czeniu funkcji u(xx, x 2, . .. , xn) = u( X) klasy (74 w półprzestrzeni xn > 0, spełniającej równanie

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE VIII (1964)

F. B a r a ń s k i i Z. F r y d r y c h (Kraków)

O zagadnieniu biłiarmonicznym dla półprzestrzeni w przypadku n-wym iarowym

1. W pracy podamy rozwiązanie zagadnienia biharmonicznego dla półprzestrzeni, w przypadku n-wymiarowym, polegającego na wyzna­

czeniu funkcji u(xx, x 2, . .. , xn) = u( X) klasy (74 w półprzestrzeni xn > 0, spełniającej równanie

A2u( X) = 0 dla xn > 0 oraz warunki brzegowe

u(xx, x 2, . . . , x n) -> f(x°x, x°2, ...,X°n_ x) dla (xx, x 2, . •., xn) > [xx, x2, ..., xn_ x, 0), xn 0,

1 , oc2, ..., xn) ^ g(x°x, . . . , x °n_ x)

dla (a?!,a?a, ..., ® » ) ( ® S , - , 4 - u O ) , > 0 , gdzie f { x x, x 2, . .. , xn_x), g(xX, x 2, ..., жп-1) są danymi funkcjami. Ponadto podamy warunki impli­

kujące jednoznaczność rozwiązania w pewnej klasie funkcji.

2. Podamy teraz pewne lematy i twierdzenia, z których będziemy korzystać.

L e m a t 1. Jeżeli

1° a(sx, s2, . . . , s n_ x) jest funkcją ciągłą w zbiorze Q, gdzie Q = {(si i • • • j sw-i): ax <. sx < bx, — , an_ x < < Ъп_ d , 2° a(51? ..., sw_ 1) ^ 0,

3 S S g ( i 9 jl , # 2} • • •} i)dsxds2. . . dsn_i = 1,

Q

4° funkcja <p(xx, ..., spełnia warunek Hóldera z wykładnikiem fi, fi stała, fie(0 ,1 ) w całej przestrzeni (n-l)-w ym iarowej En_ x,

6° istnieje SSa{sx, ..., sn_ x)(l + s2 x + ...Ą -s2 n_ 1f l2ds1...dsn_ x,

Q

6° dla każdego punktu X , X e E n, xn > 0 określona jest funkcja

« ( X ) = s s ot (§i, . .. , sn_i)<p{xx-j- sxxn, , xn_ i -j- sn_ xxn)dsx. . . dsn_ x,

Q

222 Г. Bar ańs ki i Z. F r y d r y c h

wówczas funkcja со(X) dąży do (p(x\, xQ n_ x) dla (хг, ..., xn_ j , xn) (x\, . .. , 4 —1 , 0), przy xn > 0.

D o w ó d . Dla dowodu oszacujemy różnicę R ( X ) =

— SSa (®i ? • • • ? i )^ (x i H- j • • • > ~b • • • dsn_ i

Q

93(^i » • • • > *^n— i) “

— SSa(®i ) • • • j Sn—i ) ^ i x i H ~ ) • • • i x n—i ~b^n—i x n)dSi. . . dsn_ j Q

SS«(*i ^{» • • • >} sn - i ) (p(x i » • • •» • • ’ dsn_i = Q

—

5Sa(®i ^{> •} • ^• j i)®i®»> • • • > i~b ^iXn)

Q

-<p(xi, ...,x°n_ 1)]ds1...dsn_ 1.

Ze względu na założenia,

\R(X)\ <

< cSSa(8i, •••, *»-i)[(l®i — ®?i + l*1|®»)2 + . . . +

Q

+ ( |a?n- i — ®n_ 11 + |s»_ г I я»)2]^2^ • • • dsn_ !.

Niech e > 0 oznacza dowolną liczbę dodatnią i niech

\X\ X-y\ <C. £, •••, x n— ll b < X.n <C £,

wówczas

ji?(Z)| < JCSS<*{* 1 , sn_ 1){2n)m {l + «; + ... + 4 - i)m ds1...d8n_ 1 =

Q

= O i /, Oj stała dodatnia.

Stąd wynika teza lematu.

Z lematu 1 wynika L emat 2. Jeżeli

1° f ( x lt . . . , х п_!) jest funkcją ciągłą w Еп_ г,

2° funkcja /(a?!, . ..,av~ i) spełnia warunek Hóldera z wykładnikiem /?

w En_ i , (} stała, /? e (0 ,l), 3° funkcja

( 1 ⁾ •W-?SS ^{/(*1 ^71 —} 1) ^ 1 • * * ^ 1

Ev ^{[ ( x x} — Sx) — |-. .. ~(~ ^(Xn_ i —sw-l) ^{f ~ x n\ ,2}

^»/2

O zagadnieniu biharmonicznym 223

gdzie

( 2 ⁾ --- SS

— 1

(Ltr^ * • • ćfctyi_2 (^1 + ^2 + • • • + tn- 1 + 1 ) ^łl/2 jest określona w pólprzestrzeni xn > O,

wówczas

v ( X ) - ■ • ? ^{T °} л,п-

gdy (x1, . . • ) Mn— 11 (En) (*®i > • • •; o

1og

55

przy

D o w ód. Do całki v(X) stosujemy transformację

(3)

której jakobian

S i — X i - ( - X n t i j

®n— 1 == (En— 1 “Ь ^n tn-

D{Sx, ..., sn_ x) x

______________________ __ ■ /V»

u

> 0 .

