n eu es A u fgab en geb iet natürlich geben muß, m üssen also auch aus diesem Grunde die A ufgaben in den B üchern dem V erständnis des Schülers entsprechend d argestellt w erden. Eine R eform des R echenu nterrich ts wird also als w eiteren P u n k t ihres Program m s eine eingehend e R evision der A u fgab en texte vornehm en m üssen.
M. H .! I s t nach alledem der U nterricht au f der U n terstu fe n ich t g e e ig n e t, die g eld w ir t
sch aftlich en V erhältn isse des prak tisch en L ebens
ab sch ließend zu behandeln, so fragt es sich, w ie diese S eite der E rziehung w e ite r gefördert w erden m uß.
Z unächst werden w ir hier m it dem B egriff
„R echenu nterrich t“ die ein gan gs erw ähnte Er
w eiteru n g vornehm en m üssen; w ir m üssen auch den arithm etischen U nterrich t m it h inein ziehen;
denn der R echenu nterrich t im engeren Sinne kann d ie ihm g este llten A ufgaben, w ie g ez eig t, allein n ich t erfüllen. D ie M ittelstu fe w ird sich im allgem ein en w egen der knapp bem essenen Z eit dam it b egn ü gen m üssen, das W en ig e, w as in IV geb oten w erden konnte, zu erhalten; die H auptarbeit in der system atisch en E rw eiterun g und V ertiefu n g w ird daher der O berstufe zu fallen. D ie Meraner V orschläge bringen in d ieser H in sich t ab solut n ich ts N eu es. W en ig sten s daran h ätte man denken sollen , im a l l g e m e i n e n L e h r z i e l des m athem atischen U nterrich ts au f die p rak tisch e S e ite der A usb ild u ng auf der O berstufe h inzuw eisen. V ielleich t glau b te man, daß die A nw endungen der Z inseszinsrechnung von se lb st das n ö tig e Material aus den w ir t
sch aftlich en V erhältnissen des Staatsbü rgers lie fern m üssen. A ber erstens is t d ies doch w ich tig gen u g, um im allgem ein en L ehrziel besonders erw ähnt zu w erden, und dann ist die Praxis d ieser A ufgaben, w ie man sie z. B. in den Program m en b ei den R eifeprüfungen findet, von jeh er sehr e in se itig .g ew ese n . S ie b e w e g t sich eig en tlich im m er nur auf dem G eb iete der R en ten versicherung oder so n stig er direkter A nw en dungen der ab geleiteten Form eln. H ier in der Prim a bezw . O bersekunda hat aber der Sch üler b ereits voll ausreichendes V erständnis und auch In teresse für die w irtsch aftlich en A u f
gab en des täglich en L ebens, hier könnte d es
halb m it einem gerin gen M aße von Sachunter- rich t außerordentlich v ie l g e le is te t w erden. Und w enn man m it R ech t die F ord erun g der U nter
richtskom m ission als b edenklich b ezeich n et hat,*) daß man in der R eifeprüfun g sta tt der vier A u f
gaben e i n e g r ö ß e r e freiere geb en so lle, so wäre es w o h l der E rw ägun g w ert, ob unter den A ufgaben n ich t eine k l e i n e r e freie A ufgabe g e s te llt w erden k ön n te und zw ar eben aus dem G eb iete des p raktischen L ebens. Ich denke etw a s o : es wird gefragt, w ie ein H ausbesitzer über d ie R en ta b ilitä t se in e s H au ses kalkulieren m uß u nter B erü ck sich tigu n g der Grund- und G ebäudesteuer, der S traßenau sbau kosten, der K an alisation sgeb üh ren, der Reparaturen u sw ., oder man b eh an d elt d ie F rage, w ie eine G arten
sta d tg esellsch a ft ein g erich tet ist, w elch e V orteile sie ihren M itglied ern durch Erbbau s ta tt des einfachen M ietverhältn isses gew äh rt, u. d gl. m
Man le g t h ier vielfach so außerordentlich viel N achdruck auf d ie B ehandlung der Ver-
*) Vgl. die zitierte Direktorenversammlung, S. 96.
