Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, Jg. 7, No. 5

J a h rg an g V II.

U nterriclitsM ätter

1901. Nr. 5.

für

Mathematik und Naturwissenschaften,

O rg a n des V e re in s z u r F ö rd e ru n g

des U n te rric h ts in d e r M a th e m a tik u n d den N a tu rw isse n s c h a fte n .

B egründet unter M itw irkung von B ernhard. S c h w a lb e ,

herausgegeben von

F. P i e t z k e r ,

P ro fe sso r am G ym nasium zu N ordhausen.

V e r l a g 1 v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W. 3 0.

R ed ak tion: A lle f ü r die R e d a k tio n bestim m ten M itteilu n g en und S en d u n g en ■werden n u r an die A dresse des P ro f. P i e t z k e r in R o rd h au sen erb eten .

V e rein : A nm eldungen und B e itra g s z a h lu n g e n fü r den V erein (3 Mk. J a h re s b e itra g oder e in m a lig e r B e itra g v o n *15 Mk.) sind an den S ch atzm eiste r. P ro fesso r P r e s l e r in H an n o v er, L in d e n e rstra sse 47, zu rich ten .

V e rla g : D er B e z u g s p r e i s fü r (len J a h rg a n g von 6 N um m ern is t 3 M ark, fü r einzelne N um m ern 60 P f. D ie V ereinsm it- g lied er e rh a lte n die Z e itsc h rift u n e n tg e ltlic h ; frü h e re J a h r ­ g än g e sind d u rch den V erlag bez. e in e B u c h h d lg . zu beziehen.

A n z e i g e n ko sten 25 P f. fü r dieö-gesp. N o n p a r.-Z e ile ; bei A ufgabe h a lb e r od. g a n z e r Seiten, sow ie bei W ied erh o lu n g en E rm ässig u n g . — B e ilag e g eb ü h ren n ach U eb erein k u n ft.

N ach d ru ck d e r e in zeln en A rtik e l ist. w enn ü b e rh a u p t n ic h t besonders ausgenom m en, n u r m it g e n a u e r A ngabe d er Q uelle und m it d er V erp flich tu n g d e r E in se n d u n g eines B elegexem plars an den V erlag g e sta tte t.

I n h a lt : Die A uffindung d er L ic h tstu fe n heleuehtetei* F läch6n 'm itte ls der R odenbergschen Skala. Von A u g u s t S e h in i d t (S. 85). — lie b e r physikalische" Sehülerübim gen. Von iv a r 1. N o a c k (S. 97). — lie b e r die kubische G leichung. V on P rof. D r. P a s c h (S. 101). —- G com etrograpliie. (V on F. P i e t z k e r ) (S. 102). — V ereine und V ersanunl ungen [N aturforscher-V ersam m lung zu H a m b u r g ; N I AM. V er­

sam m lung d eutscher Philologen und Schulm änner, in Strassburg], (S. 102) . Schul- und T/niversitäts- N achricliten [U n terrich t in d er darstellenden G eom etrie; N aturw issenschaftlicher Ferienkursus zu Berlin]

(S. 103). L ehrm ittel-B esprechungen (S. 103). — Z u r B esprechung eingetrofiene B ücher (S. 106.) — B erichtigung. Von R. R e g e r (S. 106). — A nzeigen.

D ie A u ffin d u n g d er L ic h ts tu fe n b e le u c h te te r F lä c h e n m it t e ls d er

R o d e n b e r g ’s c h e n S k a la .

V o rtra g au f d er H auptversam m lung zu G iessen.*)- ' V on A u g u s t iS c In n i 'd t (W iesbaden),'

H. II. Die französischen M athem atiker, welche Ende des 18. und anfangs des 19. J a h r­

hunderts die darstellende Geometrie begrün­

deten, bildeten die orthogonale Projektions­

m ethode bereits in einer W eise aus, , dass den folgenden Generationen nach dieser R ichtung hin verhältnism ässig w enig zu thun übrig blieb.

Anders liegt die Sache auf dem Gebiete der B eleuchtungskunde. Das Fundam entalpro­

blem derselben lau tet bekanntlich : Es ist eine gesetzm ässig gestaltete Fläche und die Richtung der L ichtstrahlen gegeben, man soll die H ellig­

k eit irgend eines Punktes derselben und die Öerter der P un kte gleicher H elligkeit — die Iso p h o ten —- konstruieren. Z w argiebt O liv ie r* * ) eine Methode zur Auffindung der Isophoten an***),

*) S. U nt.-B l. V II, 3, S. 55.

**) D éveloppem ents de géom étrie descriptive, pag. 193.

***) Sie ist in d eutscher U ebersetzung zu finden bei j T i H e h e r : „Die L eh re von den ßcleuchtungskonstruk- j tio n en “, p ag . 94.

aber sie erw eist sich als praktisch unausführbar.

E rst im Jah re. 1855 schuf E g l e * ) in der Normalkugel einen brauchbaren Lichtm asstab und w andte ihn au f eine grosse Zahl regel­

m ässiger Flächen, an.

H atte sich E g l e auf eine einzige ganz be­

stim m te S trahlenrichtung beschränkt — seine Methode ist übrigens, wenn auch m it stark vermehrtem Zeitaufwnnde, für j e d e Strahlen­

richtung verw endbar —r so griff sieben Jah re später T i 1 s c h e r in der schon angeführten A rbeit das Problem in seiner ganzen A llgem einheit an und löste es unter B enutzung dreier Skalen. Vom rein m athem atisch - konstruktiven Standpunkte aus betrachtet, dürfte diese Lösung wohl unter den bis zum heutigen Tage erschienenen den ersten Platz einnehmen. Aber in dieser ganzen F rage h a t ausser der reinen M athem atik auch die Technik mitzureden, und diese verlangt, dass die Aufgabe nicht blos m athem atisch richtig, sondern auch bequem und schnell gelöst wird.

Daher mag es kommen, dass T i l s c h e r s Ver­

fahren kaum in die Technik eingedrungen ist,

*) „A bhandlung über das S chattieren der O ber­

flächen regelm ässiger K örper."

S. 8G.

t

Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.

Jahrg . VII. No. 5.

während E g l e s Methode von C. R ie ss* ) w eiter ausgebildet und von Adolf G ö l l e r * * ) unlängst auf alle Flächen angew andt worden ist, so dass die Norm alkugel gegenw ärtig der allgemein ver­

breitete Lichtm asstab ist. Unerwähnt darf die m it der Schattierungskunde von R i e s s gleich­

zeitig erschienene A rbeit B u r m e i s t e r s ***) nicht bleiben, in welcher er das Problem ana­

lytisch behandelte, die R esultate konstruktiv verw ertete und auch die sogenannte „scheinbare B eleuchtung“ in R echnung stellte.

F ra g t man nach der V erw endbarkeit der kurz skizzierten Methoden für den U nterricht an den m ittleren L ehranstalten (Gymnasium, Realgymnasium, Oberrealschule), so scheiden T i l s c h e r und B u r m e i s t e r naturgem äss aus.

Auch die E inführung der Normalkugel ist in anbetracht der für den Gegenstand verwend­

baren Z eit kaum möglich. Das ist schmerzlich.

E rfahrungsm ässig wenden nämlich die Schüler den S chattenkonstruktionen erhöhtes Interesse zu. W ährend sie nun einerseits Schlagschatten und Dämmerungslinie m athem atisch genau kon­

struieren, sehen sie sich bezüglich der B eleuchtung der Oberflächenteile der K örper auf blosse Ver­

m utungen oder unzuverlässige Abschätzungen angewiesen — ein Uebelstand, den die intelli­

genten u nter den Schülern sehr lebhaft empfinden.

Diesem Mangel dürfte die L ichtskala abhelfen, w elche H e rr Prof. R o d e n b e r g in seinen Vor­

lesungen am Polytechnikum in Hannover zur Anwendung bringt. Sein Lichtm asstab ist andex-- w eitig noch nicht beschrieben, ich bringe Ihnen denselben, selbstverständlich m it der — freund­

lich sterteilten — Genehmigung des H errn Autors, in dem folgenden zur Kenntnis.