Po transformacji (3) całka (1) przechodzi w całkę

~ S S f(Xi-\-tjXn, ..., xn_X -f- tn_x + xn)dt1. . . dtn_x (4)

E„ — i (h + h + • • • + In-1 + 1 ) ^{nj 2}

która zgodnie z lematem 1 dąży do f{x\ 1 ..., #°_x), gdy (x1, . . . , x n) -> (oo°i, £C®_ 1 , 0) przy xn > 0 .

L emat 3. Funkcja

/у»

Г ( х г, ..., xn j ^x j . • • j sn_x) =

[(a?x — «х)2 + . • • + (xn- i — * » - i)2 + a£T/2 est dla xn > 0 funkcją harmoniczną punktu (х17 ..., xn).

D o w ó d . Ponieważ

Г (х i , . .. , xnj Sif .. • i s u_x) — d

dxri jn— r 2 / 7 /

gdzie r2 = (^x —§х)2 + ... + (ж п_1 —sn_x)2 + ^ ^ 0 przeto Г(я?х, ..., xn\

s1, . . . , s n_ i) jest funkcją harmoniczną punktu (a?x, ..., <un) dla > 0 ,

jako pochodna względem xn rozwiązania podstawowego l/rn~2 równania

Laplace’a.

224 Г. Ba r ańs ki i Z. Fr y d r y c h

L emat 4. Jeżeli 1° f { s x, sn_ x) jest funkcją ciągłą w Bn_ x, 2° f { s 1, . .., 8n_j) = O (r“) przy

r2 — $1 + . . . + s2_i ->■ °°? a stała, a e ( 0 ,l), wówczas

C C •••» sn_ 1)dsx...dsn_ 1 11 [Xx , . . . , Xn) Ł !«. 1 . . 2 . . / \2 t 2 -m/2

[(xx— «i) + . . . + (#w_i — sn_i) -j-ocf]

&n- 1

jest jednostajnie zbieżna w walcu

W (y i B) — {O < r) < xn} {a?2 + . .. + 0Cn-i < -S2} * gdzie r\, В są stałymi dodatnimi.

D o w ó d . №ech

Q = l ( ® l - S 1f + . . . + ( 0 C n - l - S n - l ) 2? 12'

Ha podstawie warunku 2° istnieje taka liczba r0 > 2B, że dla r > ro (7-ra, (7 stała dodatnia.

M ech e oznacza dowolną liczbę dodatnią. Udowodnimy, że istnieje liczba rx — rx(e), rx > r0, taka, że dla każdego (a?Ł, . . . , xn) należącego do W (у, B)

C ( K r i ) SS

I/(®i > • • • > sn-i)l &si • • • dsn-1

[(д?1 - Si )2 + . . . + ( Xn _ x — 8n_ i)2 + 4 f /2

gdzie ^ = {(«i, sn_ x): + « L i

Istotnie, na podstawie nierówności trójkąta mamy (ó) ($1+ ...+• Sn-i)1^2 ^

< {x\ + . . . + x\_i)1/2 + [(% — sx)2 + . . . + (®»_ 1 - Sn_i)2]1/2.

Z (5) wynika nierówność

(6) r < BĄ- q

czyli

(7)

> r - B .

Z nierówności trójkąta wynika, że

(8) g < r + B .

F. Bar ańs ki i Z. F r y d r y c h 225

Wobec tego dla В > r0

l/(*i> . . . , s n_ 1)\ds1...dsn_ l

SS

C ( K

) [(x1 — «i)2 + . • • + (%n_i — sn_i)2 +

<SS

C(KR)

C-ra

\_{x X — 5 l ) 2 + - • • + {xn - 1 — sn -l ) 2 ®nY12

dis i • • • _j <

<ss

0(KR)

C -ra ds1...d sn_ l [ q 2+ v 2T 12

Q Q rads1...dsn_ 1

^ [ { r - B ) 2 + r f f 12

C(KR) LV ' J

<C C x SS r“ nds1. . .dsn_u C1 stała dodatnia.

C { K R )

Wprowadzając współrzędne biegunowe

s1 — x x = rcosfpi.. .co$(pn_ 2&m(pn_ 1,

en- i — ® n -l = г в ш < р г ,

0 ^ 9 ?i ^ 2тг, 0 ^ ^

, j = 2 , n — 1, 0 < r < oo, otrzymujemy

OO

Сг SS ^r ds1... dsn j — C2 ^ r ^ (7 2 stała dodatnia.

W Dla

mamy

В ^ r

c ~| i/(i a)

Л ^ 1

1 L (1 — a)ej

SS С'(^й)

(1— ct)e.

I/(si ? • • • ? sn - i ) l • • • dsn- i

[(Ж1— Si)2 + * • • + (жи_1— Sn_i)2 + %n]nl2 < £ dla każdego x x, . . . , x n należącego do W(rj,B).

L e m a t 5. Jeżeli 1° a,/3,y,<5 są liczbami spełniającymi warunki'.

0 < a < 1, > 0, ó liczba całkowita nieujemna, 2y— a — d— n-Ą-l > 0 , 2° f ( s x, ..., en_i) jest funkcją ciągłą w En_ x, 3° f ( s x, . . . , s n_ x) = 0( ra) przy r2 = s2 + ... + Sn-i 00, wówczas całki

5^ C C (Xi —Sj)6f(S i,

у ^ [(^i-«i)2 + *-* + (^-i-«n-i)2 + ^27 ли-1

dla i — 1 ,2 , . .. , w —1, są jednostajnie zbieżne w walcu W { y , A } B) —

= {(a?i, a?n); 0 < q < xn < J., a?2 + ... + a?2_i < # 2}.

