Układy równań liniowych
Układem równań liniowych nazywamy układ równań postaci
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
, , ,
2 2 1 1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
n m nm n
n
m m
m m
b x a x
a x a
b x a x
a x a
b x a x
a x a
K M
K K
w którym współczynniki aij i wyrazy wolne bi są elementami ciała liczbowego K, a xi są niewiadomymi. Układ można zapisać w formie macierzowej jako
B X A⋅ = ,
gdzie
=
=
=
m m
nm n
n
m m
b b b B x x x X a
a a
a a
a
a a
a
A M M
K K K K K
K K
2 1 2
1
2 1
2 22
21
1 12
11
,
, .
Jeśli b1=b2 =K=bn =0, układ równań nazywa się jednorodnym, w przeciwnym wypadku mamy do czynienia z układem niejednorodnym.
Przykłady Układy równań i ich rozwiązania
1)
= +
−
=
− +
=
− +
2 2 4
0 3 2 5
2 2 3 2
3 1
3 2 1
3 2 1
x x
x x x
x x x
3 2 1
3 2 1
=
=
=
x x x
2)
= +
−
=
− +
=
− +
0 2 4
0 3 2 5
0 2 3 2
3 1
3 2 1
3 2 1
x x
x x x
x x x
0 0 0
3 2 1
=
=
=
x x x
3)
=
−
= +
−
=
− +
0 2
0 2
0
2 1
3 2 1
3 2 1
x x
x x x
x x x
1 3
1 2
3 2 x x
x x
=
=
4)
= + +
=
− +
0 2
2 2
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
2 1
3
2 1
1 x x
x
−
=
−
=
5)
=
−
=
− +
= +
−
1 2 2
2 3 2
3 2
3 1
3 2 1
3 2 1
x x
x x x
x x x
nie ma rozwiązań.
Wykład V cd. Algebra
Układy Cramera
Układem równań Cramera nazywamy układ, w którym n=m (liczba równań jest równa liczbie niewiadomych) i detA≠0.
Rozwiązaniem (jedynym) układu Cramera jest X = A−1B czyli
=
=
m nn n
n
n n
m b
b b
A A
A
A A
A
A A
A
A x
x x
X M
K K K K K
K K
M
2 1
2 1
2 22
12
1 21
11 2
1
det
1 ,
co zapisujemy jako
A b A x
n
j j ji
i det
1
∑
= = . Wyrażenie
∑
= n
j j jib A
1
można potraktować jako rozwinięcie Laplace’a względem i-tej kolumny wyznacznika (Di) macierzy
+
−
+
−
+
−
nn i
n n i n n
n
n i
i
n i
i
a a
b a
a a
a a
b a
a a
a a
b a
a a
K K
M M M M M M M M
K K
K K
) 1 ( )
1 ( 1
1
2 )
1 ( 2 2 ) 1 ( 2 22
21
1 )
1 ( 1 1 ) 1 ( 1 12
11
, tzn.
A xi Di
= det .
Wniosek: Jedynym rozwiązaniem jednorodnego układu Cramera jest rozwiązanie trywialne x1= x2 =K= xn =0.
Przykład
, 6 2 0 4
0 2 5
2 3 2 ,
4 2 2 4
3 0 5
2 2 2 ,
2 2 0 2
3 2 0
2 3 2
2 0 2 ,
2 det ,
2 0 4
3 2 5
2 3 2 ,
2 2 4
0 3 2 5
2 2 3 2
3 2
1
3 1
3 2 1
3 2 1
−
=
−
=
−
=
−
−
−
=
−
=
−
−
=
=
−
=
−
−
−
=
= +
−
=
− +
=
− +
D D
D
D D
D
B A
A x
x
x x x
x x x
Rząd macierzy
Przestrzeń liniowa rozpinana przez zbiór wektorów L(x1,x2,Kxn) to przestrzeń liniowa wektorów będących kombinacją liniową wektorów należących do zbioru
{
x1,x2,Kxn}
.Definicja: Rzędem zbioru wektorów nazywamy wymiar przestrzeni liniowej rozpinanej przez ten zbiór dim(x1,x2,Kxn), czyli liczbę elementów
maksymalnego podzbioru wektorów liniowo niezależnych.