Um auch denjenigen m einer H erren Zuhörer g erecht zu werden, welche diesem Gegenstände seither fern gestanden haben, will ich einige F undam entalsätze der Beleuchtungskunde an die Spitze stellen und mich dabei, wie in den fol­

genden D arlegungen ü berhaupt, auf die Be­

leuchtung durch parallele Strahlen beschränken.

I. D i e L i c h t s t u f e n .

B ekanntlich ist die B eleuchtung eines ebenen Flächenstücks dem Sinus des W inkels propor­

tional, welchen die Strahlen m it der Ebene ein- schliessen. I s t dieser W inkel a = 9 0 ° ; 6 4 ° ; 5 3 °;

°; 363/4°; 3 0 °; 2 S 7 2 °;

°; I O /

0;

5

0;

, so ist teils genau, teils angenähert sin

1; 0.9 ; 0.8 ;

; 0 .6 : 0.5; 0.4; 0 .3 ; 0.2;

0

1

0

Setzen w ir die H elligkeit eines ebenen Flächen­

stücks bei senkrechter B eleuchtung gleich zehn

*) C. R i e s s , „S ch attieru n g sk u n d e“, S tu ttg a rt 1871.

**) L eh rb u ch d e r S ch atten k o n stru k tio n en und Be- leuehtungskunde, S tu ttg a r t 1895.

***) „T heorie und D arstellung d er B eleuchtung gesetzm ässig gestalteter F läch en .“

Lichteinheiten irgend welcher A rt, so ist sie fü r 64

= 10. sin 64 = 9 Lichteinheiten, für 3 0° = 5 Lichteinheiten usw. Die S tärke der B eleuchtung, welche einem Flächenelem ent ver­

möge des W inkels zukommt, welchen die Strahlen m it ihm einschliessen, heisst die „L ich tstu fe“

des Flächenstücks. Nach dem eben geti’ofl'enen Uebereinkommen liegen alle L ichtstufen zwischen dem H elligkeitsgrade 10 und 0.

H iernach lässt sich die Aufgabe lösen:

Es ist die L ichtstufe einer ebenen F igur zu erm itteln, wenn ihre P rojektionen und die P ro ­ jek tio nen der Strahlenrichtung gegeben sind.

W ir konstruieren nach den gewöhnlichen R egeln der darstellenden Geometrie den S trahlen­

w inkel und m ultiplizieren seinen Sinus m it 10.

Das P ro d u k t stellt die gesuchte L ichtstufe dar.

Das A ufschlagen des Sinus lässt sich bequem umgehen. W ir teilen (Fig. 1) den Radius ci £

(F ig . 1).

eiixes beliebigen Kreises in zehn Teile, tragen den Strahlenw inkel

vom M ittelpunkte aus an einen zu a £ senkrechten Radius und fällen am K reispunkte b seines Endschenkels das L o t b b auf a £. Dann ist sin

= n b , , die L ichtstufe

c a b

demnach = — . 10 = a b. a b Schrexbexx w ir an

die einzelnen Teilpunkte von a an die zuge­

hörenden Zahlen 0,

, 2 . . . 10, so lesen wir die Lichtstxxfe ohne w eiteres an dem Fuss- pxxnkte b ab. Dem in der F ig u r angenommenen Strahlenw inkel en tsp richt beispielsweise die L ichtstufe 6,5.

Diese Methode ist theox-etisch einfach, er­

fordert aber in der Praxis die zeitraubende K onstruktion des Strahlenw inkels. Eine erste Vereinfachung b ietet die Theorie der Norm al­

kugel.

II. D i e N o r m a 1 k u g e 1.

a) Eine Kugel (Fig. 2) von beliebigem Radius

sei den Lichtstrahlexx ausgesetzt. E iner von

ihnen, der C entralstrahl c, g eh t durch den Kugel-

nxittelpunkt nx. Zu seinem Treffpunkte a axxf der

Kugeloberfläche gelxöx’t eine Tangentialebene,

1901. No. 5.

S. 87.

(F ig. 2).

die auf ihm senkrecht steht. D aher kommt diesem P unkte die höchste L ichtstufe 10 zu.

Legen w ir durch den C entralstrahl eine beliebige Ebene, z. B. die durch die Ebene des Papiers in Fig. 2 dargestellte V ertikalebene und ziehen ihm parallel 2 Tangenten an den zugehörenden K ugelschnitt, so sind die B erührungspunkte it und u die E ndpunkte eines zum C entralstrahle senkrechten Durchmessers. Bei der R otation des K ugelschnitts um den C entralstrahl be­

schreiben die beiden B erührungspunkte einen grössten K ugelkreis und die Tangentialstrahlen einen Cylinder, welcher die Kugel in dem Kreise berührt. Dieser Kreis hat daher die Lichtstufe 0.

E r scheidet die beleuchtete H älfte der Kugel von der nichtbeleuchteten und heisst der „Dämme­

rungsk reis“ der Kugel oder die Isophote 0 (Vergl. E inleitung Seite

). W ir sehen nun ohne w e iteres: Den P un kten des V iertelkreises a u vom hellsten P unkte a bis zum Dämmerungs­

pu n k t o kommen der Reihe nach alle möglichen Lichtstufen zwischen

und

zu. W ollen wir beispielsweise den P u n k t finden, welcher die L ichtstufe

besitzt, so teilen w ir den Radius m a in 10 gleiche Teile und errichten im Teil­

punkte

das Lot, so ist sein E ndpunkt i der gesuchte; denn Tangente und S trahl schliessen am P u n k te i denselben W inkel

ein, wie der Radius in i und das L ot von

bis i, also ist sin

ö/ i

) also die L ichtstufe —

. R otiert die F ig u r um C, so beschreibt i einen Kreis, dessen M ittelpunkt der P u n k t

auf c is t; und die Tangente beschreibt einen Kegel, welcher die Kugel in dem K reise t berührt. Alle Seiten­

linien dieses Kegels, also auch alle T angential­

ebenen desselben sind zu den Strahlen unter demselben W inkel

geneigt, also besitzen alle P un kte des Berührungskreises dieselbe Licht­

stufe — hier die L ichtstufe

.

Die Isophoten der Kugel sind also Kreise, deren M ittelpunkte dem C entralstrahle ange­

hören und deren Ebenen auf dem C entralstrahle senkrecht stehen.

Eine Kugel von beliebigem Radius, auf welcher die zehn H auptisophoten gezeichnet sind, stellt einen Lichtm asstab dar. H ält man sie nämlich als Tangentialkugel an ein beleuchtetes ebenes Flächenstück, so dass m a die S trahlenrichtung angiebt, so kommt dem Flächenstück die L ich t­

stufe des B erührungspunktes zu. G ehört dieser B erührungspunkt einer Isophote an, so h at er die L ichtstufe derselben. Andernfalls kann seine H elligkeit aus seiner Lage zu den beiden ihm benachbarten Isophoten ohne weiteres abgelesen werden. Eine solche Kugel heisst Normalkugel.

b) Nun ist die eben erw ähnte M anipulation in der Geometrie nicht praktisch durchführbar;

sie deckt sich aber dem Erfolge nach m it der Lösung der A u fg ab e: „An die beleuchtete H älfte der Normalkugel soll eine Tangentialebene ge­

legt werden, welche einer auf ihre Lichtstufe zu prüfenden Ebene parallel is t“, denn der Be­

rührungspunkt dieser Tangentialebene h at die gesuchte H elligkeit.

Da in der darstellenden Geometrie • die Ge­

bilde durch ihre P rojektionen gegeben werden, so haben w ir nunmehr die Projektionen der Normalkugel zu konstruieren. Die Ellipsen, welche in der Grund- und Aufrissebene die zehn Isophotenkreise darstellen, können nach den elementaren Regeln der deskriptiven Geo­

m etrie gezeichnet werden. Doch ist hier noch eine Bem erkung zu machen. Ihre Beschaffen­

heit rich tet sich nach ihrer Lage zu den B ild­

ebenen, also, da die Isophotenkreise auf der Strahlenrichtung senkrecht stehen, nach der Strahlenrichtung. Ich schliesse mich in dem folgenden dem fast allgemein herrschenden Brauche an, die S trahlenrichtung so vorauszu­

setzen, dass ihr Grundriss und ihr Aufriss m it der x-Axe einen W inkel von 45

einschliessen.

