7.1 Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu X1, X2

7. Słaba zbieżność i funkcje charakterystyczne Ćw. 7.1 Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu X₁, X₂, . . ., gdzie

P (Xn= n) = P (X_n= −n) = 1 2.

Ćw. 7.2 X₁, X₂, . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z para- metrem 1. Znaleźć słabą granicę ciągu

Y_n= maxⁿ1 − e^X1, . . . , 1 − e^Xno.

Ćw. 7.3 X₁, X₂, . . . są zmiennymi losowymi niezależnymi o jednakowym rozkładzie zadanym przez gę- stość

f (x) = 1

x²1I_[1,+∞)(x).

Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu

Yn= max

 1 X1

, . . . , 1 Xn

 .

Ćw. 7.4 Niech X₁, X₂, . . . – iid o rozkładzie jednostajnym na odcinku (0, 1). Znaleźć granicę według rozkładu ciągu

X1+ X₂+ . . . + X_n−ⁿ₂

√n .

Ćw. 7.5 Niech {X_i}_i∈N będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie dyskretnym P (Xi = 1) = ¹₃, P (X_i = 2) = ²₃. Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu

Y_n=

n

P

i=1

(X_2i−1² − X_2i²)

√

3n .

Ćw. 7.6 Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej 2X + Y , jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach X ∼ G(0, 5), Y ∼ G(0, 25).

Ćw. 7.7 Zmienna losowa Xn ma rozkład jednostajny na odcinku^−4 − _n¹, 4 +¹_n^, a zmienna losowa Y_n ma rozkład zadany wzorami

P (Y_n= 0) = 1 − 1

2n, P (Y_n= n) = 1 2n, przy czym dla każdego n ∈ N zmienne Xn i Y_n są niezależne.

1. Wyznacz ϕXn+Yn.

2. Znajdź słabą granicę ciągu {Xn+ Y_n}_n∈N.

Ćw. 7.8 Niech {Xi}_i∈N będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych X_i∼ N (i, 4).

Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu

Yn= Pn i=1

X_i

√n − (n + 1)√ n

2 .

Ćw. 7.9 Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona z tym samym pa- rametrem λ. Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej Z = X − Y i oblicz E(Z³).