Zadanie 1
TEMAT: Obliczyć lim ( , )
) 0 , 0 ( ) ,
( f x y
y
x → , jeżeli
a) 2 2 2 2
2 2
) (
) cos(
) 1 ,
( x y x y
y y x
x
f +
+
= − ,
b) 2 2
1 2 ) (cos ) ,
(x y x y x y
f = + .
ROZWIĄZANIE:
a)
2 2 2 2
2 2 )
0 , 0 ( ) ,
( ( )
) cos(
lim 1
y x y x
y x
y
x +
+
−
→
2x 2sin 2x cos -
1 =
= 2 2 2 2
2 2 2
) 0 , 0 ( ) ,
( ( )
sin 2 2
lim x y x y
y x
y
x +
+
→ =
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
) 0 , 0 ( ) , (
4 2 sin 2 2
lim x y
y x y
x
y x
y x
+
+
+
→ =
?
2 2
2 2
2 1
2
1 2 2
2 2
) 0 , 0 ( ) , (
2 sin 2 2 lim 1
→
→
→
→
+
+ +
y x
y x y
x
y x
y x
2 2
2 2 ) 0 , 0 ( ) , ( lim
y x
y x
y x
+
→ =
ϕ
ϕ ϕ
2 2 4
2
0 cos sin
lim r r
r dmz
→− = ⇒
→−
istnieje nie
r dmzr ϕ ϕ
ϕ
2 2
0 2cos sin
lim 1
2 2
2 2 2
2 2
2 2
) 0 , 0 ( ) , (
2 sin 2 2 lim 1
y x
y x y
x y x
y x
+
+ +
→ nie istnieje
b)
2 2
1 2 ) 0 , 0 ( ) ,
( lim (cos )x y
y
x x y +
→
x x1 2sin2 2 cos =−
= 2 2
1 2 2
) 0 , 0 ( ) ,
( lim 1 2sin 2 x y
y x
y
x +
→
− =
2 2
2 2
2 2
sin 2 2
sin 2 2
1 2 2
) 0 , 0 ( ) ,
( lim 1 2sin 2
y x
y x
y x y
x
y
x +
−
−
→
− =
? 2 2
2 2 2
1 2
2
) ( 1 )) ( 1 (
2 2
2 2 2 sin 2 sin 2
2 1 2 2
) 0 , 0 ( ) ,
( lim 1 2sin 2 → →
→ +
+
−
→
−
→
−
y x
y x y x
y x
e y x y
x
x e x g g
y x
2 2
2 2
) 0 , 0 ( ) , (
2 2
lim x y
y x
y
x +
−
→ =
) lim ( 2 2
2 4 ) 0 , 0 ( ) ,
( x y
y x
y
x − +
→ = 2
2 4 6 0
sin lim cos
r r
r dmz
ϕ ϕ
ϕ→− = N
e ograniczon
r dmzr ϕ ϕ
ϕ
2 4 0 4
0 cos sin
lim
− →
→ = 0⇒
? 2 2
2 2 2
1 2
2
) ( 1 )) ( 1 (
2 2
2 2
2 sin 2
sin 2 2
1 2 2
) 0 , 0 ( ) ,
( lim 1 2sin 2 → →
→ +
+
−
→
−
→
−
y x
y x
y x
y x
e
y x y
x
x e x g g
y x
= e1•0 = 1
