METODY R-FUNKCJI DO ROZWIĄZYWANIA PROBLEMÓW ZE ZMIENNYM OBSZAREM ROZWIĄZANIA

(1)

ZASTOSOWANIE KONSEKWENTNEJ

METODY R-FUNKCJI DO ROZWIĄZYWANIA PROBLEMÓW ZE ZMIENNYM OBSZAREM ROZWIĄZANIA

Marcin Detka

^1a

, Czesław Cichoń

^1b

1Katedra Informatyki Stosowanej, Politechnika Świętokrzyska e-mail:^amarcin.detka@tu.kielce.pl, ^bczeslaw.cichon@tu.kielce.pl

Streszczenie

Do pełnego opisu problemu brzegowego konieczne są informacje typu analitycznego oraz informacje typu geometrycznego. W metodzie R-funkcji wykorzystuje się do opisu geometrii teorię R-funkcji Rwaczewa, które, będąc sto- sukowo proste, mają gwarantowane własności ich różniczkowania w obszarze i na jego brzegu. Rozwiązanie problemu brzegowego metodą R-funkcji tworzone jest na podstawie tzw. struktury rozwiązania, która spełnia wszystkie warunki brzegowe. W pracy zaprezentowano pewien uproszczony wariant metody R-fun-kcji, który nazwano Konsekwentną Metodą R-funkcji.

APPLICATION OF THE CONSISTENT R-FUNCTION METHOD TO THE SOLUTION PROBLEMS

WITH MOVING DOMAINS

Summary

The methods for the representation of geometrical data and their application to approximation solutions differ and depend on the computational method. In the R-function method, the Rvachev theory of R-functions is used. These relatively simple functions have guaranteed differential properties in the solution domain and on the boundaries.

In the R-function method, unknown approximation parameters are commonly calculated using the weak variational formulation of boundary-value problems and defining the solution structure in such a way that all the boundary conditions are fulfilled. These requirements significantly complicate the solution structure and the solution proce- dure. Authors suggest that this approach is inconsistent because, as is commonly known, it is sufficient to solve a problem using the weak variational formulation so that it satisfies only the essential boundary conditions. This results in the formulation of a simplified version of the R-function method, called the Consistent R-function Meth- od (CRFM). It has been shown by example that the properties of CRFM make it suitable for solving problems with moving solution domains.

1. WSTĘP

Metoda R-funkcji (MR-f) może być stosowana do roz- wiązywania liniowych i nieliniowych problemów brzegowych z liniowymi warunkami brzegowymi. Dwiema istotnymi cechami metody R-funkcji jest jednolita konstrukcja rozwiązania nazywana rozwiązaniem struk- turalnym oraz to, że rozwiązanie przybliżone otrzymuje

się, wykorzystując funkcje bazowe aproksymacji kon- struowane nie w obszarze rozwiązania, lecz w skończenie wymiarowej przestrzeni ^m zawierającej obszar rozwiąza- nia Ω ⊂ ^m, jedynie z warunkiem zapewnienia ich odpo- wiedniej ciągłości [5]. Powszechnym sposobem wyzna- czania nieznanych parametrów aproksymacji w metodzie

(2)

R-funkcji jest korzystanie ze słabego sformułowania wariacyjnego problemu brzegowego, jednocześnie tak konstruując strukturę rozwiązania, aby zapewnić speł- nienie wszystkich warunków brzegowych [7]. Wymóg ten powoduje, że struktura rozwiązania jest w ogólności bardzo skomplikowana. Zdaniem autorów jest to postę- powanie niekonsekwentne, ponieważ, jak wiadomo, warunkiem wystarczającym dla rozwiązania problemu w słabym sformułowaniu wariacyjnym jest, aby spełniało ono tylko podstawowe (Dirichleta) warunki brzegowe.

Fakt ten był impulsem do sformułowania uproszczonego wariantu metody nazwanego Konsekwentną Metodą R- funkcji (KMR-f). W tej metodzie struktura rozwiązania spełnia tylko podstawowe warunki brzegowe, natomiast naturalne (Neumanna) warunki brzegowe są włączone do słabego sformułowania wariacyjnego.