B ekanntlich ist dann jed er S trahl zu jed er der beiden Bildebenen u nter 35° 15' 5 3" oder an­

genähert unter

° geneigt. Die H elligkeit jed er der Aufriss- oder der Grundebene p aral­

lelen Fläche ist daher = sin

• 10 = 5,8.

U nter dieser Voraussetzung sind in Fig. 3 die Projektionen der Norm alkugel m it den H aup t­

isophoten null, neun und dem P u nk te 10 der grössten H elligkeit dargestellt.

c) Die Art, wie die Norm alkugel verw ertet wird, möge ein Beispiel veranschaulichen. Es soll die L ichtstufe des durch seine Projektionen cu bi C] und

b¿ C

gegebenen Dreiecks a b c Fig. 3

angegeben werden.

Die Gerade ba fa ¡| x-Axe stellt den Aufriss

einer D reieckstransversale d ar, welche der

G rundspur der Dreiecksebene parallel is t; ih r

G rundriss bi fi ist die R ichtung der G rundspur;

S. 88.

Jah rg . VII. No. 5 .

analog ist die Richtung

es der Aufrissspur gefunden. Die durch den P u n k t J der x-Axe gezogenen Geraden e' || bi fi und

|| as

sind also die Spuren einer Ebene E , welche der Dreiecksebene parallel ist. Fällen w ir von np und nt

je ein L ot gi und g

auf e' und e", so repräsentieren dieselben der R ichtung nach die P rojektionen des auf E senkrechten Kugel­

durchmessers. Rein zufällig begegnen sie sich in der F ig u r in einem P u n k te der x-Axe.

Legen w ir die Vertikalebene dieses D urch­

messers sam t ihrem K ugelschnitte und der Ge­

raden g um gi in die Grundebene, so schneidet g den Kreis in den B erührungspunkten der--

III. D i e I s o p h o t e n k e g e l u n d d e r R o d e n b e r g ’sc-he L i c h t m a s s s t a b .

a) Den zu einer Isophote der Normalkugel gehörenden B erührungskegel wollen w ir Iso­

photenkegel nennen und ihn durch die H ellig­

keitszahl der Isophote charakterisieren. Allen Tangentialebenen eines solchen Kegels kommt die Lichtstufe der entsprechenden Isophote zu.

W ird daher eine Ebene durch Parallelverschie­

bung Berührungsebene an einem Isophotenkegel, so h at sie die durch ihn angegebene Lichtstufe.

Tangentialebene an einem Kegel ist eine Ebene, wenn sie die Kegelspitze en th ält und wenn ihre G rundspur die gleichnamige K egelspur berührt.

Die G rundspuren der Isophotenkegel zer­

fallen in drei Gruppen, deren U nterscheidung

jenigen Tangentialebenen der Kugel, welche E parallel sind. D er eine von ihnen, i, gehört der beleuchteten K ugelhälfte an ; seine P ro jek ­ tionen i i und i

liefern durch ihre Lage zu der Isophote 9 und dem P u nk te 10 die L ich t­

stufe 9,4.

Eine etw as einfachere und w eiter tragende Lösung findet sich bei G ö l l e r , pag. 95.

Die Operationen an der Norm alkugel stellen gegenüber dem u nter I geschilderten Verfahren eine erhebliche Vereinfachung dar. Eine noch grössere Einfachheit der K onstruktionen ergiebt die Verwendung der Isophotenkegel.

(Fig. 8«),

• m ittels der horizontalprojizierenden Ebene H des C entralstrahls leicht durchzuführen ist. Auf jedem Isophotenkegel gehören zwei Seitenlinien der Ebene H an. Aber nu r bei einem dieser Kegel ist die eine dieser beiden Seitenlinien der G rundebene parallel. Die zu dieser Seiten­

linie gehörende Tangentialebene lieg t horizontal, ist also zu den Strahlen u n ter 35 V

geneigt, gehört som it dem Isophotenkegel 5,8 an. Darum ist die G rundspur dieses einen K e g els, der zwischen den H auptkegeln 5 und

liegt, eine Parabel, während die Spuren der Kegel von 0 bis 5,8 sich als Ellipsen, diejenigen der Kegel von 5,8 bis

als H yperbeln darstellen. F ü r den hellsten P u n k t w ird der Kegel zur T angential­

ebene der Normalkugel, deren S pur auf dem

G rundriss des C entralstrahls senkrecht steht.

1901. No. 5.

S. 89.

F ü r die Isophote

g eh t der Kegel in einen j bald die Grundspuren der parallel verschobenen Cylinder m it elliptischer G rundspur über. i Isophotenkegel bekannt sind. Diese aber sind

b) Um diese Bem erkungen m öglichst ein- ! unschw er zu konstruieren,

fach zu verw erten, vereinigen w ir zunächst die c) In Fig. 4 sei nämlich nn der G rundriss Spitzen aller Isophotenkegel in einem P unkte, des in der Aufrissebene gelegenen M ittelpunktes indem w ir sie alle so lange konaxial verschieben, m der N orm alkugel, c stelle den um . seinen bis ihre Spitzen in den M ittelpunkt der Normal- Grundriss ci in die gleichnamige Bildebene ge- kugel fallen. An der R ichtung der Seitenlinien drehten C en tralstra h l, m den um geklappten und der Lage der Tangentialebenen zu den M ittelpunkt des zur Vertikalebene H von c S trahlen ändert sich dabei nichts. Endlich ver- gehörenden grössten Kugelkreises und b e den legen w ir den M ittelpunkt der Norm alkugel in aus der Ebene H heraus in die Grundebene ge- die Aufrissebene. Dann geh t nämlich die Auf- j drehten Durchm esser einer Is o p h o te , z. B.

rissspur einer jeden Tangentialebene der Iso- i der Isophote 3 dar. Dann sind die Tangenten photenkegel durch den M ittelpunkt. Is t daher f b und f e diejenigen beiden Seitenlinien des eine ebene F igur auf ihre H elligkeit zu prüfen, Kegels 3, welche in der Ebene H liegen. Da so ziehen w ir durch den M ittelpunkt der Normal- j diese Ebene zugleich die Neigungsebene des kugel eine P arallele zu der R ichtung der Auf-

Isophotenkreises und der Grundebene is t, so rissspur und durch den x-A xenpunkt der P aral- i schneiden f b und f c auf cj die H auptaxe der leien eine zw eite P arallele zur R ichtung der i K egelgrundspur ab. Um hiernach die Grund- G rundspur der Figurenebene. B erührt die zweite spur des Parallelkegels 3 zu finden, ziehen w ir P arallele die G rundspur eines der verschobenen

durch m die Parallelen m a und nt b bezw. zu Isophotenkegel, z. B. des Kegels 5, so komm t f b und f e ; sie schneiden auf ci die H auptaxe der F ig u r die entsprechende H elligkeit, hier der gesuchten K egelspur ab. Die B rennpunkte also die L ichtstufe 5 zu. Und b erü h rt die ; derselben sind diejenigen B erührungspunkte o

und u der beiden zur Seite a b des Dreiecks a b nt gehörenden B erüh­

rungskreise, welche in a b liegen. Von diesen beiden Kreisen is t in der F ig u r derjenige, welcher dem B erührungspunkt o entspricht, durch den M ittelpunkt i, den Radius i o und einen Teil seiner P eripherie dargestellt.

Aus der H auptaxe und den beiden B rennpunkten w ird der K egelschnitt 3 in bekannter W eise kon­

struiert.

Die übrigen Spuren werden analog gefunden.

Beispielsweise ist in der F igu r noch die Spur des Parallelkegels 9 ange­

geben. D er in die G rund­

ebene gedrehte vertikale A xenschnitt des H au pt­

kegels 9 ist durch n p q dargestellt. Die Geraden

p und m r || u q schneiden auf ci die

(Fig.

