prof. dr hab. in. Mikoaj Busowicz
Politechnika Biaostocka, Wydzia Elektryczny mgr in. Micha Sokólski
Studium Doktoranckie, Wydzia Elektryczny PB
ODPORNA STABILNO UKADÓW CIGO-DYSKRETNYCH
O FUNKCJI CHARAKTERYSTYCZNEJ ZALENEJ LINIOWO
OD JEDNEGO NIEPEWNEGO PARAMETRU
Rozpatrzono problem badania odpornej stabilnoci liniowego ukadu hybrydowe-go cigo-dyskretnehybrydowe-go, którehybrydowe-go wielomian charakterystyczny zaley liniowo od jednego niepewnego parametru. Wielomian ten mona przedstawi w postaci wy-pukej kombinacji dwóch wielomianów dwóch zmiennych niezalenych. Podano czstotliwociowe metody badania odpornej stabilnoci takiej kombinacji. Bazuj one na warunku wykluczenia zera znanym z teorii odpornej stabilnoci rodzin wielomianów jednej zmiennej. Rozwaania zilustrowano przykadem.
ROBUST STABILITY OF CONTINUOUS-DISCRETE SYSTEM WITH CHARACTERISTIC FUNCTION LINEARLY DEPENDENT ON ONE
UNCERTAIN PARAMETER
The problem of robust stability of linear continuous-discrete systems with charac-teristic polynomial linearly dependent on one uncertain parameter is considered. This problem is equivalent to the problem of robust stability of convex combina-tion of two polynomials of two independent variables. Frequency domain methods for robust stability analysis of such a combination are given. The method pro-posed are based on the zero exclusion condition known from the theory of robust stability of families of polynomials of one variable. The considerations are illus-trated by numerical example.
1. WSTP
Ukadami cigo-dyskretnymi (hybrydowymi) nazywamy takie ukady dynamiczne, w których modelu matematycznym jedna cz zmiennych stanu jest z czasem cigym za druga cz jest z czasem dyskretnym, przy czym nie da si rozdzieli równa dynamiki opi-sujcych cz cig oraz cz dyskretn.
Zagadnienia stabilnoci oraz odpornej stabilnoci liniowych ukadów hybrydowych cigo-dyskretnych byy rozpatrywane np. w pracach [5, 8-12]. W niniejszej pracy zostanie rozpa-trzony problem badania odpornej stabilnoci liniowego ukadu cigo-dyskretnego, którego funkcja charakterystyczna (wielomian dwóch niezalenych zmiennych s i z) zaley liniowo od jednego niepewnego parametru. Rozpatrywany problem jest równowany z badaniem od-pornej stabilnoci wypukej kombinacji dwóch wielomianów, które s wielomianami dwóch zmiennych niezalenych. Problem analizy odpornej stabilnoci wypukej kombinacji dwóch wielomianów by tematem wielu publikacji, patrz np. monografie [1-4, 6] w przypadku wie-lomianów naturalnego stopnia oraz prac [7] w przypadku wiewie-lomianów stopnia uamkowe-go. W pracy [11] sformuowano ogólne warunki odpornej stabilnoci wypukej kombinacji dwóch wielomianów dwóch zmiennych niezalenych. Nie podano jednak metod ich spraw-dzania. Takie metody, dogodne do oblicze komputerowych, zostan podane w niniejszej pracy.
2. WPROWADZENIE
Funkcja charakterystyczna liniowych ukadów cigo-dyskretnych jest wielomianem dwóch zmiennych niezalenych o rzeczywistych wspóczynnikach o ogólnej postaci
w s z a s zik i k k m i n ( , ) ¦ ¦ , 0 0 anmz 0. (1)
Z pracy [8] wynikaj ponisze twierdzenia.
Twierdzenie 1. Ukad cigo-dyskretny o wielomianie charakterystycznym (1) jest
asympto-tycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy
w s z( , )z 0, Rest 0, | |zt 1 (2) .
Wielomian (1) dwóch zmiennych niezalenych speniajcy warunek (2) bdziemy nazywa wielomianem stabilnym w sensie Hurwitza-Schura.
Twierdzenie 2. Ukad cigo-dyskretny o wielomianie charakterystycznym w s z( , ) jest asymptotycznie stabilny (zachodzi (2)) wtedy i tylko wtedy, gdy
1) w s( , )1 z0, Rest 0,
2) w s z( , )z 0, Res 0, | |zt 1.