S. 88.
Un t e r ei c h t s b l ä t t e b.Jahrg . XVIII. No. 5.
sicherungsm athem atik. Ich h alte das n ich t für vorteilh aft, erstens w eil die V erhältn isse dabei doch so k om pliziert sind, daß sie v ie l Z eit k osten und auf d ie Dauer das Prim anerinteresse n ich t in rech ter W e ise fesseln können, vor allem aber w e il, w ie H err v. L i l i e n t h a l schon treffend au sgefüh rt hat,*) die Einzelrechnungen für den einzeln en w irk lich n ich t so w ich tig sind. W en n sich jem and versichern w ill, so w ird er kaum in jed em F a lle die R echnungen der einzeln en G esellsch aften durchprüfen. Er h at da das rich tige G efühl, daß sich die Mühe kaum lo h n t, und g e h t einfach nach der öffent
lichen W ertsch ätzu n g. Im ü brigen rich te t er den V ertrag so ein, daß er die Präm ie ohne S ch w ie r ig k e it bezahlen kann. Jed en falls m öchte ich h ier d ie M ahnung des Herrn v. L i l i e n - t h a l zu m ö g lich ster E inschränkung stark unter
streichen.
S olch e praktischen F ragen aber, w ie ich sie vorhin erw ähnte, b ieten , w enn sie im U nter
rich t ab und zu besprochen w erden, w illk om m ene G elegen h eit, d ie S e lb sttä tig k e it und das In teresse der Sch üler zu w eck en , indem man sie veran
la ß t, die n ö tig en zahlenm äßigen U nterlagen außerhalb der S ch u lzeit se lb st zusam m enzutragen.
D em Sohn des H au sbesitzers is t es ein le ich tes, den K aufpreis, d ie M ieten, d ie Reparaturkosten festz u ste lle n ; der Sohn des F abrikdirektors liefert d ie U nterlagen für die K alk u lation eines F abrik
b etrieb es usw . E in d erartiger U n terrich t w ird in der Schule n ich t allzuviel Z e it k osten und doch für die staatsb ü rgerlich e A usb ild u ng sehr v ie l leisten .
U nd h ier ist auch der rich tig e Z eitpu nk t, w o ein e E inführung in den m odernen G eldver
kehr auf fruchtbaren B oden fa llt; h ier kann man auf V erständnis und leb h a ftes In teresse rechnen, w enn man d ie B ed eu tu n g des W ec h sels, des S check- und G iroverkehrs au seinandersetzt, w enn man von S taats- und städ tisch en A nleihen und ihrer A m ortisation, von O b ligationen und P fandbriefen red et oder die B ed eu tu n g der A k tie n g e sellsch a fte n und der G esellsch aften m it beschränkter H aftp flich t b eleu ch tet.
F reilich w erden durch solch en U nterricht auch hohe A nforderungen an den Lehrer g e ste llt. E in ein se itig er S tu b en geleh rter wird h ierbei n ich t am rech ten P la tz e sein ; der Lehrer m uß se lb st im L eben steh en und aus dem V ollen sch öp fen k ön n en , w enn er h ier d ie Schüler le iten und anregen w ill. W en n das n ich t der F a ll ist, dann nützen alle L ehrpläne und schönen V orschriften n ich ts. H ier ganz besonders tritt d ie p äd agogisch e T atsach e hervor, daß die P e r sö n lic h k eit des Lehrers der G rundpfeiler der E rzieh un g ist.
*) 1. c„ S. 84.
M. H .! W enn ich zum S ch lu ß in einigen T h esen das F a zit m einer A usführungen ziehen darf, so sind es d iese:
1. D ie V orbereitung der A rithm etik m uß a l l m ä h l i c h und zwar m ö g lich st schon von V an gesch eh en .
2. D ie b ürgerlich en R echnungsarten in IV sin d n ich t nur in ged ru ck ten Lehrplänen, sondern tatsäch lich im U n t e r r i c h t auf d ie einfachsten Prozen tau fgaben zu b e schränken.
8. D ie D arstellun g der A ufgaben m uß dem K n abengeiste an gep aß t sein.
4 . D ie ab sch ließend e B ehandlung der R ech nungen im praktischen L eben und im mo'dernen G eldverkehr m uß auf der Ober
stu fe gesch eh en .
W ie k ö n n e n S c h ü le r z u s e lb s tä n d ig e n m a th e m a tis c h e n A rb e ite n a n g e r e g t w e rd e n ?
Vo n H u b e r t M ü l l e r (Metz).