Proponowana modyfikacja metody R-funkcji została zweryfikowana na przykładach rozwiązywania proble- mów eliptycznych w dwóch wymiarach, rządzonych przez odpowiednie równanie Poissona z dowolnymi warunkami brzegowymi i z dowolną geometrią obszaru rozwiązania [1]. W pracy przytoczono przykład zastoso- wania metody do problemu ze zmiennym w czasie obszarem rozwiązania. Jako przykład takiego zadania wybrano znany z literatury model rozkładu temperatury w ściankach cylindra i tłoka podczas ruchu tłoka [3, 6].

2. METODA R-FUNKCJI

2.1. Struktura rozwiązania problemu brzegowego

Sposób konstruowania rozwiązania metodą R-funkcji pokażemy na przykładzie rozwiązania równania Poisso- na ze złożonymi podstawowymi i naturalnymi warunkami brzegowymi. Przyjmijmy, że x∈Ω⊂R² , podstawowe warunki brzegowe są zdefiniowane na brzegach

2 1

1

= n

i,i ,,K, Ω

∂ naturalne warunki brzegowe

występują na brzegach∂Ω_j,j=n₁+1,n₁+2,K,n₁+n₂ oraz

2

2 1

= ∂ Ω

1

∪ ∂ Ω ∪ ∪ ∂ Ω

_n₊_n

Ω

∂ K

i

= O

2

2 1

1

∩ ∂ Ω ∩ ∩ ∂ Ω

n+n

Ω

∂ K

_. W bardziej

złożonych przypadkach, na przykład jeśli występująca w równaniu Poissona funkcja

f ∈ / C (Ω )

, poszukujemy tzw. rozwiązania uogólnionego będącego rozwiązaniem równania wariacyjnego (lub słabego) w postaci

∑ ∫

∫

⁺

+

= ∂Ω

Ω

Ω 











Ω

∂ +

Ω Ω

∇

⋅

∇

2 1

1

d d

d

n n

n j

j jv f

u

1 j

) ( )

( ) (

= ) ( )

(x

ν

x x

ν

x

ψ

x

(1) W powyższym równaniu

u (x )

jest poszukiwaną funkcją z przestrzeni funkcji dopuszczalnych spełniających podstawowe warunki brzegowe

,

1

, 2 , 1 , )

( i n

u

_i

i

= K

Ω

=

∂

ϕ

x

₍₂₎

natomiast

ν (x )

definiuje przestrzeń funkcji wagowych, wystarczająco gładkich i spełniających jednorodne podstawowe warunki brzegowe. Należy zauważyć, że naturalne warunki brzegowe

2 1 1

1 , 2 , , ) ,

( j n n n

u

j j

+ +

=

∂

_∂_Ω

= ψ K n

x

(3)

gdzie

n

jest normalną zewnętrzną do brzegu

∂ Ω

, zostały włączone do równania wariacyjnego (1).

W metodzie R-funkcji rozwiązanie strukturalne problemu wariacyjnego (1) z warunkami brzegowymi (2) i (3) ma ogólną postać

) , , ,

( Φ φ ψ

= B ω

u

(4)

gdzie

ω

jest pewną funkcją analityczną definiującą obszar

Ω

,

Φ

jest nieznaną funkcją, a

B

jest operato- rem zależnym od postaci warunków brzegowych

ϕ

_ioraz

ψ

j takim, że funkcja (4) w sposób ścisły spełnia wszystkie warunki brzegowe (2) i (3).

2.2 Podstawowe definicje i pojęcia w teorii R-funkcji

W literaturze znanych jest wiele wersji definicji R- funkcji. Według definicji najbardziej ogólnej R- funkcjami nazywa się zbiór funkcji, których argumenty jednoznacznie określają daną własność. Na przykład, znak funkcji rzeczywistych jest określony przez znak argumentów tej funkcji i jest niezależny od wielkości argumentów. Stąd funkcja

w =

₁

xyz

, jest R-funkcją, a

w

₂

= xyz + 1

taką funkcją nie jest.

