Zadania z mechaniki kwantowej kurs duży, na poniedziałek 11 października
6. Korzystając ze wzorów, które zostaną wyprowadzone na wykładzie:
𝑌
ℓ𝑚(𝜃, 𝜙) = [ (2ℓ + 1)(ℓ + 𝑚)!
4𝜋(ℓ − 𝑚)!
]
1/21 2
ℓℓ! 𝑒
𝑖𝑚𝜙(
(1 − 𝑥
2)
−𝑚/2𝑑
ℓ−𝑚𝑑𝑥
ℓ−𝑚(𝑥
2− 1 )
ℓ)
𝑥=cos 𝜃,
𝑌
ℓ−𝑚(𝜃, 𝜙) = (−1)
𝑚𝑌
ℓ𝑚(𝜃, 𝜙) Proszę wyliczć wszystkie harmoniki sferyczna dla ℓ = 0, 1, 2.
7. Cząstka znajduje się w stanie opisanym funkcją falową:
𝜓(⃗𝑥) = 𝑁 (𝑥
1+ 𝑥
2+ 𝑥
3) exp [
− ( 𝑟 𝑎
)
2]
Proszę znaleźć prawdopodobieństwa dla wszystkich możliwych wyników pomiarów 𝐿
2i 𝐿
3w tym stanie.
8. Korzystając z ogólnej postaci zasady nieoznaczoności dwu obserwabli, proszę znaleźć jej postać dla 𝐽
1, 𝐽
2( ⃗ 𝐽 - operator krętu orbitalnego). Proszę znaleźć stany wysycające zasadę nieozna- czoności.
9. Układ kwantowy jest opisany przez 3-wymiarową przestrzeń Hilberta, w której obroty reprezen- towane są przez 𝑈
1(𝑅) (tzn. ⃗ 𝐽 działa w tej przestrzeni z 𝑗 = 1). Hamiltonian układu dany jest przez:
𝐻 = 𝛼
[ ( ⃗ 𝐽 ⋅ ⃗𝑛
1)
2− ( ⃗ 𝐽 ⋅ ⃗𝑛
2)
2]
, ⃗𝑛
1= 1
√ 2 (⃗𝑒
3+ ⃗𝑒
1) , ⃗𝑛
2= 1
√ 2 (⃗𝑒
3− ⃗𝑒
1) (a) Proszę znaleźć wartości własne i stany własne 𝐻.
(b) W chwili 𝑡 = 0 układ znajduje się w stanie
√12(∣1, 1⟩ − ∣1, −1⟩). Jaki jest stan układu w chwili 𝑡?
(c) Proszę obliczyć 〈 ⃗ 𝐽 〉
𝜓(𝑡)