). Hauptaxe

§ der hyper-

Parallele eine zwischen zwei benachbarten bolischen G rundspur des Parallelkegels 9 ab, H auptspuren, z. B. zwischen

und

gelegene während der B erührungskreis an nt §, 5 c' und S p u r, so ist die L ichtstufe leicht m it hin- die R ückverlängerung von nt r, dessen M ittel­

reichender G enauigkeit abzuschätzen. Es steh t p un k t J und dessen Radius $ n ist. den einen uns also ein neues überaus einfaches Verfahren B rennpunkt u liefert.

für Lichtstufenbestim m ung zur V erfügung, so-

d) Die G rundspur 10 der nach nt parallel ver-

S. 90.

Jah rg . VII. No. 5.

schobenen Tangentialebene des liebsten Punktes ist _L ci und g eh t durch denjenigen P u n k t £ von ci, in welchem das in nt auf c errichtete L ot einschneidet.

F ü r den Isophotencylinder 0 hat die P arallel­

verschiebung keinen Sinn, doch lässt auch er

sich in das vorige einfügen. W ie gross näm­

lich der Radius der Norm alkugel ist, ist für die R ichtung der Seitenlinien der Isophoten­

kegel gleichgültig; die Spuren der Parallelkegel bleiben also unverändert, so lange der M ittel-

P arallelkegel fü r eine Norm alkugel von unend­

lich kleinem Radius zur Anschauung.

Nach den früheren A usführungen (vergl. b in III) stellt die Tafel der Fig. 5 ebenso g u t einen Lichtm assstab dar, wie die N orm alkugel m it ihren zehn Isophoten. W ir wollen diesen L ichtm assstab , seinem Erfinder entsprechend, den R odenberg’schen Lichtm assstab nennen.

Eine wie bequeme und allgemeine Anwendung dieser M assstab g e s ta tte t, mag das folgende lehren.

(F ig .

p u n k t der N orm alkugel derselbe bleibt. Diese | Schlussfolgerung g ilt auch für eine Norm alkugel von unendlich kleinem R a d iu s; nur reduziert sich für diese die G rundspur des Isophoten- cylinders 0 auf einen P unkt, nämlich auf die G rundspur c' des C entralstrahls.

Fig. 5 brin g t die nach der beschriebenen Methode k onstruierten G rundspuren der zehn <

o).

IV. A n w e n d u n g e n d e s n e u e n L i c h t m a s s s t a b e s . a ) D i e L i c h t s t u f e n e b e n e r F l ä c h e n ­ s t ü c k e . Es soll die Lichtstufe des Dreiecks a b c in Fig. 3

erm ittelt werden. Die S puren­

richtungen der Dreiecksebene sind bereits früher

(II c) aufgefunden worden. Die durch den

P u n k t nt des Massstabes Fig. 5 gehende P arallele

1901. No. 5.

S. 91.

nt £ zu et« C

ist die Aufrissspur einer dem D rei­

ecke parallelen Tangentialebene eines P arallel­

kegels und liefert den A xenpunkt £ der G rund­

spur. Diese letztere ist dann die durch £ zu bi fi gezogene Parallele t'. Die S pur t' berührt eine zwischen den H auptspuren 9 und 10 ge­

legene S pur des Massstabes, die sich» als Spur 9,4 abschätzen lässt. Die L ichtstufe des D rei­

ecks ist also 9.4.

Dass diese Lösung einfacher ist, als die früher (IIIc ) besprochenen, sehen wir ohne w eiteres. F ü r vertikale Flächenstücke ist m im bereits die A ufrissspur der Parallelebene, also liefert schon eine durch nti parallel zur G rund­

spur gezogene Gerade die Lichtstufe. Damit aber ist die E rm ittelung der Lichtstufen der Seitenflächen aller Polyeder erledigt.

Ehe w ir zu den gekrüm m ten Flächen über­

g e h e n , sei noch eine Bem erkung über den Reflex eingeschaltet.

b) D e r R e f l e x . K eh rt uns eine Fläche die von direkten L ichtstrahlen nicht getroffene, die sogenannte dunkle Seite zu, so erscheint sie uns in dem Lichte, das ihr von den be­

nachbarten beleuchteten Oberflächen zugesandt wird, d. h. w ir sehen sie im Reflexlicht. H alten w ir an der allgemein üblichen Annahme fest, dass die Reflexstrahlen den direkten L ich t­

strahlen entgegengesetzt parallel sind, so können w ir für die Reflexbeleuchtung ganz ebenso zehn H auptstufen unterscheiden, wie für die direkte.

Den Reflexstrahlenwinkeln

n r = 90° 64 58 4 4

3 6 :,/ 4 30 237a 177»

117

a 5 %

entsprechen die Sinus

sin

0,9 . . . 0 , 5 ... 0, also auch zehn verschiedene Lichtstufen. Doch rep räsen tiert jede derselben nur einen B ruch­

teil des H elligkeitsgrades, welcher ihr bei gleichem Einfallsw inkel im direkten L ichte zu­

kommen würde. W ie gross dieser Bruchteil ist, hängt von der N atur des K örpers und seiner Umgebung und von der K raft der direkten Strahlen ab. Machen w ir beispielsweise die A nnahm e, dass eine Ebene bei senkrechter Reflexbestrahlung den H elligkeitsgrad 4 hat, so en tspricht dem R eflexstrahlenwinkel 6 4 11 die

9

L ichtstufe 4 • sin 64° = 4 • ^ = 3,6. Ist all­

gemein das V erhältnis der hellsten Reflex- beleuchtung zur hellsten direkten B eleuchtung

~ ' j , ull(i stellt 1 irgend eine Lichtstufe der direkten B eleuchtung dar, so ist die ent­

sprechende Reflexstufe = 1 • ^.

Die Isophoten der Reflexstrahlen, die Reflex- isophoten der Norm alkugel sind 9 Kugelkreise der unbeleuchteten K ugelhälfte, welche ein-

| schliesslich des hellsten Reflexpunktes zur Iso- phote 0 ebenso liegen, wie die H auptisophoten der bestrahlten Hälfte. Dem entsprechend liegen die Reflexisophotenkegel symmetrisch zu den ursprünglichen Kegeln. Verschieben w ir sie konaxial, bis ihre Spitzen in den M ittelpunkt der N orm alkugel fallen, so ist je ein Reflex­

kegel die R ückerw eiterung des ihm entsprechen­

den H au p tk eg els; folglich sind die G rundspuren beider identisch. Also kann der Lichtm assstab Fig. 5 genau ebenso zur E rm ittelung der Reflex­

stufen benutzt werden, wie er zur Bestimm ung des H elligkeitsgrades diente.

W ürde beispielsweise das Dreieck a b c der Fig. 3

dem unbeleuchteten Oberflächenteile eines Polyeders angehören, so würden wir genau nach der K onstruktion in a) die der do rt ge­

fundenen Lichtstufe 9,4 entsprechende Reflex-

r 4

stufe 9,4

,

9,4

erhalten,

d

c) D i e L i c h t s t u f e n d e r g e k r ü m m t e n F l ä c h e n . Eine system atische B ehandlung der Beleuchtung gekrüm m ter Flächen geht über den Rahmen eines V ortrags hinaus. Ich will daher die einfachsten der abw ickelbaren gekrüm m ten Flächen, die Kegelfläche und die Cylinderfläche herausgreifen und dann zeigen, wie die erhalte­

nen R esultate an zwei w eiteren ausgezeichneten Flächen gruppen v erw ertet werden können.

1. D e r g e r a d e C y 1 i n d e r. In Fig.

ist ein gerader Kreiscylinder, der m it einer

Grundfläche auf der Horizontalebene ruht, durch

seine P rojektionen C yi und C y

dargestellt.

S. 92.

Jah rg . VII. No. 5.

Die obere Grundfläche hat nach dem Vor­

getragenen die H elligkeit 5,8.

Jede Seitenlinie h at die H elligkeit ih rer Tangentialebene. Alle Tangentialebenen sind senkrecht zur G rundebene; alle ihre durch nt (Fig. 5) gehenden Parallelebenen haben daher in nt nti ihre gemeinsame A u frisssp u r; die G rundspuren gehen alle durch mi und ent­

scheiden durch ihre Lage zu den Kegelspuren des Lichtm assstabes über die Lichtstufe der entsprechenden Tangentialebene und der in ih r liegenden Seitenlinie des Cylinders.