Inna definicja R-funkcji implikuje, że funkcja

) , , , (

= f x

₁

x

₂

x

_n

y K

jest R-funkcją, jeśli istnieje taka funkcja boolowska (zbudowana z wykorzystaniem algebry Boole’a oraz operacji logicznych)

) , , , (

= F X

₁

X

₂

X

_n

Y K

, że następujące równanie

jest spełnione

(3)

), ( (

= )) , , , (

(

₁ ₂ ₂ ₁

2

f x x x

n

F S x

S K

gdzie

S

₂

( x )

jest pewną funkcją, która zamienia zbiór wartości rzeczywistych na zbiór dwu warościowej algebry Boole’a. Przykładowo, funkcję taką możemy zdefiniowanć na osi liczb rzeczywistych w postaci

 



−

≤ +

≥ 0 0,

0 = 1, ) (

=

₂

x dla

x x dla

S X

co powoduje, że funkcja (6) zamienia dodatnie wartości rzeczywiste na wartość 1 (prawda), natomiast wartości ujemne na wartość 0 (fałsz).

Równoważność funkcji rzeczywistych i

boolowskich określona przez zależność (5) jest kluczowa w teorii R-funkcji, ponieważ pozwala budować, w sposób automatyczny, dowolne R-funkcje, jeśli zna się ich postacie boolowskie. Możliwe jest to dzięki znajomości tak zwanego układu zupełnego

stanowią działania logiczne algebry Boole’a, takie jak koniunkcja, alternatywa i negacja, któremu można przyporządkować nieskończenie wiele tak zwanych dostatecznie zupełnych układów R

Najczęściej stosowanymi układami są układ

( (

x x

x x x x

x

x x x x

x

−

+ + + +

∨

+

− + +

∧

= 1

= 1 1

= 1

2 1 2 1 2

1

2 1 2 1 2

1

α α

gdzie

α = α ( x

₁

, x

₂

)

jest fukcją spełniającą warunek

− 〉

∈ ( 1,1

α

lub układ

R

₀

x x

x x x x x

x

x x x x x

x

−

+ + +

∨

+

− +

∧

=

2 2 2 1 2 1 2

0 1

2 2 2 1 2 1 2

0 1

Zdefiniowanie struktury rozwiązania (4) wymaga znal zienia dla dowolnego obszaru geometrycznego R-funkcji

ω

, że

= Ω

∈

> x x

x ) 0 dla i ( ) 0 dla

( ω

ω

co graficznie zostało przedstawione na rys. 1. Poszuk wanie R-funkcji

ω

definiującej dowolny obszar geom tryczny sprowadza się zatem do konstruowania jej postaci i korzystania z pewnej funkcji boolowskiej, która definiuje obszar jako pewną kombinację prymitywów,

)) ( , ),

(

₂ ₂

2

x S x

n

S K

(5) jest pewną funkcją, która zamienia zbiór wartości rzeczywistych na zbiór dwu warościowej algebry Boole’a. Przykładowo, funkcję taką możemy zdefiniowanć na osi liczb rzeczywistych w postaci

(6)

co powoduje, że funkcja (6) zamienia dodatnie wartości rzeczywiste na wartość 1 (prawda), natomiast wartości

Równoważność funkcji rzeczywistych i funkcji boolowskich określona przez zależność (5) jest kluczowa funkcji, ponieważ pozwala budować, w

funkcje, jeśli zna się ich postacie boolowskie. Możliwe jest to dzięki znajomości tak zwanego układu zupełnego, który stanowią działania logiczne algebry Boole’a, takie jak koniunkcja, alternatywa i negacja, któremu można przyporządkować nieskończenie wiele tak zwanych dostatecznie zupełnych układów R-funkcji [5].