Prace Matematyczne VIII, 2 15

226 F. Ba r ańs ki i Z. F r y d r y c h

D o w ó d . Podobnie jak w lemacie 4 otrzymujemy nierówność

Л ⁰⁰

|(xi— si)°-f(s1, . . . , sn_ l)\ds1...d s n_ 1

SS

C ( Z R )

\.{x l

(x n -

s n - \ ) 2 A x n Y < <j Z " ” ra~2y+6+n~2dr < e dla

R > M e)

Г \ l j ( 2 y - a - d - n + 2)

[a — 2 у + ó + w — 2)e

gdzie C jest stałą dodatnią.

L e m a t 6. Jeżeli

1 Г ! (Д?х , . . . , Xn } Sx , ••• ? =

2 P2 (*®1 > • • • ) ? • • • 1 ®n— l) =

(®1 ) • • • > ®łl—l)

[ ( a ? ! — s x ) 2 + . . . +

{ x n~\

s n - i ) 2 ® n T 12 ’

%nf (®1 ) • • • 1 $n— l)

[ ( x l — s l ) 2 + * • • + (x n- 1— S n - l ) 2 x n]^n + 2 ^12

3° / ( * ! , e»_i) = 0 {ra), przy r2 = «1 + . . . + 4 - 1 -> oo, « stała, ae(0, 1), wówczas całki

ę* г* дъ .

q % Rk ixi > • • • > j ? • • • > $n— ^{i ) • • •} ósn_ ^i? ^ = 1 > 2 j 3 j 4 j

En-l Xj

j = 1 , . . . , п, к = 1 , 2 ,

są jednostajnie zbieżne w walcu W( ? ] , A , B ) .

D o w ó d . Teza-lematu wynika z lematów 4 i 5.

L emat 7. Jeżeli / ( s x, . . . , sn_i) = 0 (r a) przy r2 = Si + . . . + Sw-i °o,

a skla, ae(0, 1), wówczas przy xn > 0

gdzie

« д а =SS

м(а?!, = w(X),

Xn 'f (®1 J • • • ? ^n— 1 ) ^ 1 • • * d&n— 1

KX1— Sx)2 + . .. + (#n_ i — ^n-l)2+ жп]И/2 ^{0 (ra)} przy r2 — x\ - f .. • + X2 n - > oo.

D o w ó d . Na podstawie lematów 5 i 6 funkcja u{x1, . . . , xn) jest określona w półprzestrzeni xn > 0 . Niech R oznacza liczbę dodatnią taką, że

|/($i, . .., sn_!)| < Cf,(si + --- + sn-i)a/2?

dla $ i+ ... + $n-i ^ R2- Otóż

C stała, G > 0,

O zagadnieniu biharmonieznym 227

ss ^{x n’f (^} 1 ) • • • * ^n— 1) ds-^... dsn_i Er

ss *R

[(#1— Sl) 4~. • • 4~ (^n-l—sn-iy~\~xn\

Xnf (®i > • • • ? sn_i)dsl • • • dsn_ i ,2 -1П/2

[(^i Sj) 4 ~ (xn_i 4~ xn\

SS а д

Xnf (Sj i ... j i) d8\. • • dsn_ i

\Xx i — ^i)2 + - • • 4" (xn~i sn-i) 4" xn\ ^ x

x SS ^xn I /(si ) • • • > ^n-i)l ds 1. . . dsn_ 1 KX1— sl)2 + - • • + (xn -1— sn-l)2+

< xn-l« S S

K r

(Is ^ ^_j

Еп — л [(хг — S i )24~- . . + (a?n_! — Sri,_i)2 + xn\ 12

gdzie M = snp|/(s1, . .. , 8п_ г)\ w kuli K R. Stosując transformację (3) otrzymujemy

Xn-M SS ($/S \ • • • $S ^ \

[(a?i — sx) + . . . + (a?n_i sn_i) xn~

\

xn-M SS ж™ 1dt1...d tn_ l xn' (^i + - • • + ^ n -i+ l)^ 2

^ M"an ^ M an( x \ - \ - X n ) ^ dla

> 1 . Ponadto

Xn

(^i j • • •)

dSi. . .dsn_i

SS C(«R) ^{[(# 1} — Sj)2^-. .. -j- (xn_ i — Sn_ i )2 + x n~\ 1 <

ss C(K r )

C ' x n ss

ocn’ C" (s\-\-. . . Sn_i) 1 ds1...d sn_i

\ _ { x \ — S 1 ) 2 + . . . + ( ^ w - l 5 n - l ) 4 "

x n l ^

(s2 4~ • • • 4~ Sn_ i ) i2 ds 1. . . dsn_ i Er

G’Xn

[(®i - «i)2 + • • • + (®*-1 - «»_i)2 + ^ ] n/2

^i®»)2-b .• • H- (^w-14~tn~ixn) 1' xn dt1...d tn_i

< €>i (x i 4- • • • 4- xl)°12 S S

E,r, — i

i l i i + . - . + t i + l ) * 1 ’

• • • $tyl_ 1

(TS+XTft-i +lj'“- a)'2

=^Ś C2’ (x\-\r . .. 4“ xn)a!2)

228 F. Ba r ańs ki i Z. Fr y d r y c h

gdzie C JC1, G Z są stałymi dodatnimi. Wobec tego

\u ( x l j - - • > ®n)\ ^ d n ' M ( x \ Ą - . • • + ® n ) a^2 - h ^ 2 ( ^1 + - • • + x n ) a'2 ^

^ 0 3 (%\ 4 - ...-H ®n)al2i

gdzie C3 jest stałą dodatnią, zaś х\-\-... + х2 п > 1 .