A n einer Stelle der „V erhandlungen des I I I . in ter
nationalen M athem atikerkongresscs in H eid elb erg 1904“
ist auf S eite 642 zu lesen:
„Es gen ü g t nicht, daß die Schüler verstehen, was der L e h re r ihnen e rk lä rt; n ich t passives R ezipieren, sondern aktive M itarb eit m uß bei jedem U n terrich t erreich t w erden, die Schüler müssen auf je d e r S tufe das freudige Gefühl gew innen, selbst etwas neues n ich t bloß zu wissen, sondern auch zu können. D aher müssen die f r e i e n U ebungen — die A ufgaben — im m ath e
m atischen U n te rric h t m eh r im V ordergrund stehen als die gem einsam en E ntw icklungen von L ehrern und S chülern.“
D ieser Aussprucli ist zutreffend bis auf den letzten Satz, der die freie A ufgabe als einziges M ittel nennt, m it w elchem die S chüler zum eigenen Schaßen zu bringen seien. W enn dieses Ziel n u r durch die freien A ufgaben erreich t w erden kann, so w ird es ü berhaupt n ich t erreicht, weil die Zahl der freien A ufgaben nicht nach B edürfnis verm eh rt w erden kann. E in e solche V erm ehrung w ürde der zusam m enhängenden E ntw icklung des L ehrstoffes die nötige Z eit rauhen und dadurch eine O berflächlichkeit erzeugen, w elche w iederum den freien A ufgaben ihren W ert nähm e. A uch ist zu be
denken, daß diejenigen freien A ufgaben, welche m an in P rim a als V orb ereitu n g zur R eifeprüfung einstollt, bei d er E rziehung zum eigenen Schaffen n ich t m it
gezählt w erden können, weil sie einem anderen Zweck dienen und dem gem äß anders b eh an d elt w erden.
E s ist u nbedingt notw endig, daß die S chüler auch in dem system atischen U n terrich t zur eigenen A rbeit hcrangezogeu w erden d urch A ufgaben, welche nicht fre i sind, sondern d er E rreich u n g eines bestim m ten Zieles dienen.
M an m öchte glauben, daß dafür schon hinlänglich gesorgt sei durch die system atischen A ufgabensam m lungen und durch L eh rb ü ch er (z. B. 'd iejen ig en über anal. Geom.), welche m it A ufgaben durchsetzt sind.
Doch ist dam it noch n ich t genug geschehen, da die A ufgaben d er Sam m lungen d e r H au p tsach e nach n ic h t d er E ntw icklung, sondern d er E in ü b u n g des Stoffes dienen und die A ufgaben der L eh rb ü ch er m eist zur L ösung durch gem einsam e E ntw icklung zwischen L e h re r u n d Schüler bestim m t sind.
1912. No. 5
Üb e r e i n e St e r b e t a f e l f ü r d e n Un t e r r i c h t.S. 89.
An einer solchen A u fg ab e: „D ie M ittelpunkts
gleichung einer E llipse zu finden“ soll die übliche Lehrw eise m it einer anderen verglichen w erden, welche dio S chüler zu eigener A rb e it bringt.
A . L ösung der A ufgabe nach der üblichen A rt bei g em einschaftlicher E ntw icklung zwischen L eh rer und S chülern.
Dio grundlegenden G leichungen sind: l 1' = % a l 2 = (e -)- x )2 -f- y 2 und l ' 2 — (e — x ) 2 - \ - y 2. M an kann nun auf verschiedene W eise rechnen :
a) l und V sind W urzelausdrücke, dio x und y enthalten. M an kann nun erstens sofort diese A us
drücke fü r l u nd V einsetzen, oder m an kann zweitens die B uchstaben l und l' so lange beibehalten, bis m an durch B ehandlung d er G leichung l - f - 1' = 2 a erreich t hat, daß l und l ' n u r im Q uadrat Vorkommen.
b) Man kann erstens den einen der W urzelausdrücke l und V auf die andere Seite bringen, um nachher zu q uadrieren, oder m an kann zweitens gleich quadrieren, um nachher das entstehende P ro d u k t I V allein auf eine S eite zu stellen.
D urch V erb in d u n g der F älle in a) und h) entstehen vier A rten zu rechnen (E ntw icklung I bis IV ), von welchen dio L eh rb ü ch er regelm äßig diejenige (E n t
wicklung I) bringen, welche entsteht, wenn m an in a) und h) jedesm al das erste tut.
Die vier E ntw icklungen sind gleichw ertig. Bei je d e r hat m an, wenn a u f keiner S eite einer G leichung m ehr als ein R eehengeschäft besorgt w ird, elf G leichungen anzusebreiben, von denen die L eh rb ü ch er nur etw a vier gohen, indem jedesm al m ehrere G eschäfte besorgt werden.