Najczęściej stosowanymi układami są układ

R

_α

) )

x x x

− +

2 2

2 1 2 2

α α

(7) jest fukcją spełniającą warunek

(8) Zdefiniowanie struktury rozwiązania (4) wymaga znale- zienia dla dowolnego obszaru geometrycznego

Ω

takiej

Ω

∂

∈

dla x

(9) co graficznie zostało przedstawione na rys. 1. Poszuki-

definiującej dowolny obszar geometryczny sprowadza się zatem do konstruowania jej postaci i korzystania z pewnej funkcji boolowskiej, która ko pewną kombinację prymitywów,

czyli prostych obiektów geometrycznych (linia, okrąg, półpłaszczyzna), których równania (9) są powszechnie znane.

Rys.1. Definicja obszaru

Ω

poprzez analityczną funkcję

2.3. Struktura rozwiązania dla metody R-funkcji

Aby móc zapisać strukturę rozwiązania (4) w metodzie R-funkcji, równanie brzegu

znormalizowane na brzegu do N

że funkcja

ω (x )

musi spełniać następujące równania 1

= 0

= ₂

2

Ω Ω ∂

∂ Ω

∂ ∂

∂

n n

ω ω ω

gdzie

n

oznacza normalną wewnętrzną do brzegu Struktura rozwiązania MR-f dla problemu (1) z warunkami brzegowymi (2) i (3) przyjmuje formę

11 01

1

01

( )

= g D g g

u − ω + ω

gdzie

=

=1 11 1

1

= 1

1

=

01 ₁

1

2 1 1

=

+

− +

−

∑

n

j n n

n j

i n n

i i i n

i

g

ω ω ϕ

oraz

2 2 1 1 1

(.)

= (.)

(.) x x x x

D ∂

∂

∂ + ∂

∂

∂ ω ω

prostych obiektów geometrycznych (linia, okrąg, półpłaszczyzna), których równania (9) są powszechnie

poprzez analityczną funkcję

ω Struktura rozwiązania dla metody

Aby móc zapisać strukturę rozwiązania (4) w metodzie funkcji, równanie brzegu

ω (x ) = 0

musi zostać znormalizowane na brzegu do N-tego rzędu. Oznacza to, musi spełniać następujące równania

0

=

= ₃

3

Ω

∂ Ω

∂ ∂

∂

N N

n n

ω

ω L

(10) oznacza normalną wewnętrzną do brzegu

∂ Ω

.

f dla problemu (1) z warunkami brzegowymi (2) i (3) przyjmuje formę

02 02

1

( Φ g ) Φ g

D +

− ω

(11)

1

= 1

1

= 02 1

1 1

=

1 2

1 1

2 1

1

2

1

=

− +

−

− +

+

− +

∑

i n n

i i n

i

j n

n j j n

g

ω ω ω

ω ψ

(12)

2

(.)

(13)

(4)

3. KONSEKWENTNA METODA R-FUNKCJI

Jak pokazano w p. 2.3, budowa struktury rozwiązania w MR-f polega na odpowiednim sumowaniu w równaniu (11) funkcji reprezentujących naturalne i podstawowe warunki brzegowe z aproksymacją rozwiązania w obszarze

Ω

. Przyjęte założenie o spełnieniu w spo- sób ścisły podstawowych i naturalnych warunków brzegowych powoduje, że struktura rozwiązania jest w ogólności bardzo skomplikowana. Dodatkowo jest to również postępowanie niekonsekwentne, ponieważ, jak to już stwierdzono, warunkiem wystarczającym dla rozwiązania problemu w słabym sformułowaniu wariacyjnym jest, aby spełniało ono tylko podstawowe warunki brzegowe.