L e m a t 8.

n

dr, SS

EL

__ J

( * ;+ ... + « L . + i ) ”,J+1 czyli

n SS ... (It^i_1

(L+• • • 4- tn~ l + l ) ^{nj 2 + 1} SS

= 1 ,

... dtn

E„

n/2

D o w ó d . Stosując transformację

<1 = rC0Sę>1...C0S9?n_3-sinę>n_ 2,

^2 — r COS^j ... COS^_3* COS^_2,

= rsinę?!

1 oznaczając

otrzymujemy

nj 2 -1 /2

Уп = 2

n SS

/ > - ł )

dtx...dtn_ x r rn~2dr

П /2 +

oraz

SS E

Pokażemy, że

(b + ” - + ^ n -i+ l)

dt 2... dtft_2

„ № + ... + e _ i + i r ‘ " j (1+*-! r

£n-l 0

-1 = ^Уп J

ou

= r » /

^ _|_ y.2 Jn/2+lf

dr.

r rn 2 dr r

J (1 + r2)n/2+1_ J

n rn 2 dr

(l + r 2)n/2+1 ^J (l + r 2f /2 ‘ Istotnie,

r rn 2 dr r

J ( T + r 2f /2+1 = J

г rn~2dr r

= J (l + r2)n/2 ~ J (l-j-r2)n/2+1

rn-2_|_rn _ rn

^_|_y2^w/2+1 J ( 1 ^-j- r2)^2^1 dr ^J / rn 2(l + r2) — rw (y _|_ ^{f 2,} j(n+2)/2 dr —

rn dr

O zagadnieniu biharmonicznym 229

00

/ ^{(Г+72)и rn 2 dr /2 i} n (1 + г2Г ”/2) Г

1 r (n —1 )rn 1

» J J l + r2)”'2

/ (l + r2f /2 ^{ги 2 dr} L emat 9.

rn 2 dr (1 + r2)”/2

1 r rn 2 dr n J (l + r2)w/2

D ow ód .

/ ^ _|_ y2yil2+2 ^{rn 2 dr}

3 i"3 rn 2 dr w + 2 J (l + r T /2+1*

/ ^ _|_ |>2^w/2+2 ^{rH 2 dr} J (l + r2)n/2+1(l + r2) ^{rn 2 dr} ги 2(1 + r 2)dr

(l_)_r2)n/2+2 / ^ _l_ y2^ni2+2 ^{rw Vdr}

4 (l + r2f /2+1 ^{rn 2 dr}

1 p (w—l ) r n 2dr w + 2 J (l + r2f /2+1

o

n-\- 2 w —1\ r” 2dr 3 г rn 2dr

n + 2 ~ n + 2 /J (l + r2)n/2+1 — w+ 2 J (l + r2)w/2+1' Za Huberem [1] podamy następujące twierdzenia:

T wierdzenie 1. Jeżeli 1° funkcja <р(хг, . .. , xn) jest funkcją harmo­

niczną w pólprzestrzeni xn > 0 , 2° q>(xlt . .. , xn) = o(r) przy r2 = ж2 + ...

• • • H- xn ^ 3 <p (*®i j • • • j ^ O gdy (Xi, . .. , xf) > {Xy, ... , xn_ 0), przy xn > 0 , wówczas y { x x, . .. , xn) = O w pólprzestrzeni xn > 0 .

T wierdzenie 2. Jeżeli 1° funkcja u(xx, . .. , xn) jest funkcją biharmo- niczną w pólprzestrzeni xn > 0 , 2° u( xx, . .., xn) — o(r2) przy r2 — a?2 + ...

... + x2 n -> oo, 3° и {xx, . .. , xn) -> O, du (xt , ..., хп)/дхп -> O gdy (xx, . .. , xn)->

-> (x°, ..., Xn-u 0) i xn> O, wówczas u(xx, . .. , xn) = O w pólprzestrzeni xn > 0.

L emat 10. Jeżeli 1° f ( x 1, . . . , x n_i) jest funkcją ciągłą w En_ x, 2° /( # i , ocn- i) — 0 ( ra), przy r2 = х\-\-...-\-х2 п_ х -> oo, a stała, a e ( 0 ,l), 3° / ( # i , .• •, a?n_i) spełnia warunek Hóldera z wykładnikiem a w E.n_ x, wówczas funkcja

4>{x i , . / (®i > • • •) sn-i) • • • dsn_i

[ ( Ж1 — ^ i ) 2 + . . • + ( ^ n - l — S f t - l ) 2 + ^ n ] n/2

230 F. Bar ańs ki i Z. Fr yd r y c h

jest jedyną funkcją harmoniczną w półprzestrzeni xn > 0, spełniającą wa­

runek brzegowy

И . . . , x n) = /(a??, ...,a?°_ih gdy (a?j, xn) -> {x\, 0) о ш a?n> 0 .

D o w ód. Z lematów 3, 4, 5 i 6 wynika, że

Zlę ? ( a ? ! , . . . , a?n.) —

(®1 > • • • ? l) • • • d/Syi_j

[(a?! — $i)2 + - • • + (xn < 1

= 0, dla а?п> 0 , a więc р(хх, . .. , xn) jest funkcją harmoniczną dla a?„>0.