So entsprechen der G rundspur nti c' (ci oder m i

) zwei Tangentialebenen des Cylinders, deren G rundspuren a und b zwei zu tili c' parallele Tangenten an C yi s in d ; die Be­

rührungspunkte a und b derselben sind die A nfangspunkte der beiden Seitenlinien m it dem H elligkeitsgrad 0 (der beiden Däm m erungsseiten­

linien) ; die Aufrisse dieser Seitenlinien sind a» Sis und ha 93s.

Die durch nti _L ci gehende G rundspur be­

rü h rt eine K egelspur 8,2 in ihrem S cheitel;

alle anderen Parallelspuren berühren Kegel­

spuren niederen H elligkeitsgrades. Die beiden an C yi _L ci gezogenen Tangenten liefern dem­

nach durch ihre B erührungspunkte e und f je die hellste Seitenlinie e © von der Lichtstufe 8,2, deren Aufriss sich m it

deckt und die Seitenlinie des stärksten Reflexes f deren H elligkeit S,2 • 0,4 = 3,3 is t und deren Aufriss mit eia

zusammenfällt.

Um die H elligkeit irgend einer Seitenlinie i Q zu finden, ziehen w ir zur T angente in ihrem A nfangspunkte i auf C yi durch im die P ara l­

lele : sie deckt sich m it der x-Axe und tan g irt eine zwischen 5 und

gelegene K egelspur 5,8.

Diese Zahl stellt also die gesuchte L ichtstufe dar.

Um um gekehrt eine Seitenlinie anzugeben, deren H elligkeit eine gegebene, z. B. 3 ist, ziehen w ir von im eine Tangente an die Kegel­

spur 3. Von den beiden parallel zu ih r an C yi gezogenen Tangenten liefert die eine durch den auf dem bestrah lten Bogen b e a gelegenen B erührungspunkt I die Seitenlinie í £ von der H elligkeit 3, die andere durch den au f dem unbestrahlten Bogen

f b gelegenen B erührungs­

pun k t

die Seitenlinie

D von der Reflexstufe 3 • 0,4 = 1,2. Dass von nti aus an die Spur 3 zwei zu Ci symm etrisch liegende Tangenten gezogen w erden können, brin g t die bekannte T hatsache zum A usdruck, dass auf dem Cylinder sowohl zwei zur Axenstrahlenebene sym m etrisch gelegene Seitenlinien gleicher L ich tstu fe, als auch zwei ebensolche Seitenlinien gleicher R e­

flexstufe existieren.

H it geringen Modifikationen findet das Ver­

fahren auf alle Cylinder m it vertikalen Seiten­

linien und beliebig g estalteter Basis Anwendung.

2

. D e r s c h i e f e C y l i n d e r . C y i und

C ya seien in Fig. 7 die P rojektionen eines schiefen Kreiscylinders, ai und aj die P ro jek ­ tionen seiner Axe a. Alle seine T angential­

ebenen sind seiner Axe a parallel. Ziehen w ir daher durch m im Raume eine Parallele p zu a und verschieben die Tangentialebenen parallel nach nt, so bilden sie ein Ebenenbüschel, dessen Axe p ( p i, pa) ist.- Also stellen die G rund­

spuren der P arallelebenen ein Strahlenbüschel d ar, dessen S trahlenp un kt die G rundspur p' von p ist. Die G rundspur p' w ird (Fig. 5) aus pi |j ai und p

|| a

in b ekannter W eise gefunden.

(F ig. 7.)

Die der P arallelspur nti 0 parallelen, in Fig. 7 nicht gezeichneten Tangenten b und d an den G rundkreis von C yi ergeben durch ihre B erüh­

rungspunkte b und b die Däm m erungsseiten­

linien b 53 und b ©.

D urch p' geh t die in der F ig ur 5 nicht ge­

zeichnete K egelspur

,

; ihrer Tangente in p'

entsprechen zwei parallele Tangenten an den

G rundkreis von C y i ; der B erührungspunkt e

der einen liegt auf dem beleuchteten Bogen des

Grundkreises und ist der A nfangspunkt der

hellsten Seitenlinie e © von der L ichtstufe

,

.

D er B erührungspunkt f der anderen liegt auf

1901. No. 5.

S. 93.

dem dunklen Bogen des Grundkreises und liefert die Seitenlinie f jy des stärksten Reflexes S

• 0,4 = 3,4. Die hellste Seitenlinie ist e ©, weil in F igur 5 alle von p' aus nach den Kegel­

spuren gezogenen Tangenten, ausser der er­

w ähnten an

i m P unkte p' Kegelspuren b e­

rühren, deren Ordnungszahl kleiner als

ist.

Die H elligkeit irgend einer Seitenlinie, z. B.

der Seitenlinie t Q finden wir, indem wir zur Tangente i im P u nkte i an den G rundkreis von C y i die P arallele i ' durch p ' ziehen; sie be­

rü h rt die K egelspur 2,9, welche die gesuchte Lichtstufe ansagt.

Um innerhalb der auf Cy vorkommenden L ichtstufen zwischen

und 0 die Seitenlinien von vorgeschriebener H elligkeit, z. B. von der H elligkeit

zu erm itteln, ziehen w ir in Fig. 5 von p ' eine Tangente g ' an die Kegelspur

. Von den beiden zu

parallelen Tangenten an den Grundkreis von C y i liefert die eine g durch ihren B erührungspunkt g die geforderte Seiten­

linie, die andere (in der F igur weggelassen) die Seitenlinie von der entsprechenden Reflex­

stufe.

Dass von p' aus zwei Tangenten an eine K egelspur gezogen werden können, b ringt die bekannte T hatsache zum Ausdruck, dass es auch auf dem schiefen K reiscylinder sowohl zwei Seitenlinien gleicher Lichtstufe, als auch zwei Seitenlinien gleicher Reflexstufe giebt.

F ü r schiefe Cvlinder m it irgend welcher Seitenlinie bleibt das Verfahren im wesentlichen dasselbe.

3. D e r g e r a d e K e g e l . In Fig.

ist ein gerader K reiskegel K durch seine Projektionen K i und Ke dargestellt.

W ir verschieben ihn ohne Axendrehung so, dass seine Spitze sich m it nt in Fig. 5 und seine Axe der R ichtung nach sich m it m m i deckt. | Dies geschieht, indem w ir durch nt parallel zu

§2 02

eine Gerade bis zu ihrem S chnittpunkte

£ m it der x-Achse ziehen und m it im £ einen Kreis schlagen. Dieser Kreis ist die G rundspur des Parallelkegels K p des Kegels K. Jede Tangentialebene der Fläche K p, welche zugleich auch einen der von m ausgehenden Isophoten- kegel berü hrt, hat die H elligkeit des letzteren.

Dieselbe L ichtstufe kommt der Berührungsseiten- linie auf K p und der entsprechenden — der parallelen — auf K zu. Da die Kegelfliiehe K p und die Isophotenkegel in m ihre gemeinsame Spitze haben, so ist jede Tangentialebene durch ihre G rundspur charakterisiert.

D er Kreis im £ in Fig. 5 trifft m in p. Die dort an ihn gezogene Tangente berüh rt den Scheitel einer K egelspur zwischen der S pur 9 und der Spur 10, welche sich als Spur 9,7 ab­

lesen lässt. D er Seitenlinie m p, also auch der entsprechenden — der parallelen — des Kegels K, nämlich der Seitenlinie § e, kommt somit die

I Lichtstufe 9,7 zu. Sie ist die hellste, weil alle anderen Tangenten des Kreises im £ nur Kegel­

spuren niederen Grades berühren können.

Die von der Spur c' des Isophotencylinders 0 an den Grundkreis nt i £ gezogenen Tangenten c' b' und c'

' (in der F ig ur ist nu r die erstere

\

gezeichnet) liefern durch ihre B erührungspunkte die Dämmerungsseitenlinien m b' und m b' von

; K p . Durch Parallelverschiebung der beiden , Spuren an K i nach d und b erhalten w ir die A nfangspunkte b und b der beiden Dämmerungs­

linien § b und § b von K.

(F ig. 8).