Warunek 2) twierdzenia 2 mona napisa w postaci
w jy z( , )z 0 y Y, f f( , ), | |zt 1 (3) ,
przy czym moemy ograniczy si do przedziau Y [ ,0 f).
Z twierdzenia 2 wynika, e ukad cigo-dyskretny o wielomianie charakterystycznym (1) jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy s spenione dwa ponisze warunki:
x rzeczywisty wielomian w s( , )1 jest stabilny w sensie Hurwitza (wszystkie jego zera maj ujemne czci rzeczywiste),
x wielomian zespolony w jy z( , ) dla kadego y jest stabilny w sensie Schura (wszystkie Y jego zera maj wartoci bezwzgldne mniejsze od 1).
3. SFORMUOWANIE PROBLEMU
Wartoci wspóczynników wielomianu charakterystycznego (1) zale od wartoci parame-trów ukadu cigo-dyskretnego. Jeeli te wartoci nie s dokadnie znane, to równie nie s dokadnie znane wartoci wspóczynników wielomianu (1).
W pracy rozpatrzymy przypadek, w którym wspóczynniki wielomianu charakterystycznego zale liniowo od jednego niepewnego parametru. W takiej sytuacji, postpujc podobnie jak w przypadku wielomianów jednej zmiennej (np. [6], [7]), wielomian charakterystyczny mo-na przedstawi w postaci wypukej kombimo-nacji dwóch wielomianów
w s z q( , , ) (1 q w s z) a( , )qw s zb( , ), q Q [ , ],0 1 (4) gdzie w s za( , ) i w s zb( , ) s to znane wielomiany o staych rzeczywistych wspóczynnikach o ogólnych postaciach w s za a s zik i k k m i n ( , ) ¦ ¦ , 0 0 anm z 0, (5)
w s zb b s zik i k k m i n ( , ) ¦ ¦ , 0 0 bnmz 0. (6)
Bdziemy zakada, e wielomian (4) dla kadego q ma stopie n ze wzgldu na zmien-Q ns i stopie m ze wzgldu na zmienn z.
Uwzgldniajc teori odpornej stabilnoci ukadów dynamicznych o niepewnych parametrach (np. [6]) moemy sformuowa ponisz definicj.
Definicja 1. Ukad cigo-dyskretny o wielomianie charakterystycznym (4) nazywamy
od-pornie stabilnym, jeeli jest on asymptotycznie stabilny dla kadej ustalonej wartoci niepew-nego parametru z zadaniepew-nego zbioru, tj. dla kadego q .Q
Z powyszej definicji i twierdze 1, 2 wynikaj bezporednio nastpujce twierdzenia.
Twierdzenie 3. Ukad cigo-dyskretny, którego wielomian charakterystyczny ma posta (4)
jest odpornie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy
w s z q( , , )z 0 dla Rest 0, | |zt 1 q Q, . (7)
Twierdzenie 4. Ukad cigo-dyskretny o wielomianie charakterystycznym (4) jest odpornie
stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy 1) w s( , , )1q z0, Rest 0, q ,Q 2) jest speniony warunek
w jy z q( , , )z 0 y Y, , | | ,zt 1 q Q . (8)
Wielomian (4) speniajcy warunek (7) (równowanie, warunki 1) i 2) twierdzenia 4) b-dziemy nazywa wielomianem odpornie stabilnym w sensie Hurwitza-Schura.
Zadanie badania odpornej stabilnoci w sensie Hurwitza-Schura wielomianu (4) dla kadego q jest równowane z badaniem odpornej stabilnoci w sensie Hurwitza-Schura rodziny Q wielomianów
W s z Q( , , ) { ( , , ):w s z q q 0 1 Q [ , ]}, (9) gdzie wielomian w s z q( , , ) ma posta (4).
Celem pracy jest podanie komputerowych metod badania odpornej stabilnoci ukadu cigo-dyskretnego o wielomianie charakterystycznym (4). Poniewa odporna stabilno tego ukadu jest równowana z odporn stabilnoci w sensie Hurwitza-Schura rodziny wielomianów (9), podane metody bd bezporednio dotyczyy rodziny wielomianów (9).