Fakt ten był impulsem do sformułowania uproszczonego wariantu metody R-funkcji nazwanego Konsekwentną Metodą R-funkcji, w której to metodzie struktura rozwiązania redukuje się do postaci

) , , ( Φ φ

= B ω

u

(14)

Struktura rozwiązania dla KMR-f

Uwzględnienie w (14) tylko

n

₁ podstawowych warunków brzegowych upraszcza strukturę rozwiązania do formy

Φ +

₀₂

= g

01

g

u

(15)

gdzie

i n

i i

n

i i i n

i

g

g ω

ω ω ϕ

∑ ∏

∑

−

1

1 1

1

= 02 1

1

= 1

1

=

01

= =

(16)

W pracy [1] wykazano, że takie podejście kilkakrotnie redukuje czas obliczeń, jednocześnie nie powodując pogorszenia jakości uzyskanych wyników.

4 . PROCEDURA ROZWIĄZANIA

Zarówno w MR-f jak i KMR-f rozwiązanie problemu brzegowego polega na wyznaczeniu nieznanej funkcji

Φ

, która występuje w strukturze rozwiązania. W obu metodach funkcję

Φ

zapisuje się poprzez jej aproksy- mację

= Ψc

Φ

(17)

gdzie Ψ=[Ψ₁Ψ₂KΨ_m] jest wektorem wierszowym funkcji bazowych, natomiast c=[c₁c₂Kcm]^Tjest wektorem kolumnowym nieznanych współczynników aproksymacji. Wprowadznie aproksymacji do struktur rozwiązania MR-f (11) i KMR-f (15) pozwala zapisać je w jednolitej formie

+ Ac

= u

0

u

(18)

gdzie w przypadku MR-f

02 02

1 11

01 1 01

0

= g D ( g ) g = D ( g ) g

u − ω + ω A − ω ψ + ψ

(19) natomiast w przypadku KMR-f

02 01

0

= g = g

u A ψ

₍₂₀₎

Nieznane współczynniki aproksymacji

c

obliczano w pracy metodą Bubnowa–Galerkina. Wykonując stosowne podstawienia do równania wariacyjnego (1), otrzymano liniowy układ równań algebraicznych w formie

Kc = F

(21)

gdzie macierz

K

_{i wektor}

F

obliczono ze wzorów

∑ ∫

∫

⁺

+

= ∂Ω

Ω Ω

Ω 











Ω

∂ +

Ω

∇

− Ω Ω

∇

2 1

1

d d

n n

n j

j j T T

T T

j

u f

1

= 0

= A A F A A Aψ

K

(22)

 

 





∂

∇ ∂

 





 





∂

∇

2 0

1 0 0

2 1

2 2 1

2

2 1 1

1

/

= /

/ /

= u x

x u u

x A x

A

x A x

A

x A x

A

m m

T

M A M

(23) Podstawienie obliczonych współczynników

c

_do

struktury rozwiązania (18) kończy rozwiązanie problemu brzegowego metodą MR-f lub KMR-f.

5 . PRZYKŁAD OBLICZEŃ KMR-f 5.1 Sformułowanie problemu

Przyjęto, że modelem matematycznym rozwiązywanego problemu jest równanie opisujące dwuwymiarowy osiowo-symetryczny problem początkowo-brzegowy niestacjonarnego przepływu ciepła w postaci

t T c T

T

_k _p ^k ^k

∆

∇

²

= ρ −

⁻¹

λ

(24)

gdzie λ jest współczynnikiem przewodzenia ciepła, cp to ciepło właściwe, natomiast ρ jest gęstością materiału.

Równanie (24) jest zdyskretyzowanym ze względu na

(5)

czas równaniem przewodnictwa ciepła, gdzie przez i T_k oznaczono funkcje rozkładu temperatury w kolejnych krokach czasowych dla zadanej dyskretyzacji czasu

∆ t

.

Równanie (24) rozpatrywane będzie w obszarze ze zmienną w czasie geometrią, wynikającą z pracy tłoka w cylindrze [3, 6], co pokazano na rys.2.

Rys. 2. Schematyczny rysunek cylindra (a), zmienne brzegi )

1(t Ω

∂ i ∂Ω₂(t)obszaru rozwiązania (b) Funkcję H(t) dzielącą brzegi ∂Ω₁i Ω∂

1 sin )

( cos

= )

(

₂ ²

2

l l r t r t

H θ + − θ

gdzie r oraz l to wielkości geometryczne rozpatrywanego układu, pokazane na rys. 2a, natomiast

prędkość kątową wału współpracującego z tłokiem.