Z lematu 2 wynika, że

lim (p(x 1, ..., a?n) = / (a?i, . •., xn_\), gdy (a?!, • • •, a?n) —>■ (a?i, ..., a?n_ i , 0), xni> 0.

Na podstawie lematu 8 funkcja p(xt , ..., xn) — 0 { r a) przy r2 =

= a?2+ ... + <*£ oo, a więc ^(a^, ..., xn) = o(r).

Niech p1(x1, . .. , xn) oraz <p2(xlf . . xn) będą funkcjami harmonicz­

nymi w półprzestrzeni xn> 0 , spełniającymi ten sam warunek brzegowy Pi (#i ч • • • i %n) f (*®l > • • • > ®n— l) ? ^ 1 ? 2

dla (a?1} ..., a?n) ( a ? 5 , 0) oraz a?w> 0 . Wtedy funkcja U (a?!, ... , a?n) = (a?!, ..., а?и) (p% (x ^, . .. , a?w) — O ft ).

{/(a?!, . .. , xn) jest harmoniczna w półprzestrzeni a?w> 0 i ponadto U(xl f . .. , xn) -> 0, gdy (я?!, ...,a?n) (a?J, ...,a ?i_i, 0) przy a?„>0. Wobec tego, na podstawie twierdzenia 1, Z7(a7x, ..., xn) = 0 dla xn> 0 , a więc

Pi {xi ł • • • > xn) — 9?2 (*^i > ■ • • > xn) dla xn ^> 0.

3. Udowodnimy teraz twierdzenia o istnieniu i jedyności rozwiązania zagadnienia biharmonicznego w klasie К funkcji biharmonicznych postaci

u (x1, ..., xn) — (p (a?j, . .. , xn) -j- xn' tp (x 1, • • •, а?и) ,

gdzie 9>(a?!,..., а?и) oraz у){хг, ..., xn) są funkcjami harmonicznymi w pół­

przestrzeni xn> 0 .

O zagadnieniu bikarmonieznym 231

T w ierdzenie 3. Jeżeli 1° f ( x x, ..., xn_ x) oraz g{xx, xn_f) są ciągle w En_ x, 2° f { x l , . . . , x n_ 1) = 0{ra), g{xx, ..., xn_ x) = 0( ra) przy r2 = (Ą + ... + 0 & - 1 -> oo, a stała, a e ( 0 , l ) , 3 ° f { x x, xn_ x), д( хх, . . .

• • • 7 Xn- -l), fxi(xl f ... > &n-i)f dla i = 1, 2, ..., n —1, spełniają warunek Hóldera z wykładnikiem a w En_ u wówczas funkcja

u {Xu . . . , X n) = ^ S S g{Si,. . . ,Sn—i)dsx... dsn_j

«». 7 ~ [(x 1- s 1)2 + ...-\-{xn_ 1- s n_ 1)2 + x2 nT 12

+ -=-4SS ^{f (si j • • • i} sn - i ) d s 1. . . dsn_ i

„ [{Xi — ^l)2 +• • • + {xn~ \ — sn -\)2jr xV\ /2 + 1

■Ni- 1

jest rozwiązaniem zagadnienia biharmonicznego należącym do klasy K . D o w ó d . Udowodnimy najpierw, że funkcja u{ xl , ..., xn) jest funkcją należącą do klasy K. Istotnie, niech

ep{x1, . . . , X n) = — 5 S f ( si? • • • ? sn - 1)ds1. . . dsn_j а« [(a?i— $i)2 + -• • + (^w-i—^n- i ) 2 + ^n]n/2

y) { X x , . . . 7

g ( * i 7 . .., an_ 1)<tox...<ten- 1________dy(a>, a?n) an T w [(^i — si)2 + • • • + (®>i-1_ V i)2 + ж»]п/2 ss

ss ^<7 (S1 > • • • 5 l) • • • dsn_ 1 ч -i ^{[ ( # 1 — s l ) 2} + - • • + (#ra-l — sn -l ) 2 Л-Хп]п12

(«„ ^ S [ ( * ,- « !

/ (®1 7 • ' * > ®W-l)^®l • • • dsn_i

--- n xn SS

)2 + • • • + ( X n _ 1 — ^ n - j ) 2

/ ( ® 1 7 • • • 7 ® ł l - l ) • • * d S n _ i

7 — [ ( ^ i- S i)2 + ... + (a?n_ 1- s n_1)2 + a?2f /2+1

Na podstawie lematu 10 funkcje ?>(#!, ..., ж„) oraz ,tp{x1, xn) są funk­

cjami harmonicznymi dla xn> 0 .

232 F. Ba r ańs ki i Z. Fr yd r y c h

Ponieważ

<p {xx 7 ... 5 xn) -(- Xn' ip (Xy , ..., xn) =

Xn o f* ss f (Sy 7 ... 7 l) ^ 1 • • • dSn_ I

— i

s n -

n /2

+-“SS 9(^i, • • • ? • • • dsn_y

* [ ( ж1 Sx)2 + . • • + (x n - 1 — S n - i ) 2 + # n ] ” /2

Er

SS / (®i» • • •, ® » - i ) • • *dsn-i

\.{x X — s x ) 2 + . . . - j - {x n - 1 — S n - l ) 2 + жи ] П/2

+

SS / (®i, • • •, ®n—i) • • • dsn_i

[(a?i s x ) 2 + . •. + (a?n_ i — ^ n - i ) 2 + жи ] п / 2 + 1

— 'W (#+ , . . . , 37n), przeto U(x)eK.

