Rachunek Prawdopodobie´ nstwa
2. Prawdopodobie´ nstwo klasyczne - zadania na ´ cwiczenia
Zad. 2.1 Niech A, B, C b¸ed¸a zdarzeniami. Zapisz w j¸ezyku teoriomnogo´sciowym:
a) zachodzi zdarzenie A lub B ale nie C,
b) zachodzi dok ladnie jedno ze zdarze´n A lub B, c) nie zachodzi ˙zadne ze zdarze´n.
Zad. 2.2 Rzucamy par¸a kostek sze´sciennych. Niech A i B b¸ed¸a zdarzeniami takimi, ˙ze:
A - iloczyn oczek na kostkach jest r´owny 12, B - przynajmniej na jednej kostce wypad la nieparzysta liczba oczek. Opisz przestrze´n zdarze´n elementarnych oraz zdarzenia: A ∩ B, A ∪ B, B \ A.
Zad. 2.3 W grupie student´ow wybieramy losowo jedn¸a osob¸e. Niech zdarzenia A, B, C b¸ed¸a takie, ˙ze: A - wybrana osoba jest m¸e˙zczyzn¸a, B - osoba nie ma oceny bdb z egzaminu w danym roku akademickim, C - osoba doje˙zd˙za na wydzia l ´srodkami komunikacji miejskiej. Wyja´snij zdarzenia: Ac∩ Bc, A ∩ B ∩ Cc, A ∪ Bc.
Zad. 2.4 Wiadomo, ˙ze: P (A0) = 13, P (A ∩ B) = 14, P (A ∪ B) = 23. Ile wynosi: P (B0), P (A ∩ B0), P (B \ A)?
Zad. 2.5 Wykonujemy trzy rzuty monet¸a. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze otrzy- mamy:
a) dok ladnie dwie reszki, b) co najwy˙zej dwie reszki?
Zad. 2.6 W ka˙zdej z czterech urn s¸a po cztery kule bia le, czarne, czerwone i niebieskie.
Losujemy z ka˙zdej urny po jednej kuli. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze otrzy- mamy co najmniej jedn¸a kul¸e czerwon¸a?
Zad. 2.7 Na balu karnawa lowym bawi si¸e 15 par. Do jednego z konkurs´ow wylosowano 5 os´ob. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze w´sr´od nich jest co najmniej jedna para?
Zad. 2.8 Dziesi¸eciu podr´o˙znych, w tym czterech m¸e˙zczyzn, wsiada losowo do o´smiu wagon´ow. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze m¸e˙zczy´zni wsi¸ad¸a do r´o˙znych wagon´ow o parzystych numerach, za´s kobiety do wagon´ow o numerach nieparzystych?
Zad. 2.9 Bryd˙z: rozdajemy tali¸e kart (52 szt.) na czterech graczy. Jakie jest praw- dopodobie´nstwo, ˙ze
a) rozdaj¸acy otrzyma ca ly kolor,
b) rozdaj¸acy b¸edzie mia l co najmniej jednego asa?
Zad. 2.10 Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze w´sr´od pi¸eciu losowo wybranych os´ob nie ma dw´och os´ob spod tego samego znaku zodiaku?
Zad. 2.11 Ka˙zdy z n patyk´ow prze lamano na dwie cz¸e´sci: d lug¸a i kr´otk¸a. Otrzymano w ten spos´ob 2n kawa lk´ow; po l¸aczono je losowo w pary, z kt´orych ka˙zda tworzy nowy
”patyk”. Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze:
a) wszystkie kawa lki zosta ly po l¸aczone w pierwotnym uk ladzie;
b) wszystkie d lugie kawa lki zosta ly po l¸aczone z kr´otkimi.
Zad. 2.12 Rozmieszczamy 15 kul w 10-ciu ponumerowanych szufladach. Jakie jest praw- dopodobie´nstwo, ˙ze w ka˙zdej szufladzie o numerze nieparzystym znajdzie si¸e dok ladnie jedna kula, za´s w ka˙zdej szufladzie o numerze parzystym dok ladnie dwie kule?
Zad. 2.13 W urnie jest n kul o numerach od 1 do n. Losujemy po jednej kuli bez zwraca- nia. Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze w co najmniej jednym losowaniu numer kuli pokryje si¸e z numerem losowania.
Rachunek Prawdopodobie´ nstwa
2. Prawdopodobie´ nstwo klasyczne - zadania domowe
Zad. 2.1 Wiadomo, ˙ze P (A0T B0) = 12, P (A0) = 23, P (AT B) = 14. Ile wynosi P (B) oraz P (A0T B)?
Zad. 2.2 Cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ustawiamy w losowej kolejno´sci. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze w tak otrzymanym ci¸agu liczb pojawi si¸e podci¸ag 1983? Opisa´c przestrze´n zdarze´n elementarnych i zbi´or zdarze´n elementarnych sprzyjaj¸acych rozwa˙zanemu zdarzeniu.
Zad. 2.3 Z 20-osobowej grupy sk ladaj¸acej si¸e z 10 kobiet i 10 m¸e˙zczyzn wybrano losowo 5 os´ob. Znale´z´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze w´sr´od wybranych os´ob jest dok ladnie 2 m¸e˙zczyzn.
Zad. 2.4 W urnie s¸a 2 bia le i 4 czarne kule. Wyjmujemy je z urny jedn¸a po drugiej.
Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze ostatnia wyj¸eta kula b¸edzie czarna?
Zad. 2.5 W windzie znajduje si¸e 5 kobiet i 5 m¸e˙zczyzn. Winda rusza z parteru i zatrzy- muje si¸e na 10 pi¸etrach budynku. Zak ladaj¸ac, ˙ze pasa˙zerowie wysiadaj¸a na losowo wybranych pi¸etrach, obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze wszyscy m¸e˙zczy´zni wysi¸ad¸a na pi¸etrach o numerach parzystych, a ka˙zda z kobiet na innym pi¸etrze o numerze nieparzystym.
Zad. 2.6 Na p laszczy´znie dany jest n-k¸at foremny o boku 2. Losujemy (bez zwraca- nia) dwa jego wierzcho lki. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze s¸a one w odleg lo´sci wi¸ekszej ni˙z 2?
Zad. 2.7 W szafie jest 10 par but´ow. Pobieramy losowo 4 buty. Obliczy´c prawdopodo- bie´nstwo, ˙ze wylosujemy co najmniej jedn¸a par¸e.
Zad. 2.8 Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze w´sr´od czterech losowo wybranych os´ob ist- niej¸a conajmniej dwie urodzone w tym samym dniu tygodnia?
Zad. 2.9 Rozmieszczono w spos´ob losowy 10 identycznych kul w pi¸eciu szufladach. Obli- czy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze w ostatniej szufladzie znajd¸a si¸e 4 kule.
Zad. 2.10 Z talii 52 kart losujemy jedn¸a. Oblicz prawdopodobie´nstwo, ˙ze karta ta b¸edzie pikiem, si´odemk¸a lub figur¸a dowolnego koloru.
