1. Podaj przykªad dowolnej funkcji ze zbioru X w zbiór Y , je»eli (a) X = R, Y = R + ∪ {0} ;

Zadania - lista 4

1. Podaj przykªad dowolnej funkcji ze zbioru X w zbiór Y , je»eli (a) X = R, Y = R + ∪ {0} ;

(b) X = R, Y = R − ∪ {0} ; (c) X = Z, Y = {2k | k ∈ Z};

(d) X = N, Y = Z \ N;

(e) X = N × N, Y = Z;

(f) X = R, Y = Z × Z;

(g) X = R × R, Y = R × R;

(h) X = Q × N, Y = R.

2. Wyznacz dziedzine funkcji (a) f(x) = √

x ; (b) f(x) = _x+1 ¹ ;

(c) f(x) = √

x ² − 2x − 3 ; (d) f(x) = ^√ _x

−2x−3 ¹ ;

(e) f(x) = q

1 x ; (f) f(x) = √

x + √ x + 1 ; (g) f(x) = ^2x+1 _x−1 + _x+1 ¹ ; (h) f(x) = √

x ² .

3. Dla ka»dej z podanych ni»ej funkcji sprawd¹, czy podane obok liczby nale»a do zbioru jej warto±ci

(a) f : R → R, f(x) = x + 5; 2, ¹ ₂ , 3, − ² ₅ ; (b) f : R + → R, f(x) = _x ¹ ; 0, −1, 5, ¹ ₃ ;

(c) f : N → R, f(x) = x; −3, 0, 6, ² ₅ .

4. Zbadaj, czy funkcje f i g sa równe, je»eli (a) f(x) = ^x _x

, g(x) = x ;

(b) f(x) = |x + 3|, g(x) = x + 3;

(c) f(x) = √

x ² , g(x) = |x| ; (d) f(x) = −|x|, g(x) =

 x, gdy x ≥ 1

−x, gdy x > 0 .

5. Naszkicuj wykres funkcji f : [0, 10] → [0, 6], która ma nastepujace wªasno±ci

1

(a) f odwzorowuje przedziaª [0, 10] na [0, 6];

(b) f jest rosnaca w przedziale [0, 5], staªa na przedziale (5, 6) i ma- lejaca w przedziale [6, 10];

(c) f(10) = 0.

Czy istnieje tylko jedna taka funkcja?

6. Wykre±l funkcje:

(a) f : R → R, f(x) = |x ² − 2x|;

(b) f : R → R, f(x) = |x| + 1;

(c) f : R → R, f(x) = |x + 1|;

(d) f : R \ {0} → R, f(x) = ^|x| _x ; (e) f : R → R, f(x) = x|x|;

(f) f : R\{2} → R, f(x) = | ^x−2 _2−x |.

7. Poka», »e funkcja

f : R \ {1} → R, f (x) = x x − 1

jest malejaca w przedziale (−∞; 1) i na przedziale (1; +∞).

8. Poka», »e funkcja

f : R → R, f (x) = 1 x ² − 8x + 20

jest rosnaca na przedziale (−∞; 4) i malejaca na przedziale (4; +∞).

9. Poka», »e funkcja f okre±lona na zbiorze R wzorem (a) f(x) =  x ² + x − 2, x ≤ 0

x ² − x − 2, x > 0 jest parzysta.

(b) f(x) = _1+x ^1−x

nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

10. Zbadaj monotoniczno±¢ funkcji f(x) = |x ² − 1| .

2