Udowodnimy, że funkcja ip(Xy, . .. , xn) spełnia warunek

x n' W {X \ ? • • • , *^w) ~ ^ 0 ,

gdy (xx, . .. , xn) -> (a??, ..., 4 - i , 0) i a?n > 0.

W tym celu wystarczy udowodnić, że w (xx, ..., a?n) =

пж:

aП SS ^/(*1 i) ds i ... dsn_ x

[ ( х у — s x) . .- \ - { x n _ y — s n _ i) + # n] ■ ,2 -1/1/2 + 1 f{X°y, ...,X°n_y), gdy (x i xn) ^ (*U , • • • ? 1>0) i -^> d.

Otóż po transformacji (3) otrzymujemy

(9) w(Xy n

CC™ ss ^{f {X1} ~t~ X n ^1 ? • • • ч X n — 1 X n t"n— l) dły. . . dłn_ у {t\ + • • • + tn-1+1) ^{nj 2+1}

Na podstawie lematów 1 i 8

W (Xy , . .. , oon) —■ > f (x \ j ... j Xn_y ) , gdy (ж1? . . . , x n) - > (Xy, . . . , 4 - i , 0 ) i xn > 0.

Na podstawie lematu 1 i równości (9) otrzymujemy

x n‘ W (X 1

X n)

gdy (Xy, . .. , xn) -> (Xy, . .. , x°n_y, 0) i xn > 0.

O zagadnieniu biharmonicznym 233

Stąd i na podstawie lematu 1 limи( хг, . . . , x n) = / K , gdy (®!, ..., xn) -> K , . .. , x°n_ 1, 0), xn> 0.

Udowodnimy teraz, że spełniony jest warunek brzegowy du

^ 9 (*^1 ) • • • » l) 5 dxr,

gdy (xu xn) (xlf 0), a?w> 0.

ди(хг, . .., £c„) 2а?„

дх„

9 (si ? • • • > 1) ds1 • • • dsn_1

а-n ss T ^ \_{x i — ^ i ) 2 + * • • + ( a ? « -i — s n ~ i ) 2 x n ] n^2

л„—1 w®.

Зпж?

SS 9(&ii • • • j i) i • • • dsn_ i

я,,

SS

[(a?! — Si)2 + . • • + (ж№ _ 1 — ^ - i ) 2 + ^w]n/2+1

/(«1 , • •• j Sn-i)

[(a?! — $i)2 + . • • + (a?n-i~• sn-.1)2 + ^n,]”/2+1

+ 2 )

SS / (®i) • • •) 5«-i) • • • dsn_i On. ^jT 'w_ [(Я?1 ®i) ~Ь • • • ~Ь {^n— 1 &n—l)

Przeto po transformacji (3) otrzymujemy

ди{ хг, xn) 2 С C 9 ( x i + ti Xn , . . . , Xn_ 2 "f~ tn,— 1 ffin) Ht\ • • • dtn_ ]

dxr, SS

ss

«и ™ (^l + * • • + ^ n -l+ l)n/2

K n - 1

g(x i + /i a?n 7 j i “к tn— i <®n) • • • dtn_ i ( * ;+ ... + ( L i + i ) ”,!+1 +

■ “« —i

1 Г3?г r* C f{Xi-\~hXn, • • 4 < V n - i + t n - i X n ) d t 1 . . . d t n _ 1

f-SS L «» У ( £ + . .. + < L i + i ) n/2+1

w(w + 2) ^ r* / ( » i + <i®n, Яп-х + ^п-!®»)^...**

SS (^l + • • • + ^w-1 + 1) ^{nj 2 + 2}

in/2 + 2 *

]■

234 F. Ba r ańs ki i Z. Fr y d r y c h

Otóż

2 ss ^{Q “l-} ^1 $n i ••• i ^n— i tn— i ffln) dt^... dtn_ x

E„ + + + ^nj2 2 g ( x \ , . . . , x

n ę g(oCi-f- t^xn7 .. • 7 xn__x-(- tn_ xxn)dtx. . . dtn_x t o o ^

~ _ й Г ь Т Т + й -1 + 1 )“'>+1 ” ~ я[х" •••’

•®n .—1

gdy (xx, . . . , x n) -> {x\, . .. , 0) i жи> 0.

Udowodnimy, że wyrażenie h (д?х #w)

1 f 3w g ^ /(# ! + * A , жп_1 + #п_хягя)^1...й<п_1

f—SS E

L “ « T ( ( f + . . . + * L i + i ) " ,2+1

п ( п 2) f (д?х “I- xn, ..., x U 1"n— i^n)dti... dtn_x

SS < « ;+ ... + < i - x + i ) " '2+1 dąży do zera, gdy (®n . .. , xn) -> (x°, . .. , ®J_i, 0), ж „> 0 .

Otóż 3 n

<*n Niech

SS ^{f (*^i} ? • • • ? i “Ь xxn) dti... dtn_ x

Er, (t'l + • ■ • + f'n- 1 + 1 ) n/2+1 3f{Xi 7 ... 7 #w_l)•

w(w-h2)

SS ^_J

a„ T * (*! + --- + 4 - i + l)"'2+2’

3№ Г Г

z;»= „ SS lXr

_j

E« (t\ + ...+ t l_ , + l ) ”'2+1' Na podstawie lematów 9 i 8

n(n-\- 2) r' rn~2dr n(n-\- 2)3 r rn~2dr n(n + v) r

A n = Yn---

CLn J 3% oc r

= ~ ^ Yn) (l + r T 2+1 o

rn~2dr

/

(l + r2)n/2+2 a„(w + 2 ) J (l + r2)n/2+1

Bn, = 3.