Przykład
Mamy zbiór 3 wektorów z R3:
0 1 1 , 0 1 0 , 0 0 1
. Tylko 2 (dowolne 2) z 3
wektorów są liniowo niezależne, więc rząd tego zbioru jest 2.
Definicja: Rzędem kolumnowym macierzy jest rząd kolumn traktowanych jako zbiór wektorów.
Przykład:
Mamy macierz
=
0 0 0
1 1 0
1 0 1
A . Rząd zbioru wektorów
0 1 1 , 0 1 0 , 0 0 1
wynosi 2.
Definicja: Rzędem wierszowym macierzy jest rząd wierszy traktowanych jako zbiór wektorów.
Przykład
Mamy macierz
=
0 0 0
1 1 0
1 0 1
A . Rząd zbioru wektorów:
{ (
1,0,1) (
, 0,1,1) (
, 0,0,0) }
wynosi 2.
Wykład V cd. Algebra
Twierdzenie: Rząd kolumnowy macierzy A jest równy rzędowi wierszowemu tej macierzy i oznaczany jest jako r
( )
A .Bez dowodu, komentarz: detA=detAT.
Wniosek: Rząd macierzy jest równy największemu stopniowi niezerowego minora tej macierzy (stopień minora - liczba kolumn (wierszy) macierzy, której wyznacznik (minor) obliczamy).
Przykład
Mamy macierz
=
0 0 0
1 1 0
1 0 1
A ; jej nieznikające minory to
1 1
1 , 0 1 0
0
1 .
Teoria układów równań liniowych
Mamy układ n równań liniowych z m niewiadomymi
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
. , ,
2 2 1 1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
n m nm n
n
m m
m m
b x a x
a x a
b x a x
a x a
b x a x
a x a
K M
K K
Macierzą współczynników (A) i macierzą rozszerzoną (A~) nazywamy
=
=
n nm n
n
m m
nm n
n
m m
b a a
a
b a a
a
b a a
a A a
a a
a a
a
a a
a A
K
K K K K K
K K
K K K K K
K K
2 1
2 2 22
21
1 1 12
11
2 1
2 22
21
1 12
11
, ~ .
Twierdzenie (Kroneckera-Capellego): Układ równań liniowych ma co najmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy współczynników jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej (r
( )
A =r( )
A~ ).Dowód: Niech
{
γ1,γ2,Kγm}
będzie rozwiązaniem układu. Mamy wówczas BA A
A +γ + +γm m =
γ1 1 2 2 K , gdzie Ai kolumny macierzy współczynników, a B ostatnia kolumna macierzy rozszerzonej. B∈L
(
A1,A2,K,Am)
więc( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
~ ., , , , dim ,
, , dim ,
, , , ,
,
, 2 1 2 1 2 1 2
1
A r A r
B A A A A
A A B
A A A L A A A
L m m m m
=
⇔
=
⇔
= K K K
K
Wniosek: Układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie jeśli rząd macierzy współczynników jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej i jest równy liczbie niewiadomych (r
( )
A =r( )
A~ =m).Przykłady Układy układów równań
1)
= +
−
=
− +
=
− +
2 2 4
0 3 2 5
2 2 3 2
3 1
3 2 1
3 2 1
x x
x x x
x x x
3 2 1
3 2 1
=
=
=
x x x
,
( ) ( )
~ 32 2 0 4
0 3 2 5
2 2 3 2 , ~
2 0 4
3 2 5
2 3 2
=
=
−
−
−
=
−
−
−
= A r A r A
A
2)
= +
−
=
− +
=
− +
0 2 4
0 3 2 5
0 2 3 2
3 1
3 2 1
3 2 1
x x
x x x
x x x
0 0 0
3 2 1
=
=
=
x x x
,
( ) ( )
~ 30 2 0 4
0 3 2 5
0 2 3 2 , ~
2 0 4
3 2 5
2 3 2
=
=
−
−
−
=
−
−
−
= A r A r A
