Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego łukami parabol y = x 2 − x − 6 i y = −x 2 + 5x + 14

Analiza Matematyczna Egzamin Poprawkowy

Zestaw L1 Zadanie 1

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego łukami parabol y = x ² − x − 6 i y = −x ² + 5x + 14

Rozwi¸ azanie

-10 -5 0 5 10 15 20 25

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x*x-x-6 -x*x+5*x+14

Rysunek 1: Wykresy funkcji f (x) = x ² − x − 6 i g(x) = −x ² + 5x + 14

Znajdujemy współrz¸edne punktów przeci¸ecia si¸e parabol, rozwi¸ azuj¸ ac układ równań

 y = x ² − x − 6 y = −x ² + 5x + 14

Otrzymujemy x ₁ = −2 i x ₂ = 5 ( prosz¸e sprawdzić, patrz wykresy rys.1 ) St¸ ad wartość pola P figury zawartej mi¸edzy wykresami funkcji f i g

|P | = Z 5

−2

(−x ² +5x+14−x ² +x+6)dx = Z 5

−2

(−2x ² +6x+20)dx = −2x ³ /3| ⁵ ₋₂ +3x ² | ⁵ ₋₂ +20x| ⁵ ₋₂ =

1

= −250 3 − 16

3 + 75 − 12 + 100 − 40 = −250 3 − 16

3 + 123 = −250 3 − 16

3 + 369

3 = 103 3

Wartość pola P mi¸edzy łukami parabol wynosi

|P | = 103

3 = 34 1 3 .

Zadanie 2 Prosz¸e obliczyć

lim x→1 x

Rozwi¸ azanie

Jest to wyrażenie typu 1 ^∞ .

Żeby można było zastosować reguł¸e markiza de L’Hospitala, musimy przekształcić je do symbolu nieoznaczonego  ₀

0 , stosuj¸ac poznan¸a na wykładzie tożsamość f (x) ^g(x) = e g(x)lnf (x)

, f (x) > 0

Mamy

x→1 lim x

= lim

x→1 e

^lnx = e ^lim

= H = e ^lim

1x

−1

= e ⁻¹ = 1 e Skorzystaliśmy z ci¸ agłości funkcji exp(x).

Zadanie 3

Prosz¸e znaleźć ekstrema lokalne i asymptoty wykresu funkcji o równaniu

y = 6x

x ² + 2x + 14 . Rozwi¸ azanie

Wzór wykresu funkcji możemy zapisać w postaci

y = 6x

x ² + 2x + 14 = 6x (x + 1) ² + 13 ,

2

z której wynika, że wielomian mianownika funkcji przyjmuje tylko wartości dodatnie.

Dziedzin¸ a funkcji jest wi¸ec prosta rzeczywista i wykres funkcji nie ma asymptot piono- wych.

Ponadto stopień wielomianu licznika funkcji wymiernej wynosi jeden i jest mniejszy od stopnia wielomianu mianownika - dwa. Wykres funkcji nie ma asymptoty pochyłej (uko- śnej).

Istniej¸ a skończone granice

x→∞ lim

6x

x ² + 2x + 14 = 0

x→−∞ lim

6x

x ² + 2x + 14 = 0

Wykres funkcji posiada wi¸ec asymptot¸e poziom¸ a obustronn¸ a o równaniu y = 0 (oś OX).

Obliczymy pochodn¸ a rz¸edu pierwszego funkcji.

f ⁰ (x) = 6(x ² + 2x + 14) − 6x(2x + 2)

(x ² + 2x + 14) ² = −6(x − √

14)(x + √ 14) (x ² + 2x + 14) ² ) O znaku pierwszej pochodnej decyduje znak wielomianu licznika −6(x − √

14)(x + √ 14), który przyjmuje wartości ujemne na (−∞, − √

14) ∪ ( √

14, +∞) i wartości dodatnie na przedziale (− √

14, √ 14).

St¸ ad wynika, że w punkcie − √

14 funkcja ma minimum lokalne właściwe

−3 √ 14 14− √

14 ≈ −1.0992, zaś w punkcie √

14 maksimum lokalne właściwe ³

√ 14 14+ √

14 ≈ 0.63269.

Zadanie 4 Prosz¸e obliczyć

n→∞ lim

4 ⁿ⁻² − 5 2 ²ⁿ − 3 Rozwi¸ azanie

n→∞ lim

4 ⁿ⁻² − 5

2 ²ⁿ − 3 = lim

n→∞

4 ⁿ 4 ⁿ

(4 ⁻² − 5/4 ⁿ )

(1 − 3/4 ⁿ ) = 1 · 4 ⁻² − 0 1 − 0 = 1

16

Zadanie 5

Prosz¸e dobrać parametry a, b ∈ R tak, aby funkcja f określona wzorem

3

f (x) =  x ² dla |x| ≤ 1 ae ^−x

+ b dla |x| > 1 była ci¸ agła na R.

Rozwi¸ azanie

Zauważmy, że funkcja f jest ci¸ agła na prostej rzeczywistej bez punktów -1 i 1. Aby dobrać parametry a i b, by była ona ci¸ agła w tych punktach, musz¸ a zachodzić równości wynikaj¸ ace z definicji ci¸ agłości funkcji w punkcie

lim

x→−1

f (x) = lim

x→−1

f (x) = f (−1) lim

x→1

f (x) = lim

x→1

f (x) = f (1)

Z równości tych wynika, że aby funkcja f była ci¸ agła w punktach -1 i 1, dla parametrów a i b musi zachodzić równanie ae ⁻¹ + b = 1.

Zadanie 6 Prosz¸e obliczyć

Z

x ² e ^x dx

Rozwi¸ azanie

Jest to całka, któr¸ a obliczymy metod¸ a dwukrotnego całkowania przez cz¸eści.

Z

x ² e ^x dx = Z

x ² (e ^x ) ⁰ dx = x ² e ^x −2 Z

xe ^x dx = x ² e ^x −2 Z

x(e ^x ) ⁰ dx = x ² e ^x −2xe ^x +2 Z

1·e ^x dx

= x ² e ^x − 2xe ^x + 2e ^x + C = e ^x (x ² − 2x + 2) + C

4