Um die Lichtstufe irgend einer Seitenlinie § t des Kegels K zu finden, ziehen wir parallel zur Tangente i ihres A nfangspunktes die Tangente i' an den Kreis im £; sie berü hrt die K egelspur 2,9, welche die Lichtstufe von § i ansagt.

Eine Seitenlinie von gegebener H elligkeit, z. B. der H elligkeit 4 erhalten wir. indem w ir an den zu dem beleuchteten Teile des G rund­

kreises m i £ gehörenden Bogen und die Kegel­

spur 4 eine gemeinsame Tangente f ' ziehen. Ihre Parallelverschiebung nach Ki liefert durch den B erührungspunkt f die Seitenlinie § f von der L ichtstufe 4 —.

Die Seitenlinie des hellsten Reflexes auf dem Kegel K p w ird durch die Tangente im zweiten S chnittpunkte von c i m it dem Kreise im £ be­

stim m t; sie b erührt die K egelspur 4,5, also ist die Reflexstufe dieser Seitenlinie und der ihr entsprechenden § g des Kegels K — 4,5 • 0,4

== 1,8. Die Reflexstufe irgend einer Seitenlinie

S. 94.

Jahrg . VII. No. 5.

ergiebt sich aus der Parallelverschiebung der Tangente ihres A nfangspunktes an den unbe­

leuchteten Bogen des Kreises im £.

W ir sehen noch ohne w eiteres: Zu der Spui- des Kegels K p (dem G rundkreise m

£•) und irgend einer Isophotenlcegelspur, z. B. der S pur 4 gehören zwei P aare Tangenten. Das eine P aar b erü h rt den beleuchteten Bogen von n u £ und liefert zwei Seitenlinien von der Lichtstufe 4 ; das andere P aar, das sich zwischen den beiden K egelspuren schneidet und in der F igur 5 w eg­

gelassen ist, b erü h rt den unbeleuchteten Bogen von nu £ und liefert die beiden Seitenlinien von der Reflexstufe 4 • * — 4 • 0,4 == 1,6. Da zwei Tangenten desselben Paares symmetrisch zu c i liegen, so liegen auch die Seitenlinien gleicher L ichtstufe und gleicher Reflexstufe des Kegels K symmetrisch zur hellsten Seitenlinie § e.

Darum genügt zur K onstruktion jedesm al e i n e Tangente desselben Paares.

4. D e r s c h i e f e K e g e l . Um die Beleuch­

tung eines schiefen Kegels darzustellen, ver­

schieben w ir ihn ohne Axendrehung so, dass seine Spitze nach nt fällt. W ir erreichen dies, indem w ir durch nt Parallele zu den Aufrissen und durch n u P arallele zu den Grundrissen der K egelseitenlinien ziehen. D er O rt der G rund­

spuren der Parallelen ist dann die G rundspur der verschobenen Kegelfläche. Das w eitere er­

giebt sich nach dem vorangegangenen von selbst.

Auch ist leicht zu übersehen, dass dasselbe V er­

fahren nicht nur auf Kreiskegel, sondern auch auf Kegel von beliebiger L eitkurve angew andt werden kann.

Die bisher erlangten R esultate g estatten die D arstellung der Beleuchtungsvei-hältnisse aller gesetzm ässig gestalteten Flächen m ittels unseres Lichtm asstabes. Ich will das an zwei ausge­

zeichneten Flächengruppen, den Rotationsflächen und den Riickungsflächen erläutern.

5. D ie R o t a t i o n s f l ä c h e n . In Fig. 9 stellt E i den Grundriss und E

den Aufriss eines Rotationsellipsoids dar, das durch Drehung einer Ellipse um ihre zur Grundebene senkrechte Axe entstanden ist. Die P rojektionen der S trahlen­

richtung seien kurz m it s i und S

bezeichnet;

r

§

oder Mi ist der G rundriss und r

fl

oder M

der Aufriss des in der Axenlichtebene gelegenen Meridians M.

W ir geben zunächst von der Dämmerungs­

linie (der Isophote 0) den obersten und untersten P u n k t an. D er erste gehört der obersten, der zweite der untersten Seitenlinie des der S trahlen­

richtung parallelen Berührungscylinders des Ellipsoids an. Beide Seitenlinien liegen in der Axenlichtebene M. Ziehen w ir daher an M

zwei Tangenten

und u» parallel zu S

, so sind ihre B erührungspunkte

und u« die Auf­

risse der gesuchten P u n k te ; ihre G rundrisse

und

liegen auf M i.

(F ig. 9).

Um beliebig viele P u n k te der Isophote 0 zu finden, benutzen w ir die B erührungskegel der P arallelkreise zwischen

und u, z. B. den Kegel

i f, dessen Aufriss durch j

ia f

ange­

d eutet ist. Die L ichtstufen seiner Seitenlinien sind auch diejenigen ih rer B erührungspunkte auf dem Parallelkreise. Ganz wie in 3) kon­

struieren w ir zu $ i E den P arallelkegel K p in Fig. 5, indem w ir durch m die P arallele in r zu

ia ziehen; der Kreis n u £ ist dann die G rundspur von K p . Ziehen w ir nun von c' (

) aus die Tangente c' b' an m

£ und verschieben sie parallel an den G rundriss von i £ in Fig. S nach d, so is t der B erührungspunkt b

der P ara l­

leltangente der Grundriss des einen Dämme-

rungspunktes auf i f ; der G rundriss e

des

anderen ergiebt sich entw eder aus der von c'

nach m i £ gezogenen zw eiten Tangente, oder

kü rzer aus der Bem erkung, dass bi und ci

sym m etrisch zu M i liegen. So werden die

Däm m erungspunkte au f jedem Parallelkreise er-

1901. No. 5.

S. 95.

m ittelt. F ü r den grössten P arallelkreis wird der B erührungskegel zu einem Cylinder mit v ertikaler Axe. Zwei T angenten an E i, die s i (oder c' im ) parallel sind, liefern daher in ihren B erührungspunkten l i und n i die Grundrisse der beiden D äm m erungspunkte; ihre Aufrisse decken sich m it t

und §

. W egen der sym­

m etrischen Lage der oberen und der unteren H älfte der Diimmerungslinie zu dem grössten P arallelkreise und der dam it verknüpften sym­

m etrischen Lage der beiden H älften ihres G rund­

risses zu l i m kann aus der oberen H älfte die untere ohne weiteres hergeleitet werden. So sind die P u n k te

und

,

m ittels b und e gefunden.

Die ü b r i g e n I s o p l i o t e n erhalten wir, indem w ir auf den einzelnen Parallelkreisen unter B enutzung der P arallelkegel ihrer Be­

rührungskegel die P unkte der gesuchten L ich t­

stufe angeben. Um beispielsweise auf dem P arallelkreise i f die P unkte von der Lichtstufe 4

— die V iererpunkte — zu finden, ziehen wir die der K egelspur 4 und dem beleuchteten Bogen des Grundkreises m £ von K p gemein­

same Tangente f'. Die P aralleltangente f an den Grundriss von i E liefert in ihrem B erühr­

ungspunkte fr den Grundriss des einen V ierer­

punktes auf i E; der G rundriss

des anderen ergiebt sich aus der sym metrischen Lage beider zu M i. Eine Tangente des zweiten Tangenten- | paares, das zu der K egelspur 4 und dem G rund­

kreis nu £ gehört, w ürde die Reflexpunkte 4 • 0,4 — 1,6 auf dem Parallelkreise i E geliefert haben. Zu beachten ist: Da die B erührungs­

kegel der Parallelkreise, welche unterhalb des grössten Parallelkreises p q liegen, zu den ent­

sprechenden oberen symm etrisch sind, so ver­

tauschen die beiden Tangentenpaare, die zu 4 und nu £ gehören, ihre Rollen. Das e r s t e liefert fü r die u nteren Parallelkreise die Reflex­

stufen, das zweite die Lichtstufen. Der o b e r s t e und der u n t e r s t e P u n k t der Isophote 4 liegen auf M und lassen sich folgendermassen angeben. Die von

in Fig. 5 nach den Scheiteln der K egelspur 4 gezogenen Geraden sind die in der Paiallelebene von M gelegenen Seiten­

linien des Isophotenkegels 4. Projizieren w ir daher die Scheitel auf die x-Axe, verbinden die beiden P rojektionen m it in und ziehen zu diesen V erbindungsgeraden je eine parallele Tangente an M

, so stellen die B erührungspunkte die Aufrisse des höchsten und des tiefsten Viererpunktes dar. Sie sind in Fig. 9, ebenso wie ihre Grundrisse, mit „ 4 “ bezeichnet. An­

gedeutet sei noch, dass sich dabei auch der höchste und tiefste P u n k t der Reflexisophote 4 • 0,4 oder 1,6 ergeben. W ie Isophote 4 wer­

den die anderen Isophoten konstruiert.