Der L e h re r w ird nun hei der gem einsam en E n t
w icklung zwischen L e h re r und Schülern auf die E n t
w icklung I, w elche im B uche steht, zustcucrn und diejenigen B eiträge d er S chüler zurückw eisen, welche au f eine der anderen drei E ntw icklungen führen. Is t a b e r a u f dio E ntw icklung I cingelenkt w orden, so zeigt sich eine Schw ierigkeit ; der L eh rer kann doch nicht bew irken, daß an d er T afel gerade dio G ruppe der v ier G leichungen entsteht, welche im L ehrbuchc die schrittw eise E ntw icklung durch elf Gleichungen ersetzt.
Es w ürde ihm schlecht anstehen, das Buch im m er in die H aud zu nehm en, u nd er m uß auch die E ntw icklung so w eiterschreiten lassen, wie sie sich durch die richtigen V orschläge und B eiträge der S chüler gestaltet. — Die R echnung w ird also ohne R ücksicht au f das L eh rb u ch g efü h rt w erden. D abei e rg ib t sich wohl eine M itarbeit einzelner Schüler, aber keineswegs ein S elbstarbeiten aller. Das letztere w ird auch n ich t dadurch erreicht, daß d er G egenstand zur S tellung einer H ausaufgabe benützt w ird, ln diesem F alle w ürden näm lich die S chüler das L ehrbuch oder die N achschrift zu R ate ziehen und das G edächtnis belasten, wie es im m er der F all ist, wenn es sich um exam inierbares W issen handelt.
B. L ösung d er A ufgabe durch Z erlegung in drei kleinere, welche durch die S chüler allein zu lösen sind.
D ie A ufgaben lau ten :
1. D ie Q uadrate l 2 und l"- d er L eitstrahlen, sowie l 2 - \ - l ' 2 und l 2 — l ' 2 durch x , y , a, e auszudrücken.
2. Die G leichungen l 2 — P 2 = 4 e a ; und = 2 « , welche fü r die L eitstrah len eines E llipsenpunktes gelten, nach l und V aufzulösen.
3. A us d er G leichung l = a + ~ (A uflösungzu2) finde m an die G leichung der E llipse durch E insetzen des W ertes fü r l aus 1., W egschaffen der W urzel usw.
Diese A ufgaben sind so kurz und leicht, daß sie auch von den schw ächeren Schülern ohne H ilfe gelöst w erden. D urch sie bekom m t das Ganze G liederung und feste Form , so daß es als deutliches B ild vor den A ugen steht. N ebenbei sind die beiden ersten A ufgaben noch in anderer W eise nützlich: die G leichungen fü r l 2 - \ - l ' 2 und l 2 — V 2 sind diejenigen zw eier geom.
O erter und die G leichungen fü r l un d l' in 2. sind viel gebrauchte, welche an einer anderen Stelle aufgestellt werden m üßten, wenn sie n ich t hier abgeleitet w ürden.
W ie es an diesem Beispiele gezeigt ist, so lassen sich au ch in allen Teilen des m athem atischen Stofles L ehrsätze u nd Beweise, E ntw icklungen und A ufgaben nach dem G rundsätze „Teile und h errsch e“ so behandeln, daß die S chüler cigeno A rbeit verrichten. Daß diese A rbeiten leicht und kurz sind, ist ein g roßer V orteil und eine N otw endigkeit. Bei einer freien A ufgabe kann es wobl Vorkommen, daß die m eisten Schüler versagen; hei den A ufgaben jedoch, welche dem A uf
bau des System s dienen sollen, m uß dieses ausgeschlossen sein, w eil liier auch der D urchsehnittsschülcr n ich t Zurückbleiben darf. G erade durch die leichten A u f
gaben können die Schüler L u st und Selbstvertrauen bekom m en, so daß sio an dio schw ereren freien A uf
gaben m it Z uversicht h eran zu treten verm ögen.
E s ist aber auch vor einem U nterschätzen oder Z urückdrängen der so nützlichen „E ntw icklungen zwischen L e h re r und S ch ü lern “ zu w arnen. S ogar bei d er nach dem Z eichen B behandoltcn L ösung wäre es sehr vorteilhaft, n ach L ösung d er kleinen A ufgabe 1 und d er A uffindung von
l 2 z = ( e - \ - x ) 2 -} -y2, l ' 2 — (e — x f - \ - y 2 m it den Schülern üb er das Einsetzen d er W urzelaus
drücke l und V in die G leichung = 2 zu ver
handeln und die Entw icklungen. 1 bis I V (u n te r A) zu besprechen, ohne jedoch diese E ntw icklungen durch
zuführen. Die besten Schüler w ürden sich dadurch wohl zu dieser D u rchführung anregen lassen, ohne daß dieselbe von allen Schülern verlan g t w ird. Dabei könnte noch bem erk t werden, daß auch m it der fü r l 2 - \ - l ' 2 gefundenen G leichung eine A ufstellung d er Ellipsen- gleichung gegeben w erden kann, welche einer der E ntw icklungen I bis IV (u n ter A ) gleicht, daß aber die V erw endung von 7 2 — l ' 2 = 4 e x das beste M ittel zur E rleich teru n g d er A ufgabe bietet. D er S chüler lern t dann auch verstehen, daß es m anchm al nützlich sein kann, wenn m au nicht sofort d arau f Josreclinet, sondern zuerst eine kleine U m schau hält.
