Rozwiąż równanie różniczkowe cząstkowe podstawiając ξ i η, gdzie (a) ∂u ∂x −∂u ∂y = 0

Równania różniczkowe cząstkowe Równania liniowe

1. Rozwiąż równanie różniczkowe cząstkowe (a) ^∂u_∂x = 1,

(b) ^∂_∂x^2u2 = 6x, (c) ^∂_∂x^2u₂ = 6xy,

(d) y^∂_∂y^2u2 +^∂u_∂y = 0, dla x, y ∈ R².

2. Rozwiąż równanie różniczkowe cząstkowe podstawiając ξ i η, gdzie (a)

∂u

∂x −∂u

∂y = 0,

 ξ = ξ(x, y) = x + y η = η(x, y) = x − y , (b)

x∂u

∂x+ y∂u

∂y = 1,

 ξ = ξ(x, y) = x η = η(x, y) = ^x_y , dla x, y > 0.

3. Rozwiąż równanie różniczkowe cząstkowe metodą charakterystyk (a) y^∂u_∂x− x^∂u_∂y = 0,

(b) xz^∂u_∂x− yz^∂u_∂y − (x²+ y²)^∂u_∂z = 0.

(c) (?) ^∂u_∂x − (y + 2z)^∂u_∂y + (3y + 4z)^∂u_∂z = 0 .

4. Rozwiąż równanie różniczkowe cząstkowe spełniające warunek początkowy (a) y^∂u_∂x− x^∂u_∂y = 0 u(0, y) =√

y,

(b) y^∂u_∂x+ z^∂u_∂z = 0 u(1, y, z) = ln |z|¹_y, (c) √

x^∂u_∂x+√

y^∂u_∂y +√

z^∂u_∂z = 0 u(x, y, 1) = x − y, (d) (z − y)^{2 ∂u}_∂x+ z^∂u_∂y + y^∂u_∂z = 0 u(0, y, z) = 2y(y − z).

Równania quasi-liniowe

1. Rozwiąż równanie różniczkowe cząstkowe (a) x^∂u_∂x+ 2y^∂u_∂y = u + x²y,

(b) ux^∂u_∂x + uy^∂u_∂y = x²+ y²+ u², (c) ^∂u_∂x+^∂u_∂y = y.

2. Rozwiąż równanie różniczkowe cząstkowe spełniające warunek początkowy

1

(a) x^∂u_∂x+ y^∂u_∂y + z^∂u_∂z = u u(2, y, z) = ¹₂(y + z), (b) x^∂u_∂x+ u^∂u_∂y = 0 u(1, y) = −y,

(c) x^∂u_∂x+ y^∂u_∂y = u − xy u(2, y) = y²+ 1, (d) x^∂u_∂x− y^∂u_∂y = u²(x − 3y) u(1, y) = −¹_y,

3. Znajdź powierzchnię całkową równania przechodzącą przez krzywą (a) ^∂u_∂x−^u−x_3y2

∂u

∂y = 1 x =√

t, y =√³

t, u = 0,

(b) x^∂u_∂x+ y^∂u_∂y = u²y x = t, x = t², u = 1, (c) x^∂u_∂x+ y^∂u_∂y = 2u x = t, x = t², u = t³, (d) x^∂u_∂x+ y^∂u_∂y = 4y x = t, x = t², u = 0.

2