D er h e l l s t e P u n k t des Ellipsoides ist der B erührungspunkt derjenigen Tangentialebene

j

der beleuchteten H älfte des Ellipsoids, welche der Isophotenebene 10 parallel ist. Sie wird

| von der Ebene des Meridians M nach einer

| Tangente geschnitten, welche dem durch nt { (Fig. 5) gehenden Endschenkel des Neigungs-

| winkels der Ebene 10 parallel ist. Fällen w ir daher von nti das L ot nu in auf S pur 10, p ro ­ jizieren ro auf die x-Axe nach in

und ziehen zu m in

an Mo in Fig. 9 die parallele Tangente h, so haben w ir in ihrem B erührungspunkt E

den Aufriss des hellsten P u n k te s ; sein G rund­

riss f)

liegt in M i.

Aehnlich werden alle R otationskörper m it zur Grundebene senkrechter Axe behandelt. Is t die Rotationsaxe zur Grundebene geneigt, so treten an die Stelle der B erührungskegel und Beriihrungscylinder m it zur Grundebene senk­

rech ter Axe die entsprechenden Flächen m it zur Grundebene geneigter Axe, auf die dann die R esultate von 2) und 4) angew andt werden.

6

. D i e R ü c k l i n g s f l ä c h e n . Als ein­

faches Beispiel aus dieser Flächengruppe wähle ich die gewundene Säule. Sie ist der W eg eines Kreises von konstantem Radius, dessen M ittelpunkt eine gemeine Schraubenlinie durch­

läuft, w ährend seine Ebene einer bestimmten Ebene des Raumes parallel bleibt.

In Fig. 10 ist der Kreis L x mit dem Radius

der Grundriss des geraden Cylinders m it v ertik aler Axe, dem die einfache Schraubenlinie

angehört. L

ist dann auch der Grundriss der Leitlinie L, deren Aufriss Lo oder a« ha b»

die bekannte Sinuslinie ist. Der M ittelpunkt des erzeugenden Kreises K , dessen Radius r ist, beginne seine Bewegung im P u nk te I A'on L i und vollziehe sie so, dass sein Grundriss sich auf L

gegen die Uhrzeigerdi*eliung bewegt.

Den Lagen I, II, . . . V III des M ittelpunktes entsprechen dann die Lagen K , K» . . K y m des erzeugenden Kreises. Die Grundrisse der­

selben sind kongruente Kreise, deren M ittel­

punkte die gleichnamigen P rojektionen der Punkte I . . . V III s in d ; die Aufrisse sind

! Strecken, welche der x-Axe parallel und dem

! Durchm esser des erzeugenden Kreises gleich I sind und deren Endpunkte von den Aufrissen der zugehörenden M ittelpunkte um r abstehen.

Darum sind die Grenzlinien des Aufrisses der Säule zwei der Kurve L

parallele Sinuslinien Gg und Ho. w ährend die Grenzlinie des G rund­

risses der alle Grundrisse der Kreise K ein- hiillende m it L , konzentrische Kreis vom Radius r -)-

i s t ; er ist in der F igu r weggelassen :.

Die Beleuchtungsverhältnisse der Fläche er­

geben sich aus folgenden Bemerkungen. Die

H elligkeit der P unkte des erzeugenden Kreises

K in irgend einer Lage stim m t überein mit

den Lichtstufen der Mantellinien des schiefen

Cylinders, dessen Leitlinie der erzeugende Kreis

und dessen Axe die durch den M ittelpunkt von

S. 96.

Jahrg. VII. No. 5.

K an L gezogene Tangente ist. Die Licht- stufen der Seitenlinien dieses Cylinders aber werden nach 2) e r m itte lt; eine W iederholung der K onstruktion fü r eine genügende Zahl von Lagen des Kreises K löst die Aufgabe.

(Fig. 10).

In der Praxis g estaltet sich diese Lösung sehr einfach. Der W inkel

welchen die T an­

gente von L m it der Grundebene einschliesst, ist bekanntlich konstant. E r ergiebt sich aus t g

, worin h die Höhe des Schrauben-

2 ^{r r o}

ganges = na ba und

hinreichend genau

= 3

2 o die Peripherie von L ist. W egen der erw ähnten Beschaffenheit des W inkels

bilden alle durch m in Fig. 5 gehenden P arallel­

strahlen zu den Axen aller schiefen Cylinder einen geraden Kegel, dessen Axe in die Gerade in im fällt. Die G rundspur dieses Kegels hat m i zum M itte lp u n k t; ihr Radius ist die K athete nij £ eines rechtw inkligen Dreiecks, dessen zweite K athete rtl IIR m it

in j: nij als Gegenwinkel ist. Der zu nij j; gehörende K reis in Fig. 5 ist also der O rt der Grundspuren aller durch

gehenden Parallelaxen zu den den verschiedenen

Lagen von K entsprechenden Cylinderaxen. In der Lage I des erzeugenden Kreises lieg t die Tangente durch I an L (die Axe des ersten schiefen Cylinders) in einer zur x-Axe senk­

rechten Ebene. Die G rundspur der Parallelaxe ist daher der S ch nittpu nk t

der in

j J_ x-Axe gezogenen Geraden m it dem Kreise

j J.‘.

W ährend der M ittelpunkt des erzeugenden Kreises die Lagen I, II, III, . . . durchläuft, durchläuft die Spur der Parallelaxe die Lagen

, £, t) . . . . H iernach leh rt die Lage des Kreises

, £ zu den K egelspuren: Die Iso- photen' 0, 1, 2, 3 und 4 bestehen aus je zwei nicht in sich zurücklaufenden K u rv e n ; die Iso- photen 5 bis 9 aber sind je durch eine einzige in sich zurücklaufende Linie dargestellt. Der hellste P u n k t liegt auf demjenigen erzeugenden Kreise K, welchem die P arallelaxenspur i) ent­

spricht, d. h. auf I\ iv- Zu dem P u nk te i) ge­

h ö rt der Scheitel der K egelspur 9 ,7; der hellste P u n k t der Fläche h a t also die Lichtstufe 9,7.

Behufs K onstruktion der Isophoten beginnen w ir m it dem Kreise K j . Da die G rundspur

der Parallelaxe auf der K egelspur 6,3 liegt, so gehören die P u nk te von K j den zwischen 6,3 und 0 gelegenen Lichtstufen an. Nach

liefert die P aralleltangente zu

c'

0) an den G rund­

riss von Kj in ihren B erührungspunkten Oi die G rundrisse der N ullpunkte auf K ; die Aufrisse sind ebenso bezeichnet. Dem Kreise K y ent­

spricht die P arallelaxenspur q ; die beiden P ara l­

leltangenten an den G rundriss von Ky zu q c' ergeben in ihren B erührungspunkten Oy die G rundrisse der N ullpunkte an K yt deren Auf­

risse dem Aufriss des Kreises angehören. So sind die Aufrisse Oi . . . Ojx der beiden Iso ­ photen Null (der beiden Dämmerungslinien) en t­

standen. Die G rundrisse sind weggelassen.

Um die V iererpunkte auf K t zu finden, ziehen w ir von

in Fig. 5 die beiden Tangenten an K egelspur 4. Von den vier P aralleltangenten

— die Zeichnung ist in Fig. 10 nicht ausge­

fü h rt — an den G rundriss von K j berühren zwei den beleuchteten, zwei den nicht be­

leuchteten Bogen. Die B erührungspunkte der beiden ersten sind die G rundrisse der beiden V iererpunkte auf K

die der beiden letzten die G rundrisse der P u n k te von der Reflexstnfe

-0 ,4 = 1 , 6 . W enden wir das gleiche V er­

fahren auf die übrigen Lagen des Kreises K a n , so erhalten w ir sowohl die beiden Iso ­ photen 4, als auch die beiden Iiefiexisophoten 1,6.