S o

O zagadnieniu biharmonicznym 235

Stąd wynika, że

n ( n + 2 ) q q + . . . , x n_ l + tn_ 1<Bn)dt1...dtn_ l 0 0 4

a . O D " + + , + l ) n'2+2 "

E n__ 'n- 1

gdy (a?!, a>„) -> (Я?!, .. ., i , 0), a?n> 0 . Celem wyznaczenia limk(a?x, ..., xn), gdy (x17 . .., xn) ^ (х*, . .. , x l_ u 0), xn > O, zastosujemy regułę de 1’Hospitala. Otrzymujemy wówczas

lim /Ца?!, . .., x

n~~1 ,

. Г 3n V~1 к •f s.{Xi-j- tiU7n, • . • j Xn_ 1 tn— 1 xn)^k * • • dtn_ i

hm L;2 ss--- « + . . . + 4 . 1 + 1 г п ---+

? = 1 *w_l

n(n + 2) V 1 С C k -fsii^ + h X n , av_ i "4" ^n— i *^?i) _i

^ss i = l E n _ , ( ^ + . . . + 4 - l + l ) n/2+2

= 3 {fVi (Xi + 0, . .. , Xi_ X + 0, x\ + O, Xi+1 + O, . . . , Xn-1 + O) -j-

^ J 1=1

^_1

+ / s i (#i + 0? ®J_i + 0 , a?i-— 0 , a?i+1 + 0,, . . . , ж“ _х + 0)} —

V

?* — 1

l/s-i (#1 + 0 , . . . , Xi -1 -j- 0 , -j- 0 , ж?+1+ 0 , . • . , a?»-i4- 0) + + /s,;(^ l+ 0 ? ----> 1 ~Ь 0 , a?f 0 » xi + 1 + 0 , .. . > хп-\~\- 0)} = 0 , gdyż

SS ^к df(x1 + t1xn, . . . , x n_ 1 + tn_ lxn)dt1...d tn_ 1 f (x i ~f~ tj xn, . .. , а?и_ i -j- tn_ i xn)

(^i + ... + 4 - i + l ) n/2+ d8t

En -1

o o o o o o o o o o

/* !• • • J d^_x J dti / dtf+x... / dtn_iti‘

- O O — OO O — O O — O O г

OO OO O 0 0 o o

J J J dt‘ J ш > + J dk- i t r ((2+ . ; . + й : 1+1)»'2+ г

- О О — О О — OQ — ОО — ОО

О С О О ОО ОО ОО

С Л* С Л* Г Л4 Г Л4 С Л* 4 f Si (*^1 ^\ХП > • • • >*^И— 1 "Ь tn— 1 ^71) J ^ i . . . J ^ i -i j <ik J J — + # 2' 7 + i p 2+x—

— 00

o o o o o o o c o o

- f d tl. . . f d t ^ f dti j d t 1+1-•• / dtn_ 1ti

— OO —O O 0 —00

ъ

gdzie (p

— O O

—00

Л < ( ® 1 +

^ i x n

®i k x n 1 • • • 1 Xn - 1

^n—l Xn)

(^+••• + ^ -1 + 1 ) ^{,w/2 + l}

236 F. Ba r ańs ki i Z. Fr yd r y c h

dąży do

^cvfsi {x i + 0, . .. , i + 0, %i+ 0 , Xi+1 + 0, ..., xn_i + 0) —

• fs^ {xi + O, • • • > xi— l + O, Xi О, Ж; + 1 + O , . . . , Xn_ i + O ) = O .

Wobec tego

ди (xx, . . . , xn)

dxn 9(x°i, a?n_i),

gdy {xx, ..., xn) — > , ..., xn_ i , 0), 0.

T w ier dzenie 4. Jeżeli spełnione są założenia twierdzenia 3, wtedy zagadnienie biharmoniczne ma co najwyżej jedno rozwiązanie u(xx, . . . x n) należące do Masy K x postaci

u {xx, . .. , Xn) — (p (xx, ..., xn) + xn - y> {xx, ..., xnj ,

gdzie 1° <p{xx, ..., xn), y ( x x, . .. , xn) są funkcjami harmonicznymi w pół- przestrzeni xn> 0, 2° <p{xx, . .. , xn) = 0 ( ra), oraz ip(xx, ..., xn) = 0( ra), gdy r2 = x\-\-...-\-x2 n -> oo, a staja, a e ( 0 ,1), 4° xn- ip (xx, ..., xn) -> 0, gdy (xx, . .. , xn) (xx, . .. , х ^ г , 0), oraz xn> 0.

D o w ó d . Niech ux(xx, . .. , xn) oraz u2(xx, . . . , x n) będą rozwiązaniami zagadnienia biharmonicznymi w półprzestrzeni xn > 0, należącymi do klasy jfi+; wówczas funkcja

U (_Xx , ..., xn) — ux (xx, . . . , xn) u2 (xx, . .. , xn) spełnia warunki:

U(xx, . . . , x n) jest biharmoniczna dla жп> 0 , U(xx, . . . , x n) = 0( ra+1),

U(xx, . .. , xn) -> 0 oraz Г7*п(ж!, . .., xn) -> 0, gdy (xx, . .. , xn) -> (a?J, 0), жя> 0 .