Konieczno badania odpornej stabilnoci w sensie Hurwitza-Schura rodziny wielomianów (9) wynika nie tylko z faktu, e jest ona wielomianem charakterystycznym ukadu dynamicz-nego o funkcji charakterystycznej liniowo zalenej od jeddynamicz-nego niepewdynamicz-nego parametru, ale te z faktu, e stabilno tej rodziny jest warunkiem koniecznym odpornej stabilnoci np. rodziny ukadów o liniowej lub wieloliniowej strukturze niepewnoci. Mona to pokaza dokadnie w ten sam sposób jak w przypadku rodziny wielomianów jednej zmiennej, np. [6].
Przy formuowaniu metod badania odpornej stabilnoci w sensie Hurwitza-Schura rodziny wielomianów (9) wykorzystamy teori dotyczc odpornej stabilnoci rodzin wielomianów charakterystycznych jednej zmiennej, podan w monografii [6].
4. ROZWIZANIE PROBLEMU
Zgodnie z twierdzeniem 4, badajc odporn stabilno rodziny wielomianów (9) musimy sprawdzi spenienie dwóch warunków tego twierdzenia. Metody sprawdzania tych warun-ków rozpatrzymy oddzielnie.
Warunek 1) twierdzenia 4 mona napisa w postaci
w s q( , , )1 (1 q w s) a( , )1 qw sb( , )1 z0, Rest0, q Q [ , ],0 1 (10) przy czym wielomiany w sa( , )1 i w sb( , )1 maj odpowiednio postaci (5) i (6) dla z 1. S one
wielomianami jednej zmiennej s. Warunek (10) jest równowany z odporn stabilnoci w sensie Hurwitza wypukej kombinacji dwóch wielomianów w sa( , )1 i w sb( , ).1 Metody ba-dania odpornej stabilnoci wypukej kombinacji dwóch wielomianów jednej zmiennej s podane w pracy [6]. Jedn z nich, dogodn do oblicze numerycznych, podamy poniej.
Nie zmniejszajc ogólnoci rozwaa przyjmiemy, e wielomian w sa( , )1 jest wielomianem nominalnym (odniesienia). Musi on by wielomianem stabilnym w sensie Hurwitza, aby wy-puka kombinacji dwóch wielomianów w sa( , )1 i w sb( , )1 bya stabilna w sensie Hurwitza. Stabilno w sensie Hurwitza wielomianu w sa( , )1 mona atwo sprawdzi stosujc np. kryte-rium stabilnoci Hurwitza.
Twierdzenie 5. Niech wielomian nominalny w sa( , )1 bdzie stabilny w sensie Hurwitza.
Warunek 1) twierdzenia 4) jest speniony (tj. zachodzi (10)) wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji
I( )jy wb(jy, ) /1 wa(jy, ),1 y Y [ ,0 f), (11) nie przecina ujemnej póosi rzeczywistej (f 0 . , ]
Przeanalizujemy teraz badanie spenienia warunku 2) twierdzenia 4.
Spenienie warunku 2) twierdzenia 4 jest równowane z odporn stabilnoci w sensie Schura zespolonej rodziny wielomianów
W jy z Q( , , ) { (w jy z q q, , ): 0 1 Q [ , ]} (12) dla kadego Y [ ,0 f). Rodzin (12) otrzymuje si z (9) stosujc podstawienie s .jy Zatem
w jy z q( , , ) (1 q w) a(jy z, )qwb(jy z, ). (13) Przy formuowaniu metody badania odpornej stabilnoci w sensie Schura zespolonej rodziny
wielomianów (12) uogólnimy rezultaty znane z teorii odpornej stabilnoci rodziny rzeczywi-stych wielomianów jednej zmiennej (np. [6]).
Za wielomian nominalny rodziny (12) moemy przyj np. wielomian wa(jy z, ). Musi on by wielomianem stabilnym w sensie Schura dla kadego y Y [ ,0 f), aby rodzina wielomia-nów (12) bya stabilna w sensie Schura.
Wielomian zespolony wa(jy z, ) dla kadego yt 0 jest stabilny w sensie Schura wtedy i tylko wtedy, gdy
wa(jy z, )z 0 y t 0, | | ., zt 1 (14)
Przeanalizujemy teraz problem sprawdzania warunku (14). Z zasady argumentu wynika, e dla dowolnego ustalonego yt 0 warunek (14) jest speniony wtedy i tylko wtedy, gdy wy-kres funkcji wa(jy,exp(jZ)), Z : [ ,0 2S], okra m razy w kierunku matematycznie
dodatnim pocztek paszczyzny zmiennej zespolonej, przy czym m jest stopniem wielomianu w s za( , ) ze wzgldu na zmiennz.