Von den in sich zurücklaufenden Isophoten

ist in Fig. 10 die Linie 9 konstruiert. Sie

liegt, wie ein Blick auf den Kreis m

r in

Fig. 5 lehrt, zwischen den K reisen K yj und

K

. Dem Kreise K iy beispielsweise entspricht

die P arallelaxenspur p. Den beiden von p an

K egelspur 9 gezogenen - T angenten — in der

F ig u r ist nu r eine gezeichnet — entsprechen

1 9 0 1 . N o . 5 . I EBER PHYSIKALISCHE SCHÜLERLBUNGEN. S . 9 7 .

an dem beleuchteten Bogen des Grundrisses von IC iv zwei parallele Tangenten, deren Be­

rührungspunkte 9 iy die gleichnamigen P rojek­

tionen der N eunerpunkte von ICiv sind; m it den G rundrissen sind die Aufrisse der P unkte gegeben. D er oberste und der unterste P u n k t liegen auf denjenigen Kreisen IC zwischen K jy und IC ii, welche den als Parallelaxenspuren aufgefassten Schnittpunkten des Kreises m ,

: m it der ICegelspur 9 entsprechen. Die G rund­

risse ihrer M ittelpunkte sind r , und c,. Die Aufrisse beider Kreise ergeben sich aus der Bem erkung, dass dieselben den A bstand zweier benachbarten H auptkreise K y i und K y, oder K n und ICut hi demselben Verhältnisse teilen, wie die P u n k te n und Ci die Bögen zwischen VI und V oder zwischen II und III. Zu den beiden Parallelaxenspuren der Kreise K r und K e ge­

hören zwei Tangenten an S pur 9 ; die zu ihnen an die beleuchteten Bögen der G rundrisse von K r und K e gezogenen Paralleltangenten liefern die G rundrisse o, und u , des obersten und untersten P unktes, deren Aufrisse Os und lta bezw. au f den gleichnamigen P rojektionen von K r und Ke zu suchen sind.

D er hellste P u n k t hat nach der E inleitung die H elligkeit 9,7 und liegt auf IC

. Sein G rundriss t>] ist der B erührungspunkt derjenigen T angente an die gleichnamige Projektion von IC

, welche der S cheiteltangente der Kegel­

spur 9,7 (der Scheitel ist der P u n k t i;) in Big. 5 parallel ist. —

T ritt an Stelle des Kreises eine andere Kurve m it konstanten Dimensionen, so bleibt das Verfahren fast w örtlich dasselbe. A endert der Kreis K w ährend der Bewegung seinen Radius nach einem konstruktiv darstellbaren Gesetze, so treten an Stelle der einhiillenden Cvlinder einhüllende Kegel, auf welche die K onstruktionen 3) und 4) Anwendung finden.

Das V orgetragene dürfte genügen, um Sie m it dem neuen Lichtm assstab bekannt zu machen.

Vergleichen Sie seine Leistungen m it den en t­

sprechenden der Normalkugel, was an der H and des oben zitierten G ö l l e r ’sehen W erkes leicht geschehen kann, so werden Sie durchw eg die grössere E infachheit der K onstruktionen auf seiner Seite finden. Sollte es mir gelungen sein, Sie von seiner V erw endbarkeit in dem Schul­

un terrichte zu überzeugen und dam it dem U nterrichte in der darstellenden Geometrie eine neue S tütze zuzuführen, so wäre der Zweck dieses V ortrages erreicht. Der Dank aber würde H errn Prof. R o d e n b e r g gebühren, der seinen Lichtm asstab den M ittelschulen zur Verfügung g estellt hat. —

L ie b e r p h y s i k a l i s c h e S c h ü le r Ü b u n g e n V o rtra g , g e h a lte n a u f d e r H a u p tv ersa m m lu n g au Giessen*)

von K a r l N o a c k (Giessen).

M eine H erren ! Als ich m ich vor kaum zwei M onaten dem V orsitzenden des O rtsausschusses zur

| V erfü g u n g stellte fü r einen V o rtra g in der physikali-

| sehen A bteilung, geschah dies in der sicheren E rw artu n g , i dass, wie sonst im m er so auch diesmal, H e rr D irektor I Schw albe d er V ersam m lung beiw ohnen w ürde. U nd I gerade diese E rw a rtu n g leitete m ich bei der W ahl

! meines T hem as ü b e r d e n B e t r i e b p h y s i k a l i - I s c h e r U e b u n g e n , denn der V erstorbene h a t auch j au f diesem besonderen G ebiete des naturw issenschaft­

lichen U n terrich ts eine führende R olle gespielt, und ich w ürde m ich g efreu t haben, m ich an dieser Stelle m it ihm üb er einen G egenstand u n terh alten zu können d er auch m ir sehr am H erzen liegt. D enn der W eg des einen ist j a doch n u r selten auch der W eg des ändern an d h ätte ich m ir d aher von einem m ündlichen G edankenaustausch reiche F rü c h te versprochen.

In e i n e m P u n k te besonders w eichen m eine A n ­ sichten und E rfah ru n g en über E in ric h tu n g und B etrieb d er Schülerübungen von denen Sohwalbes n ic h t uner­

heblich ab, näm lich in d er W ertschätzung und V er­

w endung rein q u alitativ er Versuche. Ich habe von A nfang an ein grösseres G ew icht au f m essende V ersuche legen zu müssen g eg lau b t und ich muss gestehen, dass ich im L au fe d er J a h r e und an d er H an d d er gesam ­ m elten E rfah ru n g en in dieser A nsicht noch v e rs tä rk t w orden bin und solche U ebungen noch w eiter be­

sch rän k t habe.

N ich t als ob ich sie ganz b eseitig t wissen w ollte;

die D arstellung von C hladnis K iähgfiguren, das E n t­

w erfen von m agnetischen K raftlih ien -B ild em u nd deren F ix ie ru n g auf L ich tp au sp ap ier (wovon ich h ier einige P ro b en ausgehängt habe), das A ufsnchen einer reibungs­

elektrischen Spannungsreihe, H erstellu n g und Zeich­

nu n g elektrischer Strahlungsfiguren nach L ic h te n b e rg u n d A ntolik, oder der A ufbau und das S tudium der optischen In stru m e n te a u f d er optischen Bank haben auch in unserem L eh rp la n ihre gebührende S telle ge­

funden, aber sie verschw inden doch an Z ahl u nd B e­

deu tu n g g egenüber den m essenden V ersuchen, und ich habe auch in all den J a h re n n ich t gefunden, dass sich bei den beteiligten Schülern der W unsch u nd das B e­

dürfnis nach m eh r qualitativen V ersuchen reg te ; im G egenteil w erden m it lebhafterem Interesse u nd grösse­

rem E ife r solche V ersuche und A ufgaben behandelt, bei denen ein d u rch Zahl oder K u rv e verfolgbares R esu ltat gew onnen w ird.

D abei muss ich allerdings besonders bem erken, dass an rm serer A n sta lt die U ebungen n u r in den drei obersten K lassen ein g efü h rt sin d ; es m ag daher diese G eschm acksrichtung w enigstens teilw eise ihre E rk lä ru n g in d er grösseren R eife des S chülerm aterials finden.

V on einer A n fertig u n g und Zusam m ensetzung von A p p araten im R ahm en der U ebungen sehe ich dagegen vollständig ab, einm al w eil dafü r doch die beschränkte Z eit von w öchentlich anderthalb bis zwei S tunden n ich t ausreichend w ä re , dann a b er a u c h , w eil diejenigen Schüler, die fü r solche B eth ätig u n g Interesse und Ge­

schick haben, im Anschluss an ih re T h ä tig k e it bei den U ebungen in ihren häuslichen M ussestunden diese Seite d er E x p erim en tierk u n st freiw illig m it bestem E rfo lg pflegen.

*) S. U n t.-B l. V II, 3, S. 5 4.