Geometria warunków brzegowych została zaprezent wana na rys. 2b. Przyjęto dwa rodzaje warunków brzegowych, reprezentujących zjawiska fizyczne występujące podczas pracy tłoka. Na brzegu przyjęto podstawowy warunek brzegowy, co związane jest ze stałą temperaturą oleju znajdującego s w układzie. Natomiast na brzegu

∂ Ω

ralny warunek brzegowy modelujący wydzielania ciepła w komorze spalania. W chwili początkowej

stałą temperaturę w całym obszarze rozwiązania.

5.2 Rozwiązanie

Pierwszym krokiem rozwiązania problemu brzegowego metodą R-funkcji jest definicja funkcji określających obszar rozwiązania. Na rys. 3a pokazano obszar rozwiązania wraz z wymiarami, natomiast na rys. 3b obszar rozwiązania został związany z układ współrzędnych

( x

1

, x

2

)

oraz zaznaczono prymitywy definiujące obszar poprzez R-funkcje takie, że

czas równaniem przewodnictwa ciepła, gdzie przez Tk−1

oznaczono funkcje rozkładu temperatury w dwóch kolejnych krokach czasowych dla zadanej dyskretyzacji

Równanie (24) rozpatrywane będzie w obszarze ze zmienną w czasie geometrią, wynikającą z pracy tłoka

pokazano na rys.2.

Schematyczny rysunek cylindra (a), zmienne brzegi

Ω2wyraża wzór

)

θ (t

(25)

to wielkości geometryczne rozpatrywanego układu, pokazane na rys. 2a, natomiast

θ

oznacza prędkość kątową wału współpracującego z tłokiem.

Geometria warunków brzegowych została zaprezento- Przyjęto dwa rodzaje warunków brzegowych, reprezentujących zjawiska fizyczne występujące podczas pracy tłoka. Na brzegu

∂ Ω

₁

przyjęto podstawowy warunek brzegowy, co związane jest ze stałą temperaturą oleju znajdującego się

Ω

2 przyjęto natu- ralny warunek brzegowy modelujący wydzielania ciepła

W chwili początkowej

T

₀ przyjęto stałą temperaturę w całym obszarze rozwiązania.

Pierwszym krokiem rozwiązania problemu brzegowego funkcji jest definicja funkcji określających obszar rozwiązania. Na rys. 3a pokazano obszar wymiarami, natomiast na rys. 3b obszar rozwiązania został związany z układem oraz zaznaczono prymitywy funkcje takie, że

ω

_i

≥ 0

Rys. 3 a) model geometryczny cylindra, b) jego reprezentacja postaci R-funkcji

Definicje prymitywów zostały przyjęte podobnie jak w pracy [6]. Aby zdefiniować obszar pomiędzy krawędziami pionowymi wewnętrznymi i zewnętrznymi, przyjęto funkcje

ω

₁ i

ω

₂ prametryzowane odpowiednio promieniem wewnętrzym R₁ i zewnętrzym

Funkcje

ω

_i dla i=1,2definiuje wzór

i i

i

R

x R

= 2

2 1 2

− ω

Krawędź górną oraz dolne krawędzie zdefiniowano poprzez prymityw

2 2 2 2 2

3

2 = 2

H x H

H 



 



 −

 −



 



 ω

Funkcje

ω

₄,

ω

₅ i

ω

₆ to półpłaszczyzny definiujące krawędzie poziome, tj. górną krawędź cylindra oraz krawędzie poziome tłoka

=

₁ ₂ ₅

4

H − x ω H −

ω

Krawędzie skośne tłoka wyrażone są przez następujące funkcje

ω

₇,

ω

₈

ω

₉,

ω

₁₀

2 9 2

1 2 8 7

)

