AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie OLIMPIADA
”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2010/11 MATEMATYKA - ETAP I
ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW
1. Kula K jest wpisana w sze´scian. Kula K0 jest styczna do trzech ´scian tego sze´scianu i do kuli K. Oblicz stosunek promienia kuli K do promienia kuli K0.
2. Suma kwadrat´ow trzech dodatnich liczb ca lkowitych a, b, c jest r´owna 2010. Ile jest w´sr´od nich liczb parzystych?
3. Znajd´z liczbeι p, dla kt´orej granica ciaιgu o wyrazie og´olnym an= 3
q
n3+ n2+ 9pn − 3
q
n3− 5pn2 jest r´owna 2.
4. Punkty A = (−2, 3) i B = (1, 2) saι wierzcho lkami tr´ojkaιta T . Wyz- nacz wsp´o lrzeιdne trzeciego wierzcho lka wiedzaιc, ˙ze pole tr´ojkaιta T jest r´owne 3, a ´srodek jego cieι˙zko´sci le˙zy na osi OY .
ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW
5. Liczba naturalna a ma 2n cyfr, z kt´orych pierwsze n cyfr to same czw´orki, a pozosta le cyfry to ´osemki. Udowodnij, ˙ze √
a + 1 jest liczbaι naturalnaι dla ka˙zdego n.
6. W uk ladzie wsp´o lrzeιdnych na p laszczy´znie narysuj zbi´or
A = {(x, y) : logy(8x + y − 2 − x2) ≥ logy(8 − x2+ 8x − 2y − y2)}.
7. Naszkicuj wykres funkcji g : m → g(m), kt´ora ka˙zdej liczbie rzeczywis- tej m przyporzaιdkowuje liczbeι pierwiastk´ow r´ownania
22x+2+ 4x+ 4x−1+ . . . = m + 16x.