U eb er e in e S te r b e ta fe l für den U n terrich t.
Von R . G e r h a r d t (Potsdam ).
U n ter d er großen Z ahl d er heute vorhandenen deutschen u n d ausländischen S terblichkeitstafeln u n te r
scheidet m an R en tn ertafeln und T odesfalltafeln, die aus den E rfah ru n g en der V ersicherungsgesellschaften ab g eleitet sind, und allgem eine Bevölkerungstafeln, die der S tatistik über das A bsterben einer ganzen B evölke
ru n g entstam m en. D er V ersicherungsm athem atiker m uß, j e nachdem ob er E rlebensfall- und R entenzahlungen zu bestim m en, oder ob er es m it der V ersicherung von norm alen L eb en m it vollständiger ärztlichen U n te r
suchung zu tun h a t, od er ob er V olks- und B egräbnis
geldversicherung b earb eitet, die ihm geeignet erschei
nende W ahl aus ihnen treffen. W enn es sich nun darum handelt, dem S chüler unserer höheren L e h r
anstalten bei d er E in fü h ru n g in die V ersicherungstechnik
53 V
<3
0 1 2 3 4 5 6 7 S 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20
21 22 23 24 25 26 27 23 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3S 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50Un t e r r i c h t s b lIt t e r.
Jahrg.
eine Sterbetafel in die H an d zu geben, so w ird es, obgleich dieser P u n k t n ic h t d er w ichtigste ist, doch angezeigt erscheinen, einige E rw ägungen zur Wahl einer T afel anzustellen.
I n erster L in ie w äre zu fordern, daß w ir eine deutsche Tafel w ählen, die vom A lter 0 bis 100 durch- g efiihrt und einheitlich k o n stru iert ist. Solche sind die .Rentnertafeln. Doch sie sind Spezialtafeln, und wir können deshalb von ihnen füglich absehen. Die deutschen T odesfalltafeln sind n ich t vollständig. Denn Personen u n ter 20 J a h r e n und über 90 J a h re w aren an dem zur B earbeitung dienenden M aterial wenig
beteiligt. Darum m üßten die fehlenden H ilfe an d erer deutschen Tafeln (R en tn er
rungstafeln) ergänzt w erden. Ob das erscheint, w ird folgende B etrachtung ergob neuesten Todesfalltafcln, wie die der Got und der L eipziger (H öckner), wollen wir auch sie Spezialtafeln sind, die n u r fii:
Gesellschaft volle G ültigkeit haben. Wi vielfach gebrauchten Tafeln der 23 deut .sch äften m it der neuen allgem einen deut!
tafel (1891/1900), der sogonaunten R ei gleichen. D ie M ännertafel I (m it ärztlic c w
A l l g e m e i n e D e u t s c h e S t e r b e t a f e l f ü r M ä n n e r (1871/81)
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S ^ -a a H 3 -g + S eh -*
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H Anzahl der Toten lx 4 + I = dx 1 581 697 25 273 24 418 46 513
1 481 697 4 851 4 528.5 22 094.5 51 40 343 6 979.3 88 081 910 1 409 497 2 319 2091.6 17 566.0 52 39 433 6 591,2 81 702 936 1 344 267 1560 1 359.4 15 474.3 53 38 497 6 217.1 75 110 963 1 283 334 1 126 948.00 14 114.9 54 37 534 5 856.6 68 893 990
1 225 821 843 085.78 13 166.9 55 36 544 5 509.3 63 037 1020
1 171 201 659 517.97 12 481.1 56 35 524 5 174.5 57 527 1 050
1 119114 520 394 89 11963.1 57 34 474 4 851.7 52 353 1082
1 069 307 418 300.70 11 568.2 58 33 392 4 540.5 47 501 1 116 1 021 579 342 242.45 11 261.5 59 32 276 4 240.4 42 961 1 152
975 771 289 197.95 11019.1 60 31 124 3 950.7 38 720 1 189
931 755 253 167.43 10 821.1 61 29 935 3 671.3 34 770 1227
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