Na podstawie twierdzenia 2 otrzymujemy

więc

U (xx, . .. , xn) = 0 dla

^1 (*®1) • • • ) Я'га) — ^2 (*®1 > • • • ? +г)

o , dla xn > 0.

Udowodnimy w końcu, że jeżeli u(xx, . .. , xn) należy do K x i u (xx, . .. , xn) =

= <px (xx, . .. , xn) + xn• ipx (xx, . .. , xn) oraz w , . . . , xn) — ^2(^11 • • • ? *®n) + + Я'я, ’ Y*2 (*^1 > • • • > Я'я,)?

9^i(^1 , ®»)

oraz

Yh (^1 > • • • j *®и) — Wz (*^1 j • • •) *^łi) dla 0.

O zagadnieniu biharmonicznym 237

dla xn > O, a ponieważ dla xn > 0

lim \spi (^i j • • • ? ^n) 9^2 (*^i j • • • > mn)] = 0, z twierdzenia 1 wynika, że

9h(Xi, . .. , a?«) = 9?a(a?i, . . . , x n) dla a?n> 0.

Wobec tego z (10) otrzymujemy

9Л(Ж1> •••>»») = •••> #n) dla жи> 0.

Praca cytowana

[1] A. H u b e r, On the reflection principle for polyharmonic functions, Comm.

Pure Appl. Math. 9 (1956), str. 471-478.

Ф. Б араньски и 3. Ф ридрих (Краков)

О БИ ГА Р М О Н И Ч Е С КО Й П РО Б Л ЕМ Е ДЛЯ то-МЕДНОГО ПРОСТРАНСТВА

Авторы дают формулы на решение бигармонической задачи А 2и ( Х ) = 0, X = (xi, . . . , Xn), и ( Х) - » /( ж ° , . . . , и 'хп (х ) ~ +9( х\> 1 ) Для X -> (х\, . . . , хп - 1 » °)» хп > °> / ( ж 1 » • • • > хп_ 1 ) , g ( x i , . . . , хп 1 ) — заданной функции.

В работе даны условия единственного решения. Пусть К\ является классом функций выполняющих следующие условия: 1° и ( Х ) = д>(Х) + ХпЧ'(Х), <р(Х), 'Р(Х) — гармонические функции для хп > 0 ; 2° <р(Х) = 0 ( г а),Ч/ (Х) = 0 ( г а), для г 2 = х\-\-• • • + х\ -► оо а = const, а « (0 , 1 ); 3° хп' Р ( Х ) - + 0 для X ( х ° , . . . , xn_i> 0 ), хп > 0 .

Т еорема 1. Ecnuf(x1, . . . , xn~i) = 0 (ra), д( хх, . . . , xn- i ) = О (ra), f(x1 , . . . , x n~ i ), д(хх, . . . , хП—\) — непрерывные в смысле Гелъдера с показателем а, тогда функция

РЕЗЮМЕ

[(жх — e j 2 + . . . + (Х п - 1 — S n - 1)2 + х \ ] g(sx, . . . , sn- 1 ) ds1 . . . ds n- 1

[(®i —»i) i — sw_i)2 + a?2](w+2)/2 ’

)dsx. . . ds n- 1

причем

есть решением бигармонической проблемы. Если и ( Х ) е К х, тогда решение явля­

ется единственным.

238 F. B a r a ń s k i i Z. F r y d r y c h

F. B

and Z. F

(Kraków)

ON TH E B IH A R M O N IC P R O B LE M F O R n -D IM E N SIO N A L SEMI-SPACE S U M M A R Y

The autors give the formula for the solution u ( X) of the biharmonic problem A2u ( X ) = 0, where X = (xx, . . . , xn), and u ( X ) —>f(x®, ■ ■ ■, and u'x (x1, . . . , x n) -^■g{x\, . . . , * “ _ j ) as (х1г . . . , xn) {x\, . . . , 0 ), xn > 0 ; f { x ±, . . . , xn_f) and g{xx, . . . , xn_ i) are given functions.

The autors give also a condition for unicity of the solution.

Let K x denotes the class of functions satisfied the following conditions:

1 ° u ( X) — qj(X) + Xny’ (X), q>(X),ip(X) being harmonic functions for xn > 0 , 2°

(p (X) = O (ra), y> (X) = 0 ( r a), r2 = ajj-f-. . . + x 2 n -> oo, a constant, a e(0, 1), 3° хпгр(Х) -► 0 for {x1, . . . , xn) -► {x\, 0 ) , x n > 0 .

T

. I f f { x 1, . . . , x n_ 1) = 0 ( r a), if g{xx, . . . , xn_ f j = 0 { r a), and if f ( x 1, . . . , xn_f), g(x1, . . . , xn_ 1) t f^e (x1, . . . , xn l), i = 1, . . . , n — 1, satisfy Holder's

condition with an exponent a, then the function

SS g{sx, . . . , sn~i)ds1 . . . ds n- 1

/

an {{x1 — s1)2 + . . . + {xn- \ — sn- i ) 2 -\-x2 n[nl2 +

SS ^f (®x» • • ■» sn~ l) dSj. . . dsn— i n 3

+ an Xn EL*', [{x1- S 1f + . . . + {Xn-l — Sn-l)2 + X2 n\(n+ 2)l2 ’ where

an n—l

S S • • • cltff,_i

, « ; + - - + < L 1+ i)“'2 ’

is the solution of the biharmonic problem. I f и (X) e K 1, this solution is unique.