Niech z1, z2bed, a zespolonymi rozwi, azaniami r´, ownania z2− (1 + 2i)z − 1 + 3i = 0 Wyznacz cze´s´c rzeczywist, a i urojon, a liczby, „1 z1 + 1 z2 «2008

GAL (I INF) Zadania domowe 1

Uwaga: Ka˙zde zadanie warte jest tyle samo punkt´ow

1. Wyka˙z, ˙ze w dowolnym ciele K prawdziwe sa stwierdzenia:_, (a) ∀a ∈ K a ∗ 0 = 0 = 0 ∗ a,

(b) je´sli a∗ b = 0 to a = 0 lub b = 0.

2. Wyka˙z, ˙ze dla dowolnych liczb zespolonych z, z1, z2 mamy:

(a) |z|²= z∗ z, (b) z1∗ z²= z1∗ z².

3. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby zespolone 4− 4i oraz √ 2− i√

6.

4. Upro´s´c wyra˙zenia:

(a) (1 + i)¹⁰, (b) “

1+i√ 2

”26

.

5. Niech z1, z2bed_, a zespolonymi rozwi_, azaniami r´_, ownania z²− (1 + 2i)z − 1 + 3i = 0 Wyznacz cze´s´c rzeczywist_, a i urojon_, a liczby_,

„1 z1

+ 1 z2

«2008

. 6. Rozwia˙z w dziedzinie zespolonej r´_, ownanie

p(z) = z⁴+ 3z²− 4 = 0,

a nastepnie dokonaj faktoryzacji wielomianu p w dziedzinach zespolonej oraz rzeczywistej._,

1