= ( ,

d R

d H R x d x R

p p p

+

− +

⋅

±

− ω

ω ω

Kolejnym krokiem rozwiązania problemu brzegowego jest zdefiniowanie struktury rozwiązania. Dla równania (24) przyjęto strukturę rowiązania w postaci

Φ + ( , ( ))

= )

( T

₀

H t

T x ω x

gdzie ω została zdefiniowana z użyciem wcześniej zdefiniowanych prymitywów ora

i równoważnych im działań algebraicznych w układzie

R

0, w formie

odel geometryczny cylindra, b) jego reprezentacja w

Definicje prymitywów zostały przyjęte podobnie jak w pracy [6]. Aby zdefiniować obszar pomiędzy krawędziami pionowymi wewnętrznymi i zewnętrznymi, prametryzowane odpowiednio i zewnętrzym R₂ cylindra.

definiuje wzór

(26)

Krawędź górną oraz dolne krawędzie cylindra zdefiniowano poprzez prymityw

2

 



(27)

to półpłaszczyzny definiujące krawędzie poziome, tj. górną krawędź cylindra oraz

) (

=

₂

6

2

x H t

x − −

− ω

(28) Krawędzie skośne tłoka wyrażone są przez następujące

2 2 1 2 10 9

)

= ( ,

d R

d t H R x d x R

p p p

+

−

− +

⋅

± ω −

(29) Kolejnym krokiem rozwiązania problemu brzegowego jest zdefiniowanie struktury rozwiązania. Dla równania (24) przyjęto strukturę rowiązania w postaci

(30) została zdefiniowana z użyciem wcześniej zdefiniowanych prymitywów oraz operacji logicznych i równoważnych im działań algebraicznych w układzie

(6)

( ( ( ) (

= ω

₂ ₀

ω

₃ ₀

ω

₁ ₀

ω

₆

ω ∧ ∧ − ∧ −

Należy podkreślić, że dzięki definicji obszaru rozwiązania w postaci analitycznej struktura rozwiązania (30) może być użyta do rozwiązania problemu (24) w dowolnej chwili czasowej.

5.3. Wyniki obliczeń

Przyjęto następujące wymiary cylindra i tłoka:

wysokość wewnętrzna H₁ =75mm

zewnętrzna H₂=78mm, promień zewnętrzny mm

20,5

2=

R , promień wewnętrzny grubość tłoka t=3mm, zagłębienie tłoka oraz obszar zagłębienia R_p=15

pozostałych parametrów fizycznych przyjęto odpowiednio [6]: λ=53,1m⁻¹

7870 3

= kg⋅m⁻

ρ , pojemnośc cieplna

Rys. 4. Wykres warstwicowy temperatury dla różnych położeń tłoka w cylindrze.

(a) t= (c) t=

))) (

₉ ₀ ₁₀

0

6

∨ ω ∧ ω

(31) Należy podkreślić, że dzięki definicji obszaru rozwiązania w postaci analitycznej struktura użyta do rozwiązania problemu (24) w dowolnej chwili czasowej.

Przyjęto następujące wymiary cylindra i tłoka:

mm , wysokość , promień zewnętrzny , promień wewnętrzny R₂=17,5mm, , zagłębienie tłoka d=2mm

mm

15 . Wartości pozostałych parametrów fizycznych przyjęto

−1

⋅K , gęstość

, pojemnośc cieplna

1

447 1

= J⋅kg⁻ ⋅K⁻

cp . Problem został rozwiązany dla następujących warunków brzegowych

( ) =

300

1= − ∂ ∂ 2

Ω Ω ∂

∂ K /

| T q

T λ n

oraz dla warunku początkowego K

0=300 T

Nieznaną funkcję Φ, aproksymowano

Czebyszewa. Na rys. 2 zaprezentowano wykresy tempeartury dla wybranych przykładowych chwili czasowych i związanych z nimi położeniami tłoka w cylindrze w formie wykresów warstwicowych.