Jeeli warto parametru y ronie, to wykresy funkcji w jyY a( ,exp(jZ)), Z : (krzywe zamknite) maj coraz wiksze wymiary. Wtedy sprawdzenie liczby okre pocztku pasz-czyzny zmiennej zespolonej przez te wykresy jest bardzo trudne.
Aby unikn tej niedogodnoci, postpujc podobnie jak w przypadku wielomianów jednej zmiennej [6], bdziemy rozpatrywa „unormowan” funkcj
~ ( ,exp( )) ( ,exp( )) ( ,exp( )), w jy j w jy j w y j a a od Z Z Z Z : [ ,0 2S], (15)
zamiast funkcji wa(jy,exp(jZ przy czym w)), od( , ) mona przyj w postaciy z
wod( , )y z w z0( ), (16)
gdzie w z0( ) jest stabilnym w sensie Schura rzeczywistym wielomianem tego samego stopnia co wielomian w s za( , ) ze wzgldu na zmiennz.
Z (15) wynika, e przy ustalonym yt 0 wielomian w jy za( , ) jest stabilny w sensie Schura wtedy i tylko wtedy, gdy
'
:
arg ~ ( ,exp( )) ,
Z Z
wa jy j 0 (17)
czyli wykres funkcji (15) nie obejmuje pocztku paszczyzny zmiennej zespolonej. Z powyszych rozwaa wynika nastpujce twierdzenie.
Twierdzenie 6. Wielomian zespolony wa(jy z, ) jest stabilny w sensie Schura dla kadego yt 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla kadego ustalonego y t 0 wykres funkcji (15) nie obej-muje pocztku paszczyzny zmiennej zespolonej.
Przy sprawdzaniu warunku twierdzenia 6 naley dla kadego ustalonego y [ ,Y 0 ykon], wyznaczonego z odpowiednio maym krokiem 'y, wyznaczy wykres funkcji (15) i sprawdzi, czy nie obejmuje on pocztku paszczyzny zmiennej zespolonej. Warto ykon naley przyj odpowiedni du, tak aby na podstawie wyznaczonych wykresów stwierdzi spenienie (lub niespenienie) powyszego warunku dla wszystkich yt 0.
W dalszych rozwaaniach bdziemy przyj, e wielomian wa(jy z, ) jest stabilny w sensie Schura dla kadego y .Y
Uogólniajc warunek wykluczenia zera, znany z teorii odpornej stabilnoci rodzin rzeczywi-stych wielomianów jednej zmiennej (np. [6]), otrzymamy podane poniej rezultaty.
Niech yt 0 bdzie ustalone. Dla dowolnej ustalonej liczby zespolonej z z wartociami d wielomianów wa(jy z, ) i wb(jy z, ) s punkty wa(jy z, d) i wb(jy z, d) na paszczynie zmiennej zespolonej. Natomiast "wartoci" rodziny wielomianów (12) jest zbiór wartoci tej rodziny, zdefiniowany w sposób podany poniej.
Definicja 2. Dla ustalonego y t 0 zbiorem wartoci rodziny wielomianów (12) przy
ustalo-nym z nazywamy zbiór zd
Zbiór wartoci (18) jest na paszczynie zmiennej zespolonej odcinkiem linii prostej, cz-cym punkty wa(jy z, d) i wb(jy z, d).
Jeeli zd exp( )jZ za warto parametru Z zmienia si w sposób cigy od 0 do S, to zbiór wartoci wa(jy,exp(j:)) {wa(jy,exp(jZ Z)): : [ , ]}0 S jest odcinkiem linii krzywej czcym punkty wa(jy, )1 i wa(jy,1).
Wtedy te zbiór wartoci wb(jy,exp(j:)) {wb(jy,exp(jZ Z)): :} jest odcinkiem linii krzywej czcym punkty wb(jy, )1 i wb(jy,1).
