Redukcjeparametryzowane APT

APT

Kraków 19 marca

Redukcje parametryzowane

Zadanie 1 (1p.). W problemie kliki w grafach regularnych dla instancji (G, k), gdzie G to graf regularny a k to liczba naturalna pytamy, czy G ma klikę rozmiaru k. Zaproponuj parametryzowaną redukcję z problemu kliki do problemu kliki w grafach regularnych.

Zadanie 2 (2p.). W problemie indukowanego dopasowania dla instancji wejściowej (G, k) pytamy, czy w G istnieje 2k wierzchołków, które w grafie G indukują dokładnie k krawędzi, wszystkie o różnych końcach (a więc dopasowanie rozmiaru k i nic poza tym). Wykaż, że problem indukowanego dopasowania jest W [1]-zupełny.

Zadanie 3 (1p.). W problemie najdłuższej indukowanej ścieżki dla instancji wejściowej (G, k) pytamy, czy graf G posiada indukowaną ścieżkę na k wierzchołkach. Wykaż, że problem najdłuższej indukowanej ścieżki jest W [1]-trudny.

Zadanie 4 (1p.). Wykaż, że nastepujący problem jest W [1]-zupełny: dla instancji wej- ściowej (G, k) należy sprawdzić, czy graf G zawiera k elementowy zbiór wierzchołków X taki, że odległość pomiędzy każdymi dwoma wierzchołkami z X w grafie G wynosi co najmniej 4.

Zadanie 5 (1p.). W problemie minimalnego balansującego separatora wierzchołkowego dla instancji wejściowej (G, k) pytamy, czy w grafie G istnieje zbiór S składający się z co najwyżej k wierzchołków taki, że każda składowa spójna grafu G − S zawiera co naj- wyżej |V (G)|/2 wierzchołków. Wykaż, że problem minimalnego balansującego separatora wierzchołkowego jest W [1]-trudny.

Zadanie 6 (2p.). Wykaż, że nastepujący problem jest W [1]-trudny: Dla instancji wej- ściowej (G, k), gdzie G = (X, Y, E) jest grafem dwudzielnym sprawdź, czy w X istenieje zbiór A taki, że |A| ¬ k i |N (A)| < |A| (zbiór A łamie warunek Halla)?

Zadanie 7 (2p.). W problemie silnie spójnego podgrafu Steinera dla instancji wejściowej (G, T, k), gdzie G to graf skierowany, T to zbiór wierzchołków w V (G) (zbiór terminali), a k to liczba naturalna pytamy, czy w V (G) istnieje zbiór X rozmiaru co najwyżej k taki, że T ⊂ X oraz graf indukowany na X jest silnie spójny (co jest równoważne, iż z każdego wierzchołka T do każdego innego istnieje ścieżka skierowana przechodząca tylko przez wierzchołki z X). Wykaż, że problem silnie spójnego podgrafu Steinera jest W [1]-trudny.

Zadanie 8. Wykaż, że problemy minimalnego pokrycia zbiorami, minimalnego zbioru dominującego, oraz minimalnego zbioru przecinającego wszystkie zbiory są W [2]-zupełne.

Strona 1/1