A
Wykład V cd. Algebra
3)
=
−
= +
−
=
− +
0 2
0 2
0
2 1
3 2 1
3 2 1
x x
x x x
x x x
1 3
1 2
3 2 x x
x x
=
=
,
( ) ( )
~ 20 0 1 2
0 1 2 1
0 1 1 1 , ~
0 1 2
1 2 1
1 1 1
=
=
−
−
−
=
−
−
−
= A r A r A
A
4)
= + +
=
− +
0 2
2 2
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
2 1
3
2 1
1 x x
x
−
=
−
=
,
( ) ( )
~ 20 1 2 1
2 1 2
~ 1 1 , 2 1
1 2
1 = =
−
=
−
= A r A r A
A
5)
=
−
=
− +
= +
−
1 2 2
2 3 2
3 2
3 1
3 2 1
3 2 1
x x
x x x
x x x
nie ma rozwiązań
,
( )
2( )
~ 31 2 0 2
2 3 2 1
3 1 2 1 , ~
2 0 2
3 2 1
1 2 1
=
≠
=
−
−
−
=
−
−
−
= A r A r A
A
Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą
rugowania niewiadomych
Mamy układ n równań liniowych z m niewiadomymi
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
. , ,
2 2 1 1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
n m nm n
n
m m
m m
b x a x
a x a
b x a x
a x a
b x a x
a x a
K M
K K
Zakładamy, że r
( )
A =r( )
A~ i n≤m. Drugie równanie mnożymy przez −a11/ a21, dodajemy do pierwszego i dostajemy zamiast 2-go równania równanie2 21 11 2
21 11 2
22 21
11 b
a x a a a
x a a a a
m
m =−
−
−
− K ,
w którym nie ma x1. Trzecie równanie mnożymy przez −a11/a31, dodajemy do pierwszego i dostajemy równanie
3 31 11 3
31 11 2
32 31
11 b
a x a a a
x a a a a
m
m =−
−
−
− K ,
w którym również nie ma x1. Wykonując analogiczną operacje na pozostałych równaniach dostajemy układ, w którym we wszystkich równaniach poza pierwszym nie ma x1. Potem wykorzystując równanie dwa, eliminujemy x2 z równań 3,4,Kn. Postępując tak dalej, otrzymujemy układ postaci
β
= α
β
= α + + α + α
β
= α + + α + α
,
, ,
2 2
3 23 2 22
1 1
2 12 1 11
n n nn
m m
m m
x
x x
x
x x
x
M
K K
jeśli n=m
lub
β
= +
+ α
+ α
β
= α + + α + α
β
= α + + α + α
+
+ ,
, ,
1 ) 1 (
2 2
3 23 2 22
1 1
2 12 1 11
n m nm n
n n n nn
m m
m m
x a x
x
x x
x
x x
x
K M
K K
jeśli n<m,
który dalej rozwiązujemy standardowo zaczynając od ostatniego równania tzn. z ostatniego równania wyznaczmy x podstawiamy do przedostatniego itd.
Wykład V cd. Algebra
Przykład
= +
−
=
− +
=
− +
2 2 4
0 3 2 5
2 2 3 2
3 1
3 2 1
3 2 1
x x
x x x
x x x
⇒
= +
−
= +
− −
=
− +
2 2 4
0 53
2 2 5 5 2 5
2
2 2 3 2
3 1
3 2
1
3 2 1
x x
x x
x
x x x
⇒
= +
−
= +
−
−
=
− +
2 2 4
5 0 6 5 2 4
2 2 3 2
3 1
3 2 1
3 2 1
x x
x x x
x x x
⇒
= +
−
=
−
=
− +
2 2 4
5 2 4 5 11
2 2 3 2
3 1
3 2
3 2 1
x x
x x
x x x
⇒
= +
−
=
−
=
− +
2 2 4
10 4 11
2 2 3 2
3 1
3 2
3 2 1
x x
x x
x x x
⇒
= +
−
=
−
=
− +
1 2
10 4 11
2 2 3 2
3 1
3 2
3 2 1
x x
x x
x x x
⇒
=
−
=
−
=
− +
3 3
10 4 11
2 2 3 2
3 2
3 2
3 2 1
x x
x x
x x x
⇒
−
= +
−
=
−
=
− +
3 11 11 11
10 4 11
2 2 3 2
3 2
3 2
3 2 1
x x
x x
x x x
⇒
=
=
−
=
− +
3
0 4 11
2 2 3 2
3
3 2
3 2 1
x
x x
x x x
⇒
2 1 6 6 2 2
2 3 , 2
11 2 12 10 11
4
10 2 3
1 3
2 − + =
+ =
= − + =
+ =
= x x
x x x