Zatem przy ustalonym yt 0 brzeg zbioru wartoci
w jy( ,exp(j:), )Q { (w jy,exp(jZ), ):q Z:,qQ} (19) tworz linie krzywe o opisie parametrycznym wa(jy,exp(jZ)), Z : i wb(jy,exp(jZ)),
Z : oraz dwa odcinki linii prostej, jeden czy punkty wa(jy, )1 i wb(jy, )1 za drugi czy punkty wa(jy,1 i w jy) b( ,1 Zauwamy, e wymienione powyej linie krzywe s liniami ). zamknitymi przy : [ ,0 2S].
W dalszych rozwaaniach wykorzystamy unormowany zbiór wartoci zdefiniowany poniej.
Definicja 3. Unormowanym (wzgldem wa(jy z, ) ) zbiorem wartoci rodziny wielomianów (12) dla ustalonego z nazywamy zbiór zd
wun(jy z Q, d, ) {wun(jy z q q, d, ): 0 1 Q [ , ]}, (20) gdzie
wun(jy z q, d, ) w jy z q( , d, ) /wa(jy z, d), wa(jy z, d)z 0 (21) , przy czym w jy z q( , d, ) ma posta (13) dla z .zd
Ze wzorów (21) i (13) dla z wynika, e dla ustalonych wartoci y Yzd i z z unormo-d wany zbiór wartoci (20) jest odcinkiem linii prostej, czcym punkty wun(jy z, d, )0 1 j0 i wun(jy z, d, )1 wb(jy z, d) /wa(jy z, d). Jeeli zd exp( )jZ i warto parametru Z zmienia si w sposób cigy od 0 do S, to ten odcinek na paszczynie zmiennej zespolonej obraca si wokó punktu 1 j , przy czym jego koniec w0 un(jy,exp(jZ 1 zakrela lin krzyw o opi-), ) sie parametrycznym wb(jy,exp(jZ)) /wa(jy,exp(jZ)), Z : [ , ].0 S Jest ona krzyw za-mknit dla : [ ,0 2S].
Podobnie jak w przypadku rodziny wielomianów naturalnego stopnia moemy udowodni ponisze twierdzenie [6].
Twierdzenie 7. Niech wielomian nominalny w jy za( , ) bdzie stabilny w sensie Schura dla
kadego ustalonego y . Rodzina wielomianów (12) jest odpornie stabilna w sensie Schura Y wtedy i tylko wtedy, gdy dla kadej ustalonej wartoci y wykres funkcjiY
\(jy, )Z wb(jy,exp(jZ)) /wa(jy,exp(jZ)), Z :, (22) nie przecina ujemnej póosi rzeczywistej (f 0 . , ]
Dowód. Zauwamy, e punkt 1 j zawsze naley do unormowanego zbioru wartoci.0 Zatem przy ustalonym yt 0 warunek 0wun(jy,exp(j:),Q) jest speniony wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji (22) nie przecina ujemnej póosi rzeczywistej (f 0 . , ]
Przy sprawdzaniu warunku twierdzenia 7 (podobnie jak przy sprawdzaniu twierdzenia 6) na-ley dla kadego ustalonego y [ ,Y 0 ykon], wyznaczonego z odpowiednio maym krokiem
'y, wyznaczy wykres funkcji (22) i sprawdzi, czy nie przecina on ujemnej póosi rzeczy-wistej (f 0 . Warto y, ] kon naley przyj odpowiedni du, tak aby na podstawie wy-znaczonych wykresów mona byo stwierdzi spenienie (lub niespenienie) powyszego wa-runku dla wszystkich yt 0.
Z powyszych rozwaa wynika nastpujcy sposób postpowania przy badaniu odpornej stabilnoci w sensie Hurwitza-Schura rodziny wielomianów (9), bdcej wypuk kombinacj (4) wielomianów (5) i (6) dwóch zmiennych niezalenych.
Sposób postpowania:
Krok 1. Sprawdzany stabilno w sensie Hurwitza wielomianu w sa( , ),1 stosujc np. kryte-rium stabilnoci Hurwitza.
Krok 2. Stosujc twierdzenie 5 badamy odporn stabilno w sensie Hurwitza wypukej kom-binacji wielomianów w sa( , )1 i w sb( , ).1 Jeeli jest ona odpornie stabilna w sensie Hurwitza, to jest speniony warunek 1) twierdzenia 4 i przechodzimy do kroku 3.