Weryfikację otrzymanych wyników przeprowadzono, porównując uzyskane wykresy warstwicowe z wykresami opublikowanymi w pracy [6], które są rezultatem rozwiązania klasyczną metodą R

jakościowy wykresów na rys. 4 oraz wykresów z [6] jest taki sam. Porówanie dokładniejsze nie było jednakże możliwe z powodu braku danych geometrycznych o obszarze rozwiązania w pracy [6].

Wykres warstwicowy temperatury dla różnych położeń tłoka w cylindrze.

mm s =41,56 0,3

= H , (b) t =0,4sH=27,92mm, mm

s =41,56 0,7

= H , (d) t=0,8sH=61,87mm

. Problem został rozwiązany dla następujących warunków brzegowych

2 106

2⋅ −

= Wm (32)

oraz dla warunku początkowego

(33) , aproksymowano w bazie 55 funkcji Czebyszewa. Na rys. 2 zaprezentowano wykresy tempeartury dla wybranych przykładowych chwili związanych z nimi położeniami tłoka w cylindrze w formie wykresów warstwicowych.

otrzymanych wyników przeprowadzono, porównując uzyskane wykresy warstwicowe z wykresami opublikowanymi w pracy [6], które są rezultatem rozwiązania klasyczną metodą R-funkcji. Charakter jakościowy wykresów na rys. 4 oraz wykresów z pracy Porówanie dokładniejsze nie było jednakże możliwe z powodu braku danych geometrycznych o obszarze rozwiązania w pracy [6].

Wykres warstwicowy temperatury dla różnych położeń tłoka w cylindrze.

(7)

5. PODSUMOWANIE

Rozwiązanie opisywanego zadania standardowymi metodami dyskretyzacyjnymi, takimi jak metoda elementów skończonych, metoda elementów brzegowych, czy metoda różnic skończonych, jest bardzo złożone. Dotyczy to w szczególności ogólnej sytuacji, w której ruch powodujący zmianę geometrii jest trudny do przewidzenia. Przy rozwiązaniach tego typu problemów oraz im podobnych (przemiana fazowa z ruchomymi brzegami) szczególne korzyści odnosi się,

wykorzystując podstawową cechę metody R-funkcji, jaką jest wyraźne odseparowanie informacji geometrycznych od modelu fizycznego i procedur numerycznych. To w połączeniu z bezsiatkowym charakterem metody – oznaczającym dyskretyzację przestrzeni funkcjonalnej rozwiązania, a nie obszaru geometrycznego rozwiązania – pozwala w łatwy sposób modyfikować zmieniające się kształty geometrii, warunki brzegowe i oczywiście same równania rządzące problemem.

Literatura

1. Detka M.: Zastosowanie metody R-funkcji do rozwiązywania dwuwymiarowych problemów mechaniki konstruk- cji o złożonej geometrii i warunkach brzegowych. Praca doktorska. Kielce: Politechnika Świętokrzyska, 2011.

2. Detka M., Cichoń Cz.: Application of the consistent R-function method to the solution of inverse problems. In:

Proceedings of the 19th International Conference on Computer Methods in Mechanics. Warszawa 2011, s. 167- 168.

3. Liu Y., Reitz R. D.: Modeling of heat conduction within chamber walls for multidimensional internal combus- tion engine simulation. “Int. J. Heat Mass Transfer” 1998, 41(6-7), p. 859–869.

4. Rvachev V. L.: Geometric applications of logic algebra. Kiev: Naukova Dumka, 1967.

5. Rvachev V. L., Sheiko V. L., Shapiro V., Tsukanov V.: On completeness of RFM solution structures. “Compu- tational Mechanics” 2000, 25, p. 305-317.

6. Shapiro V., Tsukanov I.: Meshfree simulation of deforming domains. “Computer-Aided Design” 1999, 31, p. 459–

471.

7. Wawrzynek A.: Modelowanie krzepnięcia i stygnięcia metali oraz problemów dyfuzji ciepła za pomocą metody R-funkcji. ZN Pol. Śl. s. „Mechanika”” 1994, z. 119.