Krok 3. Stosujc twierdzenie 6 badamy stabilno w sensie Schura wielomianu zespolonego wa(jy z, ) dla kadego yt 0. Jeeli jest on stabilny w sensie Schura, to przechodzimy do kroku 4.
Krok 4. Stosujc twierdzenie 7 badamy odporn stabilno w sensie Schura rodziny wielo-mianów (12) dla kadego yt 0. Jeeli jest ona odpornie stabilna, to jest speniony waru-nek 2) twierdzenia 4 i rodzina wielomianów (9) jest odpornie stabilna w sensie Hurwitza-Schura.
5. PRZYKAD
Naley zbada odporn stabilno ukadu cigo-dyskretnego, którego wielomian charaktery-styczny jest wypuk kombinacj (4) dwóch wielomianów
w s za( , ) s( .0 95z0 7. )0 9. z0 5 . , (23)
w s zb( , ) s( .0 5z0 3. )15. z0 1 (24) . . Badanie odpornej stabilnoci przeprowadzimy zgodnie z opisanym powyej sposobem
post-powania.
Krok 1. Podstawiajc z 1 w wielomianie (23) otrzymamy w sa( , )1 1 65. s1 4. . Wszystkie wspóczynniki wielomianu w sa( , )1 s dodatnie, co oznacza, e jest on stabilny w sensie Hurwitza.
Krok 2. Aby zbada odporn stabilno w sensie Hurwitza wypukej kombinacji wielomia-nów w sa( , )1 i w sb( , )1 sporzdzamy wykresy funkcji
I( ) ( , ) ( , ) . . . . , jy w jy w jy jy jy b a 1 1 0 8 1 6 1 65 1 4 y . (25) Y
Rozpoczyna si on przy y 0 w punkcie I( )0 11429. i koczy si przy yo f w punkcie I( )f 0 4848 Wykres funkcji I( ),. . jy y[ ,0 100 jest pokazany na rysunku 1a). Nie prze-], cina on ujemnej póosi rzeczywistej (f 0 , co oznacza, e wypuka kombinacja wielomia-, ]
nów w sa( , )1 i w sb( , )1 jest odpornie stabilna w sensie Hurwitza. Warunek 1) twierdzenia 4 jest wic speniony.
0.4 1.2 -0.35 0 real imag a) -6 0 8 -2 0 8 16 real imag b)
Rys. 1. Wykresy: a) funkcji (25) dla y[ ,0 100 , b) funkcji (26) dla ] y[ , ]0 10 Krok 3. Badamy stabilno w sensie Schura wielomianu zespolonego wa(jy z, ) dla kadego
yt 0. Sporzdzamy w tym celu wykresy funkcji (15) przy wielomianie odniesienia wod( )z 01 Funkcja (15) ma zatem postaz . .
~ ( ,exp( )) ( . . ) exp( ) ( . . ) exp( ) . , w jy j jy j jy j a Z Z Z 0 95 0 9 0 7 0 5 0 1 Z : [ ,0 2S]. (26)
Przy ustalonym yt 0 wykresem funkcji (26) przy Z : [ ,0 2S] linia krzywa zamknita. Wykresy funkcji (26) sporzdzone dla y[ , ]0 10 (z krokiem 'y 05. ) s pokazane na rys. 1b). Dla rosncych wartoci parametru y! 0 wykresy funkcji (26) oddalaj si od po-cztku ukadu wspórzdnych. Zatem nie obejmuj one popo-cztku paszczyzny zmiennej ze-spolonej. Oznacza to, zgodnie z twierdzeniem 6, e wielomian zespolony wa(jy z, ) jest sta-bilny w sensie Schura.
Krok 4. Badamy odporn stabilno w sensie Schura rodziny wielomianów (12) dla kadego yt 0. Wykresy funkcji (22), wyznaczone dla wartoci y [ , ]0 40 (ze zmiennym krokiem) oraz dla wartoci y 1010 s pokazane na rys. 2. Przy ustalonym yt 0 wykresem funkcji (22) linia krzywa zamknita. Jeeli wartoci parametru y! 0 rosn, to wykresy s coraz mniejszymi liniami zamknitymi. Najmniejsza linia krzywa odpowiada wartoci y 1010.
Z rys. 2 wynika, e wykresy funkcji (22) nie przecinaj ujemnej póosi rzeczywistej (f 0, ] dla kadego yt 0. Zgodnie z twierdzeniem 7, rodzina wielomianów (12) jest wic odpornie stabilna w sensie Schura dla kadego yt 0. Jest zatem speniony warunek 2) twierdzenia 4 i wypuka kombinacja (4) dwóch wielomianów (23) i (24) jest odpornie stabilna w sensie Hurwitza-Schura.
0 3.5 -2.5 0 1.5 real im ag
Rys. 2. Wykresy funkcji (22) dla y[ , ]0 40 i y 1010
6. UWAGI KOCOWE
W pracy rozpatrzono problem odpornej stabilnoci liniowego ukadu cigo-dyskretnego, którego wielomian charakterystyczny zaley liniowo od jednego niepewnego parametru. Analizowany problem jest równowany z problemem badania odpornej stabilnoci w sensie Hurwitza-Schura rodziny wielomianów (9). Warunki konieczne i wystarczajce odpornej sta-bilnoci w sensie Hurwitza-Schura tej rodziny zostay sformuowane w twierdzeniu 4. Ich sprawdzenie wymaga stosowania oblicze komputerowych. W pracy zostay podane kompu-terowe metody suce do sprawdzania warunków twierdzenia 4 oraz sposób postpowania przy badaniu odpornej stabilnoci.
Proponowane warunki i metody badania odpornej stabilnoci nale do grupy warunków cz-stotliwociowych. S one istotnym rozszerzeniem na klas rozpatrywanych ukadów cigo-dyskretnych metod podanych w monografii [6] w przypadku ukadów cigych oraz dyskret-nych.
Oryginalnym osigniciem pracy jest podanie komputerowych metod sucych do spraw-dzania warunków twierdzenia 4. Warunki zawarte w twierdzeniu 4 s podobne do zapropo-nowanych w pracy [11]. Nie podano tam jednak metod sprawdzania tych warunków.
* * *
Praca naukowa finansowana ze rodków Komitetu Bada Naukowych w latach 2007-2010 jako projekt badawczy nr N N514 1939 33.
LITERATURA
1. Ackermann J. (in co-operation with Bartlett A., Kaesbauer D., Sienel W., Steinhauser R.): Robust Control: Systems with Uncertain Physical Parameters. Springer-Verlag, London 1994.
2. Barmish B. R.: New Tools for Robustness of Linear Systems. Macmillan Publishing Company, New York 1995.
3. Bhattacharyya S. P., Chapellat H., Keel L. H.: Robust Control: The Parametric Approach. Prentice Hall PTR, New York 1995.
4. Biaas S.: Odporna stabilno wielomianów i macierzy. Uczelniane Wyd. Nauk.-Techn. AGH, Kraków 2002.
5. Bistritz Y.: A stability test for continuous-discrete bivariate polynomials, Proc. of the Int. Symp. on Circuits and Systems, vol. 3, pp. III682-685, 2003.
6. Busowicz M.: Stabilno ukadów liniowych stacjonarnych o niepewnych parametrach. Dzia Wydawnictw i Poligrafii Politechniki Biaostockiej, Biaystok 1997.
7. Busowicz M., Kalinowski T.: Odporna stabilno liniowego cigego ukadu uamkowe-go rzdu wspómierneuamkowe-go o funkcji charakterystycznej zalenej liniowo od jedneuamkowe-go nie-pewnego parametru, Warszawa 2008, PAR 2/2008, str. 465-474.
8. Busowicz M.: Stabilno modeli liniowych ukadów cigo-dyskretnych, Warszawa 2009, PAR 2/2009.
9. Czornik A.: Dynamika ukadów hybrydowych. Zesz. Nauk. Pol. lskiej, ser. Automaty-ka, z. 151, str. 31-36, 2008.
10. Xiao Y.: Stability test for 2-D continuous-discrete systems, Proc. of the 40th IEEE Conf. on Decision and Control, vol. 4, pp. 3649-3654, 2001.
11. Xiao Y.: Robust Hurwitz-Schur stability conditions of polytopes of 2-D polynomials. Proc. of the 40th IEEE Conf. on Decision and Control, vol. 4, pp. 3643-3648, 2001.
12. Xiao Y.: Stability, controllability and observability of 2-D continuous-discrete systems, Proc. of the Int. Symp. on Circuits and Systems, vol. 4, pp. IV468-IV471, 2003.
